二次函数压轴

y x O 二次函数综合个性化辅导教案二次函数综合个性化辅导教案 2 学生姓名教师姓名辅导科目授课时间教材版本教辅材料 初四数学教师选印 教学目标教学目标 1 学会对函数综合题如何分析的一般规律 掌握二次函数大型综合题的解题思路及分析方法 授课纲要及重 难点提示授课纲要及重 难点提示 通过对典型二次函数综合题的剖析 使其掌握一般的解题分析方法及技巧 提高综合分析解决问 题的能力 重难点是灵活掌握二次函数大型综合题的解题思路及分析方法的掌握 教学过程教学过程 一 复习复习 1 二次函数的解析式 1 一般式 2 顶点式 3 交点式 2 二次函数通过配方可得 其图像关于直线 cbxaxy 2 2 2 4 24 bacb ya x aa x 对称 顶点坐标为 3 二次函数的图像和性质 0a 0a 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当 x 时 y 有最 值 当 x 时 y 有最 值 在对称轴左侧y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 增 减 性 在对称轴右侧y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 4 二次函数用配方法可化成的形式 其中cbxaxy 2 khxay 2 要求掌握过程 hk 5 二次函数的图像是由图像如何左 右 及上 下 平移而得 明 2 ya xhk 2 axy 确二次函数的平移规律 将抛物线y ax2 bx c向右平移p个单位 得到的抛物线是y a x p 2 b x p c 向左平移p个单位 得到的抛物线是y a x p 2 b x p c 即左正右负 向上平移q个单位 得到y ax2 bx c q 向下平移q个单位 得到y ax2 bx c q 即上正 下负 6 二次函数中的符号的确定 开口方向有 a 确定 开阔程度有 a 的绝对cbxaxy 2 cba 值确定 越小越开阔 C 为与 Y 轴的交点横坐标 a b的符号决定对称轴位置 二 典例分析二 典例分析 例 10 如图 已知射线 DE 与轴和轴分别交于点和点 动点从点出xy 3 0 D 0 4 E C 5 0 M 发 以 1 个单位长度 秒的速度沿轴向左作匀速运动 与此同时 动点 P 从点 D 出发 也以 1 个x 单位长度 秒的速度沿射线 DE 的方向作匀速运动 设运动时间为 秒 t 1 请用含 的代数式分别表示出点 C 与点 P 的坐标 t 2 以点 C 为圆心 个单位长度为半径的与轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 1 2 tC x 连接 PA PB 当与射线 DE 有公共点时 求 的取值范围 C t 当为等腰三角形时 求 的值 PAB t 解 1 2 分 50 Ct 34 3 55 Ptt 2 当的圆心由点向左运动 C C 5 0M 使点到点并随继续向左运动时 ADC 有 即 3 53 2 t 4 3 t 当点在点左侧时 过点作射线 垂足为 则由 CDCCF DEFCDFEDO 得 则 解得 CDFEDO 3 5 45 CFt 48 5 t CF 由 即 解得 1 2 CF t 481 52 t t 16 3 t 当与射线有公共点时 的取值范围为 5 分 C DEt 416 33 t 当时 过作轴 垂足为 有PAAB PPQx Q 222 PAPQAQ 2 2 1633 53 2525 ttt 即 22 2918 4 205 ttt 2 972800tt 解得 7 分 12 420 33 tt 当时 有 PAPB PCAB 解得 9 分 3 53 5 tt 3 5t 当时 有PBAB 2 2222 1613 53 2525 PBPQBQttt O x y E P DA BM C O x y E P C DBQA M F 即 22 132 4 205 ttt 2 78800tt 解得 不合题意 舍去 11 分 45 20 4 7 tt 当是等腰三角形时 或 或 或 12 分 PAB 4 3 t 4t 5t 20 3 t 例 11 小题满分 12 分 四边形 OABC 是等腰梯形 OA BC 在建立如图所示的平面直角坐标系中 A 4 0 B 3 2 点 M 从 O 点出发沿折线段 OA AB 以每秒 2 个单位长的速度向终点 B 运动 同时 点 N 从 B 点出 发沿折线段 BC CO 以每秒 1 个单位长的速度向终点 O 运动 设运动时间为 t 秒 1 当点 M 运动到 A 点时 N 点距原点 O 的距离是多少 当点 M 运动到 AB 上 不含 A 点 时 连结 MN t 为何值时能使四边形 BCNM 为梯形 2 0 t 2 时 过点 N 作 NP x 轴于 P 点 连结 AC 交 NP 于 Q 连结 MQ 求 AMQ 的面积 与时间t的函数关系式 不必写出t的取值范围 当 t 取何值时 AMQ的面积最大 最大值为多少 当 AMQ的面积达到最大时 其是否为等腰三角形 请说明理由 解 1 5 65 3 2 s t2 t 2 3 2 3 4 3 当 t 时 最大值是 1 2 3 2 3 是 理由略 例 12 8 分 如图 二次函数 y ax2 bx c 的图象开口向上 图象经过点 1 2 和 1 0 且与 y 轴相交于负半轴 第 1 问 给出四个结论 a 0 b 0 c 0 a b c 0 其中正确结论的序号 答对得 3 分 少选 错选均不得分 第 2 问 给出四个结论 abc0 a c 1 a 1 其中正确结论的序号 答对得 5 分 少选 错选均不得分 解 略 例 13 13 分 如图 在矩形 ABC 右 AB 6cm BC 8cm 动点 P 从 A 开始沿 AC 向 C 以每秒 2 厘 米的速度运动 同时动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B 以每秒 1 厘米的速度运动 设运动的时间为 t 秒 0 x 5 PQC 的面积为 Scm2 1 求 S 与 t 之间函数关系式 Y OA BNC M P X Q 2 当 t 为何值时 PQC 的面积最大 最大面积是多少 3 在 P Q 的移动过程中 PQC 能否为直角三角形 若能 求出此时 t 的值 若不能 请 说明理由 解 1 矩形 ABCD 中 AB 6cm BC 8cm AC 10cm 又 运动的时间为 t 秒 0 x 5 AP 2t cm CQ t cm CP 10 2t cm 2 分 过 Q 点作 OE AC 于 E 点 ECQ CBA CA CQ AB QE 106 tQE tQE 5 3 S 与 t 之间的函数关系式为 S PC QE 10 2t 3t 5 分 2 1 2 1 t 5 3 2 5 3 t 2 时 PQC 的面积最大 最大面积是 7 分 4 15 2 5 5 3 2 tSst 2 5 2 4 15 cm 3 在 P Q 的移动过程中 PQC 能为直角三角形 分两种情况 8 分 当 PQC 90 时 CPQ CAB CA CP CB CO 符合题意 10 分 810 210tt 5 13 40 t 当 CPQ 90 时 CPQ CBA CA CQ CB CP 符合题意 12 分综合上述 在 P Q 的移动过程中 当 108 210tt 5 7 25 t 或时 PQC 能为直角三角形 13 分st 13 10 s 7 25 例 14 如图 15 四边形 OABC 为直角梯形 A 4 0 B 3 4 C 0 4 点从出发MO 以每秒 2 个单位长度的速度向运动 点从同时出发 以每秒 1 个单位长度的速度向运ANBC 动 其中一个动点到达终点时 另一个动点也随之停止运动 过点作垂直轴于点 连NNPxP 结 AC 交 NP 于 Q 连结 MQ 1 谁能先到达终点 填 M 或 N 2 求 AQM 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式 并写出自变量 t 的取值范围 当 t 为何值时 S 的值最大 3 是否存在点 M 使得 AQM 为直角三角形 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 说明理 由 例 15 如图 抛物线 2 1 3 yxbxc 经过 3 0 03AB 两点 此抛物线的对称轴为直线 l 顶点为C 且l与直线AB交于点D 1 求此抛物线的解析式 2 直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标 3 连接BC 求证 BCDC 解 1 抛物线 2 1 3 yxbxc 经过 3 0 03AB 两点 2 1 3 30 3 3 bc c 1 分 解得 2 3 3 3 b c 1 分 图 15 y xP Q BCN MOA y x l AO B OC O D O 此抛物线的解析式为 2 12 3 3 33 yxx 1 分 2 由 1 可得此抛物线的对称轴l为3x 2 分 顶点C的坐标为 34 2 分 3 证明 过AB 两点的直线解析式为33yx 1 分 当3x 时 6y 点D的纵坐标为6 642CD 作BEl 于点E 则3BE 431CE 由勾股定理得 22 3 12BC BCDC 2 分 例 16 如图 点AB 坐标分别为 4 0 0 8 点C是线段OB上一动点 点E在x轴正半 轴上 四边形OEDC是矩形 且2OEOC 设 0 OEt t 矩形OEDC与AOB 重合部 分的面积为S 根据上述条件 回答下列问题 1 当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时 求t的值 2 当4t 时 求S的值 3 直接写出S与t的函数关系式 不必写出解题过程 4 若12S 则t 解 1 由题意可得90BCDBOA CBDOBA BCDBOA BCCD BOOA 而884 2 t CDOEtBCCOOA 则 8 2 84 t t 解得 16 5 t 当点D在直线AB上时 16 5 t 2 分 2 当4t 时 点E与A重合 设CD与AB交于点F 则由CBFOBA 得 CFOA CBOB B C OE D A x y 即 4 828 CF 解得3CF 11 2 34 7 22 SOC OECF 3 分 3 当 16 0 5 t 时 2 1 2 St 1 分 当 16 4 5 t 时 2 17 1016 16 Stt 1 分 当416t 时 2 1 2 16 Stt 1 分 分析 当 16 0 5 t 时 如图 1 2 1 2 St 当 16 4 5 t 时 如图 2 4 0 0 8AB 直线AB的解析式为28yx 28 4 4 2 tt G ttF 55 48 42 DFtDGt 1 55 48 22 42 DFGCOED t SSSttt A 矩形 2 17 1016 16 tt 当416t 时 如图 3 CDOA BCFBOA BCCF BOOA 8 2 84 t CF 4 4 t CF 2 111 4 8482 224216 BOABCF tt SSStt 4 8 2 分 B C OE D A 1 B C O E F A G D 2 B C O E D A F 3 分析 由题意可知把12S 代入 2 1 2 16 Stt 中 2 1 212 16 tt 整理 得 2 321920tt 解得 12 82416tt 舍去 当12S 时 8t 例 17 本小题满分 lO 分 解 1 略 例 18 本小题满分 8 分 牡丹江 09 中考 如图 在平面直角坐标系中 若 的长是关于ABCDA6AD OAOB 的一元二次方程的两个根 x 2 7120 xx 且OAOB 1 求的值 sin ABC 2 若为轴上的点 且Ex 求经过 两点的 16 3 AOE S DE 直线的解析式 并判断与是否相似 AOE DAO 3 若点在平面直角坐标系内 则在直线上是否存在点使以 为顶MABF ACFM 点的四边形为菱形 若存在 请直接写出点的坐标 若不存在 请说明理由 F 解 1 解得 2 7120 xx 12 43xx OAOB 1 分43OAOB 在中 由勾股定理有 RtAOB 22 5ABOAOB x y A D BOC 例 18 题图 1 分 4 sin 5 OA ABC AB 2 点在轴上 Ex 16 3 AOE S 116 23 AO OE 8 3 OE 1 分 88 00 33 EE 或 由已知可知 D 6 4 设当时有 DE ykxb 8 0 3 E 解得 46 8 0 3 kb kb 6 5 16 5 k b 1 分 616 55 DE yx 同理时 1 分 8 0 3 E 616 1313 DE yx 在中 AOE 8 904 3 AOEOAOE 在中 AOD 9046OADOAOD OEOA OAOD 1 分AOEDAO 3 满足条件的点有四个 1234 75224244 38 3 0 1472525 FFFF 例 19 本题 10 分 如图 1 在平面直角坐标系中 点 O 是坐标原点 四边形 ABCO 是菱形 点 A 的坐标为 3 4 点 C 在 x 轴的正半轴上 直线 AC 交 y 轴于点 M AB 边交 y 轴于点 H 1 求直线 AC 的解析式 2 连接 BM 如图 2 动点 P 从点 A 出发 沿折线 ABC 方向以 2 个单位 秒的速度向终 点 C 匀速运动 设 PMB 的面积为 S S 0 点 P 的运动时间为 t 秒 求 S 与 t 之间的函数关系 式 要求写出自变量 t 的取值范围 3 在 2 的条件下 当 t 为何值时 MPB 与 BCO 互为余角 并求此时直线 OP 与直 线 AC 所夹锐角的正切值 D P2 P1 y x B A O 例 20 直线 0 kbkxy与坐标轴分别交于A B两点 OA OB的长分别是方程 04814 2 xx的两根 OBOA 动点P从O点出发 沿路线O B A以每秒 1 个单 位长度的速度运动 到达A点时运动停止 1 直接写出A B两点的坐标 2 设点P的运动时间为t 秒 OPA 的面积为S 求S与t之间的函数关系式 不必写 出自变量的取值范围 3 当12 S时 直接写出点P的坐标 此时 在坐标轴上是否存在点M 使以O A P M为顶点的四边形是梯形 若存在 请直接写出点M的坐标 若不存在 请说明理由 例 20 解 1 6 0 0 8 BA 各 1 分 2 8 OA 6 OB 10 AB 当点P 在OB上运动时 tOP 1 ttOPOAS48 2 1 2 1 1 1 分 当点P 在BA上运动时 作OADP 2 于点D 有 AB AP BO DP 22 ttAP 16106 2 5 348 2 t DP 1 分 5 192 5 12 5 348 8 2 1 2 1 2 t t DPOAS 1 分 3 当124 t时 3 t 3 0 1 P 1 分 此时 过AOP 各顶点作对边的平行线 与坐标轴无第二个交点 所以点M不存在 当12 5 192 5 12 t时 11 t 3 4 2 P 1 分 此时 3 0 1 M 6 0 2 M 各 1 分 例 19 题的解题过程 例 21 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB DC 且 BC 2 以 CD 为直径作 O 交 AD 于点 E 过点 E 作 EF AB 于点 F 建立如图所示的平面直角坐标系 已