2011年全国新课标高考文科数学试题及答案

1 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答第 卷时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 写在本试卷上无效 3 回答第 卷时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 4 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 已知集合 M 0 1 2 3 4 N 1 3 5 P M 则 P 的子集共有N A 2 个 B 4 个 C 6 个 D 8 个 2 复数 5 1 2 i i A B C D 2i 1 2i 2i 12i 3 下列函数中 既是偶函数又在单调递增的函数是 0 A B C D 3 yx 1yx 2 1yx 2 x y 4 椭圆的离心率为 22 1 168 xy A B 1 3 1 2 C D 3 3 2 2 5 执行右面的程序框图 如果输入的 N 是 6 那么输出的 p 是 A 120 B 720 C 1440 D 5040 6 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同 一个兴趣小组的概率为 A B 1 3 1 2 2 C D 2 3 3 4 7 已知角的顶点与原点重合 始边与 x 轴的正半轴重合 终边在直线上 则 2yx cos2 A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 8 在一个几何体的三视图中 正视图与俯视图如右图所示 则相应的侧 视图可以为 9 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点 且与 C 的对称轴垂直 l 与 C 交于 A B 两点 P 为 C 的准线上一点 则的面积为 12AB ABP A 18 B 24 C 36 D 48 10 在下列区间中 函数的零点所在的区间为 43 x f xex A B C D 1 0 4 1 0 4 1 1 4 2 1 3 2 4 11 设函数 则 sin 2 cos 2 44 f xxx A 在单调递增 其图象关于直线对称 yf x 0 2 4 x B 在单调递增 其图象关于直线对称 yf x 0 2 2 x C 在单调递减 其图象关于直线对称 yf x 0 2 4 x D 在单调递减 其图象关于直线对称 yf x 0 2 2 x 12 已知函数的周期为 2 当时 那么函数的图象与函 yf x 1 1 x 2 f xx yf x 数的图象的交点共有 lg yx A 10 个 B 9 个 C 8 个 D 1 个 第 卷 3 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做 答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量 k 为实数 若向量 a b 与向量 ka b 垂直 则 k 14 若变量 x y 满足约束条件 则的最小值是 329 69 xy xy 2zxy 15 中 则的面积为 ABC 120 7 5BACAB ABC 16 已知两个圆锥有公共底面 且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上 若圆锥底面面 积是这个球面面积的 则这两个圆锥中 体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 3 16 三 解答题 解答应写文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知等比数列中 公比 n a 1 1 3 a 1 3 q I 为的前 n 项和 证明 n S n a 1 2 n n a S II 设 求数列的通项公式 31323 logloglog nn baaa n b 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥中 底面 ABCD 为平行四边形 PABCD 60DAB 2ABAD 底面 ABCD PD I 证明 PABD II 设 PD AD 1 求棱锥 D PBC 的高 19 本小题满分 12 分 某种产品的质量以其质量指标值衡量 质量指标越大表明质量越好 且质量指标值大于或等 于 102 的产品为优质品 现用两种新配方 分别称为 A 配方和 B 配方 做试验 各生产了 100 件这种产品 并测量了每产品的质量指标值 得到时下面试验结果 A 配方的频数分布表 指标值分组 90 94 94 98 98 102 102 106 106 110 频数82042228 4 B 配方的频数分布表 指标值分组 90 94 94 98 98 102 102 106 106 110 频数412423210 I 分别估计用 A 配方 B 配方生产的产品的优质品率 II 已知用 B 配方生产的一种产品利润 y 单位 元 与其质量指标值 t 的关系式为 2 94 2 94102 4 102 t yt t 估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率 并求用 B 配方生产的上述 100 件产品 平均一件的利润 20 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线与坐标轴的交点都在圆 C 上 2 61yxx I 求圆 C 的方程 II 若圆 C 与直线交于 A B 两点 且求 a 的值 0 xya OAOB 21 本小题满分 12 分 已知函数 曲线在点处的切线方程为 ln 1 axb f x xx yf x 1 1 f230 xy I 求 a b 的值 II 证明 当 x 0 且时 1x ln 1 x f x x 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答是 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 D E 分别为的边 AB AC 上的点 且不与的顶点重合 已知 AE 的ABC ABC 长为 m AC 的长为 n AD AB 的长是关于 x 的方程的两个根 2 140 xxmn I 证明 C B D E 四点共圆 II 若 且求90A 4 6 mn C B D E 所在圆的半径 5 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 曲线的参数方程为为参数 M 为上的动点 1 C 2cos 22sin x y 1 C P 点满足 点 P 的轨迹为曲线 2OPOM 2 C I 求的方程 2 C II 在以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 射线与的异于极点的交 3 1 C 点为 A 与的异于极点的交点为 B 求 AB 2 C 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设函数 其中 3f xxax 0a I 当 a 1 时 求不等式的解集 32f xx II 若不等式的解集为 x 求 a 的值 0f x 1 x 6 文科数学试卷参考答案 一 选择题 1 B 2 C 3 B 4 D 5 B 6 A 7 B 8 D 9 C 10 C 11 D 12 A 二 填空题 13 1 14 6 15 16 4 315 3 1 三 解答题 17 解 因为 3 1 3 1 3 1 1 n n n a 2 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 nn n S 所以 2 1 n n a S nn aaab 32313 logloglog 21 n 2 1 nn 所以的通项公式为 n b 2 1 nn bn 18 解 因为 由余弦定理得 60 2DABABAD 3BDAD 从而 BD2 AD2 AB2 故 BDAD 又 PD底面 ABCD 可得 BDPD 所以 BD平面 PAD 故 PABD 如图 作 DEPB 垂足为 E 已知 PD底面 ABCD 则 PDBC 由 知 7 BDAD 又 BC AD 所以 BCBD 故 BC平面 PBD BCDE 则 DE平面 PBC 由题设知 PD 1 则 BD PB 2 3 根据 BE PB PD BD 得 DE 2 3 即棱锥 D PBC 的高为 2 3 19 解 由试验结果知 用 A 配方生产的产品中优质的频率为 所以用 A 配方生 228 0 3 100 产的产品的优质品率的估计值为 0 3 由试验结果知 用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 所以用 B 配方生 32 10 0 42 100 产的产品的优质品率的估计值为 0 42 由条件知用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 当且仅当其质量指标值 t 94 由试 验结果知 质量指标值 t 94 的频率为 0 96 所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的 概率估计值为 0 96 用 B 配方生产的产品平均一件的利润为 元 68 2 442254 2 4 100 1 20 解 曲线与 y 轴的交点为 0 1 与 x 轴的交点为 16 2 xxy 0 223 0 223 故可设 C 的圆心为 3 t 则有解得 t 1 22 1 3 2222 tt 则圆 C 的半径为 3 1 3 22 t 所以圆 C 的方程为 9 1 3 22 yx 设 A B 其坐标满足方程组 11 y x 22 y x 8 9 1 3 0 22 yx ayx 消去 y 得到方程 0 12 82 2 22 aaxax 由已知可得 判别式 041656 2 aa 因此 从而 4 41656 28 2 2 1 aaa x 2 120 4 2 2121 aa xxaxx 由于 OA OB 可得 0 2121 yyxx 又所以 2211 axyaxy 0 2 2 2121 axxaxx 由 得 满足故1 a 0 1 a 21 解 22 1 ln 1 x x b x fx xx 由于直线的斜率为 且过点 故即230 xy 1 2 1 1 1 1 1 1 2 f f 解得 1 1 22 b a b 1a 1b 由 知 所以 ln1 f 1 x x xx 1 ln2 1 1 1 ln 2 2 x x x xx x xf 考虑函数 则 2lnh xx x x1 2 0 x 9 2 2 2 22 1 1 2 2 x x x xx x xh 所以当时 故1 x 0 1 0 hxh而 当时 1 0 x 0 1 1 0 2 xh x xh可得 当时 1 x 0 1 1 0 2 xh x xh可得 从而当 1 ln 0 1 ln 1 0 x x xf x x xfxx即且 22 解 I 连接 DE 根据题意在 ADE 和 ACB 中 AD AB mn AE AC 即 又 DAE CAB 从而 ADE ACB AB AE AC AD 因此 ADE ACB 所以 C B D E 四点共圆 m 4 n 6 时 方程 x2 14x mn 0 的两根为 x1 2 x2 12 故 AD 2 AB 12 取 CE 的中点 G DB 的中点 F 分别过 G F 作 AC AB 的垂线 两垂线相交于 H 点 连 接 DH 因为 C B D E 四点共圆 所以 C B D E 四点所在圆的圆心为 H 半径为 DH 由于 A 900 故 GH AB HF AC HF AG 5 DF 12 2 5 2 1 故 C B D E 四点所在圆的半径为 52 23 解 I 设 P x y 则由条件知 M 由于 M 点在 C1上 所以 2 2 YX 即 sin22 2 cos2 2 y x sin44 cos4 y x 从而的参数方程为2C 10 为参数 4cos 44sin x y 曲线的极坐标方程为 曲线的极坐标方程