二项式定理的高考常见题型及解题对策

二项式定理的高考常见题型及解题对策二项式定理的高考常见题型及解题对策 1 1 1 二项式定理 二项式定理 011 nnnrn rrnn nnnn abC aC abC abC bnN 2 2 基本概念 基本概念 二项式展开式 右边的多项式叫做二项式展开式 右边的多项式叫做的二项展开式 的二项展开式 nab 二项式系数二项式系数 展开式中各项的系数展开式中各项的系数 r n C 0 1 2 rn 项数 共项数 共项 是关于项 是关于与与的齐次多项式的齐次多项式 1 n ab 通项 展开式中的第通项 展开式中的第项项叫做二项式展开式的通项 用叫做二项式展开式的通项 用表示 表示 1r rn rr n C ab 1 rn rr rn TC ab 3 3 注意关键点 注意关键点 项数 展开式中总共有项数 展开式中总共有项 项 1 n 顺序 注意正确选择顺序 注意正确选择 其顺序不能更改 其顺序不能更改 与与是不同的 是不同的 ab nab nba 指数 指数 的指数从的指数从逐项减到逐项减到 是降幂排列 是降幂排列 的指数从的指数从逐项减到逐项减到 是升幂排列 各项的次数和等于 是升幂排列 各项的次数和等于 an0b0nn 系数 注意正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数依次是系数 注意正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数依次是项的系数项的系数 012 rn nnnnn CC CCC 是是与与的系数 包括二项式系数 的系数 包括二项式系数 ab 4 4 常用的结论 常用的结论 令令 1 abx 0122 1 nrrnn nnnnn xCC xC xC xC xnN 令令 1 abx 0122 1 1 nrrnnn nnnnn xCC xC xC xC xnN 5 5 性质 性质 二项式系数的对称性 与首末两端二项式系数的对称性 与首末两端 对距离对距离 的两个二项式系数相等 即的两个二项式系数相等 即 0n nn CC 1kk nn CC 二项式系数和 令二项式系数和 令 则二项式系数的和为则二项式系数的和为 1ab 012 2 rnn nnnnn CCCCC 变形式变形式 12 21 rnn nnnn CCCC 奇数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和 偶数项的二项式系数和 偶数项的二项式系数和 在二项式定理中 令在二项式定理中 令 则 则 1 1ab 0123 1 1 1 0 nnn nnnnn CCCCC 从而得到 从而得到 024213211 1 22 2 rrnn nnnnnnn CCCCCCC 奇数项的系数和与偶数项的系数和 奇数项的系数和与偶数项的系数和 0011222012 012 0011222021 210 0123 0123 1 1 1 1 nnnnnnn nnnnn nnnnnnn nnnnn n n n n axC a xC axC axC a xaa xa xa x xaC a xC axC a xC a xa xa xa xa xaaaaaa xaaaaaa 令则 令则 024 135 1 1 2 1 1 2 nn n nn n aa aaaa aa aaaa 得奇数项的系数和 得偶数项的系数和 二项式定理的高考常见题型及解题对策二项式定理的高考常见题型及解题对策 2 二项式系数的最大项 如果二项式的幂指数二项式系数的最大项 如果二项式的幂指数是偶数时 则中间一项的二项式系数是偶数时 则中间一项的二项式系数取得最大值 取得最大值 n 2 n n C 如果二项式的幂指数如果二项式的幂指数是奇数时 则中间两项的二项式系数是奇数时 则中间两项的二项式系数 同时取得最大值 同时取得最大值 n 1 2 n n C 1 2 n n C 系数的最大项 求系数的最大项 求展开式中最大的项 一般采用待定系数法 设展开式中各项系数分别展开式中最大的项 一般采用待定系数法 设展开式中各项系数分别 nabx 为为 设第 设第项系数最大 应有项系数最大 应有 从而解出 从而解出来 来 121 n A AA 1r 1 12 rr rr AA AA r 高考试题中常见的二项式定理题目类型 高考试题中常见的二项式定理题目类型 题型一 二项式定理的逆用 题型一 二项式定理的逆用 1 12321 666 nn nnnn CCCC 解 与已知的有一些差距 012233 16 6666 nnn nnnnn CCCCC 12321122 1 666 666 6 nnnn nnnnnnn CCCCCCC 0122 111 6661 16 1 71 666 nnnn nnnn CCCC 练 1231 393 nn nnnn CCCC 解 设 则 1231 393n n nnnnn SCCCC 12233012233 3333333331 1 3 1 nnnnn nnnnnnnnnn SCCCCCCCCC 1 3 141 33 nn n S 题型二 题型二 求单一二项式指定幂的系数 2 2010 重庆 的展开式中的系数为 4 1 x 2 x A 4 B 6 C 10 D 20 解析 由通项公式得 22 34 TC6xx 3 2011 天津 天津 在 6 2 2 x x 的二项展开式中 2 x的系数为 A 15 4 B 15 4 C 3 8 D 3 8 答案答案 C 4 2011 湖北 湖北 18 1 3 x x 的展开式中含 15 x 的项的系数为 结果用数值表示 答案答案 17 5 2011 全国 全国 1 x 20的二项展开式中 x 的系数与 x9的系数之差为 答案答案 0 6 安徽理 安徽理 12 设 21 21 2 210 21 1 xaxaxaax 则a a 答案答案 0 二项式定理的高考常见题型及解题对策二项式定理的高考常见题型及解题对策 3 7 2009 北京卷文 若 4 12 2 aba b 为有理数 则ab w w w k s 5 u c o m A 33B 29C 23D 19 w 解析解析 本题主要考查二项式定理及其展开式 属于基础知识 基本运算的考查 401234 01234 44444 1222222CCCCC 14 2128 2417 12 2 由已知 得17 12 22ab 17 1229ab 故选 B 8 2009 湖北卷文 已知 1 ax 3 1 10 x bx3 a3x3 则 b 解析 因为 15 rr r TCax 11 5 10Ca 22 3 Cba 解得2 40ab 9 2009 全国卷 文 10 xy 的展开式中 73 x y的系数与 37 x y的系数之和等于 解 因 rrrr r yxCT 10 101 1 所以有 373 101010 2240CCC 10 2009 湖南卷理 在 323 1 1 1 xxx 的展开式中 x的系数为 7 用数字作答 解析 由条件易知 3333 1 1 1 xxx 展开式中x项的系数分别是 123 333 C C C 即所求系数是 33 17 11 2009 陕西卷文 若 20092009 012009 1 2 xaa xaxxR 则 200912 22009 222 aaa 的值为 A 2 B 0 C 1 D 2 w k s 5 u c o m 解析 由题意容易发现 11200820082008 1200920082009 2 2 2009 2 2 2009aCaC 则 2008200811 20082008 2009 2009 0 2222 aaaa 即 同理可以得出 20072 22007 0 22 aa 32006 32006 0 22 aa 亦即前 2008 项和为 0 则原式 200912 22009 222 aaa 20092009 20092009 20092009 2 1 22 aC 故选 C 题型三 题型三 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数 12 广东理 广东理 10 7 2 x x x 的展开式中 4 x的系数是 用数字作答 答案答案 84 13 2011 全国 全国 5 1 2 a xx xx 的展开式中各项系数的和为 2 则该展开式中常数项为 A 40 B 20 C 20 D 40 答案答案 D 1414 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 5 的展开式的系数是 43 1 1 xx 2 x A 6 B 3 C 0 D 3 A 命题意图 本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况 尤其是展开式的通项公式的灵活应用 以及能 否区分展开式中项的系数与其二项式系数 同时也考查了考生的一些基本运算能力 二项式定理的高考常见题型及解题对策二项式定理的高考常见题型及解题对策 4 解析 的系数是 12 6 6 13 43234 22 1 1 1 4641 33xxxxxxxxx 2 x 1515 20102010 全国卷全国卷 1 1 5 的展开式中x的系数是 353 12 1 xx A 4 B 2 C 2 D 4 题型四 题型四 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 16 04 安徽改编 的展开式中 常数项是 3 2 1 x x 解 3 6 3 2 3 1 1 2 1 x x x x x x 上述式子展开后常数项只有一项 即 3 33 3 6 1 x x C 20 本小题主要考查把 三项式 的问题通过转化变型后 用二项式定理的知识解决 17 2009 江西卷理 1 naxby 展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243 不含y的项的系数绝对值的和为 32 则 a b n的值可能为 A 2 1 5abn B 2 1 6abn C 1 2 6abn D 1 2 5abn w w w k s 5 u c o m 解析 5 1 2433 n b 5 1 322 n a 则可取1 2 5abn 选 D 题型五 题型五 求中间项 18 00 北京 求 的展开式的中间项 10 3 1 x x 解 展开式的中间项为 即 1 3 10 10 1 rr r r x xT C 5 3 5 5 10 1 x x C 6 5 252x 当为奇数时 的展开式的中间项是和 n n ba 2 1 2 1 2 1 nn n n ba C 2 1 2 1 2 1 nn n n ba C 当为偶数时 的展开式的中间项是n n ba 22 2 nn n n ba C 题型六 利用通项公式求常数项 题型六 利用通项公式求常数项 19 2011 全国全国 8 5 1 2 a xx xx 的展开式中各项系数的和为 2 则该展开式中常数项为 A 40 B 20 C 20 D 40 答案答案 D 二项式定理的高考常见题型及解题对策二项式定理的高考常见题型及解题对策 5 20 2011 陕西陕西 4 6 42 xx x R 展开式中的常数项是 A 20 B 15C 15 D 20 答案答案 C 21 2011 山东 山东 若 6 2 a x x 展开式的常数项为 60 则常数a的值为 答案答案 4 22 2011 浙江 浙江 设二项式 x a x 6 a 0 的展开式中 X 的系数为 A 常数项为 B 若 B 4A 则 a 的值是 答案答案 2 题型七 利用通项公式 再讨论而确定有理数项 23 00 北京 求的展开式中有理项共有 项 10 3 1 x x 解 3 4 10 10 3 10 10 1 1 1 r r r rr r r x x rT CC 当时 所对应的项是有理项 故展开式中有理项有 4 项 9 6 3 0 r 当一个代数式各个字母的指数都是整数时 那么这个代数式是有理式 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数 或说是不可约分数 时 那么这个代数式是无理式 题型八 利用 赋值法 及二项式性质 3 求部分项系数 二项式系数和 2424 20102010 江西理数 江西理数 6 展开式中不含项的系数的和为 8 2x 4 x A 1 B 0 C 1 D 2 答案 B 解析 考查对二项式定理和二项展开式的性质 重点考查实践意识和创新能力 体现正难则反 采用赋值法 令 x 1 得 系数和为 1 减去项系数即为所求 答案为 0 4 x 808 82 1 1C 25 99 全国 若 4 4 3 3 2 210 4 32 xaxaxaxaax 则的值为 2 31 2 420 aaaaa 解 4 4 3 3 2 210 4 32 xaxaxaxaax 令 有 1 x 43210 4 32 aaaaa 令 有1 x 32 31420 4 aaaaa 故原式 3142043210 aaaaaaaaaa 44 32 32 1 1 4 26 04 天津 若 20042 210 2004 2004 21 xxaxaax 二项式定理的高考常见题型及解题对策二项式定理的高考常见题型及解题对策 6 则 200402010 aaaaaa 解 20042 210 2004 2004 21 xxaxaax 令 有1 x1 21 2004210 2004 aaaa 令 有0 x1 01 0 2004 a 故原式 02004210 2003 aaaaa 200420031 在用 赋值法 求值时 要找准待求代数式与已知条件的联系 一般而言 特殊值在解题过程中考虑0 1 1 的比较多 27 设 01 5 5 6 6 6 12 axaxaxax 则 6210 aaaa 分析 解题过程分两步走 第一步确定所给绝对值符号内的数的符号 第二步是用赋值法求的化简后的代数式 的值 解 rr r r xT C 1 2 6 6 1 65432106210 aaaaaaaaaaa 5316420 aaaaaaa 0 题型八 求系数最大或最小项 1 特殊的系数最大或最小问题 28 00 上海 在二项式的展开式中 系数最小的项的系数是 11 1 x 解 rr r r xT C 1 11 11 1 要使项的系数最小 则必为奇数 且使为最大 由此得 从而可知最小项的系数为 r C r 11 5 r 462 1 5 5 11 C 2 一般的系数最大或最小问题 29 求展开式中系数最大的项 8 4 2 1 x x 解 记第项系数为 设第项系数最大 则有r r Tk 又 那么有 1 1 kk kk TT TT 1 1 8 2 r r rC T 二项式定理的高考常见题型及解题对策二项式定理的高考常见题型及解题对策 7 k k k k k k k k CC CC 2 2 2 2 8 1 1 8 2 2 8 1 1 8 即 8 8 2 9 1 8 2 10 2 8 9 1 8 KKKK KKKk KK KK 1 9 2 2 2 1 1 解得 系数最大的项为第 3 项和第 4 项 43 k 2 5 3 7xT 2 7 4 7xT 3 系数绝对值最大的项 30 在 的展开式中 系数绝对值最大项是 7 yx 解 求系数绝对最大问题都可以将 型转化为型来处理 n ba n ba 故此答案为第 4 项 和第 5 项 43 4 7 yx C 52 5 7 yx C 题型九 利用二项式定理求近似值 31 求的近似值 使误差小于 6 998 0 001 0 分析 因为 故可以用二项式定理展开计算 6 998 0 6 002 0 1 解 6 998 0 6 002 0 1 621 002 0 002 0 15 002 0 61 001 0 00006 0 002 0 15 002 0 22 2 6 3 CT 且第 3 项以后的绝对值都小于 001 0 从第 3 项起 以后的项都可以忽略不计 6 998 0 6 002 0 1 002 0 61 988 0 012