陕西省师大附中2013届高三数学第四次模拟考试试题 理（含解析）

1 陕师大附中高陕师大附中高 20132013 届第四次模拟考试届第四次模拟考试 数学试题 理科 数学试题 理科 第第 卷卷 选择题 共选择题 共 5050 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 已知全集U 1 2 3 4 集合A 1 2 3 B 2 4 则 UA B为 1 A 1 2 4 B 2 3 4 C 2 4 D 2 3 4 1 1 答案 C 解析 因为集合A 1 2 3 所以 UA 1 4 所以 UA B 2 4 1 2 如果复数z 则 2 1 i A z 2 B z的实部为 1 C z的虚部为 1 D z的共轭复数为 1 i 答案 C 解析 z 所以 z的实部为 1 z的虚部为 2 1 i 21 1 11 i i ii 2z 1 z的共轭复数为 1 i 因此选 C 3 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的一个焦点与抛物线的焦点重合 且双曲线的离心率 2 4yx 等于 则该双曲线的方程为 5 A B 22 1 54 xy C 22 1 54 yx D 22 4 51 5 xy 22 5 51 4 xy 答案 D 解析 因为双曲线 22 22 1 xy ab 的一个焦点与抛物线的焦点重合 所以 c 1 又 2 4yx 因为双曲线的离心率等于 所以 所以 a 所以 所以55 c a 5 5 222 4 5 bca 该双曲线的方程为 22 5 51 4 xy 4 已知的展开式的各项系数和为 32 则展开式中的系数为 n x x 1 2 4 x A 5 B 40 C 20 D 10 答案 D 解析 令 x 1 得 所以 由232 n 5n 5 210 3 55 1 r r rrr CxC x x 2 所以展开式中的系数为 1034 2rr 得 4 x 2 5 10C 5 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查 为此将他们随机编号为 1 2 960 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9 抽到的 32 人 中 编号落入区间 1 450 的人做问卷 A 编号落入区间 451 750 的人做问卷 B 其余的人 做问卷 C 则抽到的人中 做问卷 C 的人数为 A 7 B 9 C 10 D 15 答案 A 解析 设 n 抽到的号码为 则 由 n a 93013021 n ann 所以 n 的取值为7503021960 n 得25 732 7n 26 27 28 29 30 31 32 共七个 因此做问卷 C 的人数为 7 6 把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 然后向 2 2cosyx 左平移 1 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 得到的图象是 答案 A 解析 把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原 2 2cos cos21yxx 2 2cosyx 来的 2 倍 纵坐标不变 得到函数的图像 然后向左平移 1 个单位长度 得cos1yx 到函数 再向下平移 1 个单位长度 得到函数的图象 cos11yx cos1yx 因此选 A 7 在区间内随机取两个数分别记为 则使得函数有零点 a b 22 2 f xxaxb 的概率为 A B C D 7 8 3 4 1 2 1 4 答案 B 解析 在区间内随机取两个数分别记为 表示边长为的正方形 要使函 a b2 数有零点 需 表示以原点 22 2 f xxaxb 2222 4440 abab 即 3 为圆心 为半径的圆的外部 且在正方形的内部 所以其面积为 222 43 所以有零点的概率为 2 2 33 44 8 如果执行如图的程序框图 那么输出的值是 A 0 B 1 2 C 1 2 D 1 答案 D 解析 第一次循环 满足条件 1 cos 32 n SS 2013n 12nn 第二次循环 满足条件 cos0 3 n SS 2013n 13nn 第三次循环 满足条件 cos1 3 n SS 2013n 14nn 第四次循环 满足条件 3 cos 32 n SS 2013n 15nn 第五次循环 满足条件 cos1 3 n SS 2013n 16nn 第六次循环 满足条件 cos0 3 n SS 2013n 17nn 第七次循环 满足条件 1 cos 32 n SS 2013n 18nn 易知 S 的值以 6 为周期进行循环 所以最后输出的 S 的值为 1 9 已知实数 a b c d成等比数列 且函数ln 2 yxxxb 当时取到极大值c 则 ad等于 A B C D 101 2 答案 C 解析 因为 由 又 所以 11 1 22 x y xx 01yx 得 1ln1 11f 所以 1 1bc 1adbc 10 定义在上的函数是减函数 且函数的图象关于原点成中心对称 R yf x yf x 若 满足不等式 则当时 的取值范围是 st 22 2 2 f ssftt 14s t s 4 A B C D 1 1 4 1 1 4 1 1 2 1 1 2 答案 D 解析 易知函数是奇函数 又函数是在上的减函数 所以 f x yf x R 所以 因为 222 2 2 2 f ssfttftt 22 2 2 2 0sst tts st 即 所以 所以 做出不等式所表示的平面区14s 221 2 sss 即2 sts 域 如图的阴影部分的 C 4 2 而表示在可行域内任一点与原点 0 0 的ABC t s 连线的斜率 结合图像可知 OB 直线的斜率最大 直线 OC 的斜率最小 因为 11 1 1 22 OBoc t kk s 故 第第 卷卷 非选择题 共非选择题 共 100100 分 分 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 将答案填写在题中的横线上将答案填写在题中的横线上 11 已知等差数列的前项和为 则数列的前 100 项和为 n an 55 5 15 n SaS 1 1 nn a a 答案 100 101 解析 因为 所以 所以 55 5 15aS 1 1 1 45 11 51015 ad ad ad 解得 n an 所以 所以 11 111 nnnn a aaa 5 12231001011011 111111111100 1 101101aaaaaaaa 12 已知函数 f x满足 当 x 4 时 f x 1 2 x 当 x 4 时 f x 1 f x 则 2 2log 3 f 答案 1 24 解析 因为 所以 222 32log 22 log 32log 44 22 3 log 33log 3 22 1111 2 log 33log 3 22224 ff 13 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 答案 3 3 解析 由三视图知 原几何体是一个圆柱和三棱锥的组合体 圆柱 的底面半径为 1 高为 1 所以圆柱的体积为 三棱锥的的底面是等腰直角三 2 11 角形 两直角边为 高为 所以三棱柱的体积为 所23 113 223 323 以该几何体的体积为 3 3 14 已知 如果与的夹角为锐角 则的取值范围是 2 a 3 2 b a b 答案 411 0 333 解析 若与的夹角为锐角 则 a b 2 2 30 411 0 333 260 解得 或或 所以的取值范围是 411 0 333 15 考生注意 请在下列三个小题中任选一题作答 如果多做 考生注意 请在下列三个小题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题评分则按所做的第一题评分 A 不等式选做题 若不存在实数使成立 则实数的取值集合是x 3 1 xxa a 6 答案 2aa 解析 的几何意义为 x 轴上到点 3 和 1 的距离和 所以 3 1 yxx 的最小值为 2 因此实数的取值集合是 3 1 yxx a 2aa B 几何证明选做题 如图 已知AB和AC是圆的两条弦 过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D 过点C作BD的平 行线与圆相交于点E 与AB相交于点F AF 3 FB 1 EF 则线段CD的长为 3 2 答案 4 3 解析 如图 连结 BC BE 则 1 2 2 A 又 B B 代入数值得1A CBF ABC AC CF AB CB BC BF AB CB BC 2 AC 4 又由平行线等分线段定理得 解得 CD FB AF CD AC 3 4 C 坐标系与参数方程选做题 已知直线 t 为参数 与圆C2 1 l x1tcos sinyt 为参数 的位置关系不可能是 xcos siny 答案 相离 解析 把直线的方程 t 为参数 化为直角坐标方程为 1 l x1tcos sinyt 把圆C2的方程 为参数 化为直角坐标方程为tantan0 xy xcos siny 圆心到直线的距离为 22 1xy 222 tantan 1 tan1tan1 dr 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 7 16 16 本题满分本题满分 1212 分分 已知的三个内角 的对边分别为 且 ABC ABCabc 222 bcabc 求的值 2sincossin BCBC 若 求周长的最大值 2a ABC 1717 本题满分本题满分 1212 分分 已知函数 22 2 1 57f xxnxnn 设函数的图像的顶点的纵坐标构成数列 求证 为等差数列 yf x n a n a 设函数的图像的顶点到轴的距离构成数列 求的前项 yf x x n b n bn 和 n S 1818 本题满分本题满分 1212 分分 如图 四棱锥的底面为一直角梯形 其中PABCD ABCD 底面 BAAD CDAD 2 CDADAB PA ABCD 是的中点 EPC 求证 平面 BEPAD 若平面 求平面与平面夹角的余弦值 BE PCDEBDBDC 19 19 本题满分本题满分 1212 分分 某品牌汽车 4S 店对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计 统计结果如下表所示 付款方式分 1 期分 2 期分 3 期分 4 期分 5 期 频数 4020 a 10 b 已知分 3 期付款的频率为 0 2 4s 店经销一辆该品牌的汽车 顾客分 1 期付款 其利润 为 1 万元 分 2 期或 3 期付款其利润为 1 5 万元 分 4 期或 5 期付款 其利润为 2 万元 用Y表示经销一辆汽车的利润 求上表中的值 a b 若以频率作为概率 求事件 购买该品牌汽车的 3 位顾客中 至多有一位采A 用 3 期付款 的概率 P A 求Y的分布列及数学期望EY 20 20 本题满分本题满分 1313 分分 如图 F1 F2是离心率为的椭圆C 2 2 a b 0 的左 右焦点 直 22 22 1 xy ab 线 x 将线段F1F2分成两段 其l 1 2 长度之比为 1 3 设A B是椭圆C上 O F2F1 l B A P Q y x 8 的两个动点 线段AB的中垂线与C交于P Q两点 线段AB的中点M在直线l上 求椭圆C的方程 求的取值范围 22 F P F Q 2121 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知函数 2 1 21 2ln 2 f xaxaxxa R 若曲线 yf x 在1x 和3x 处的切线互相平行 求a的值 求 f x的单调区间 设 2 2g xxx 若对任意 1 0 2 x 均存在 2 0 2 x 使得 12 f xg x 求a的取值范围 数学四模 理科 参考答案数学四模 理科 参考答案 一 选择题 一 选择题 题号 12345678910 答案 CCDDAABDCD 二 填空题二 填空题 11 12 13 14 100 101 1 24 3 3 411 0 333 15 A B C 相离 2aa 4 3 三 解答题 三 解答题 16 解 b2 c2 a2 bc a2 b2 c2 bc 结合余弦定理知 cosA A 1 2 3 2sinBcosC sin B C sinBcosC cosBsinC sin B C sinA 6 分 由a 2 结合正弦定理 得 b c sinB sinC sinB sin B 2 3 2sinB 2cosB 4sin B 3 6 可知周长的最大值为 6 12 分 17 解 222 2 1 57 1 38f xxnxnnxnn 2 分38 n an 1 3 1 8 38 3 nn aann 9 数列为等差数列 4 分 n a 由题意知 6 分 38 nn ban 当时 12n 83 n bn 8 分 2 1 1 5 83 133 222 n nn n bbnnnn Sbb 当时 3n 38 n bn 123 52 1 38 nn Sbbbbn 10 分 2 2 1 38 31328 7 22 nnnn 12 分 2 2 133 12 2 31328 3 2 n nn n S nn n 18 设 建立空间坐标系 使得 ABa PAb 0 0 0 0 0 AB a 0 0 Pb 2 分 2 2 0 0 2 0 CaaDa 2 b E a a 0 2 b BEa 0 2 0 0 0 ADaAPb 所以 11 22 BEADAP 平面 平面 5 分BE PAD BE PAD 平面 即BE PCDBEPC 0BE PC 即 2 2 PCaab 2 2 20 2 b BE PCa 2ba 平面和平面中 BDEBDC 0 2 0 BEa a BDaa 2 0 BCaa 所以平面的一个法向量为 平面的一个法向量为 BDE 1 2 1 1 n BDC 2 0 0 1 n 所以平面与平面夹角的余弦值为 12 12 1 cos 6 n n EBDBDC 6 6 10 分 19 解 0 2 100 a 20a 402010100ab 4 分10b 记分期付款的期数为 则 x 40 1 0 4 100 P x 2 0 2P x 3 0 2P x 故所求概 4 0 1P x 5 0 1P x 率 8 分 312 3 0 80 2 0 80 896P AC Y 可能取值为 1 1 5 2 万元 1 1 0 4P YP x 1 5 2 3 0 4P YP xP x 2 4 5 0 2P YP xP x Y 的分布列为 Y11 52 P0 40 40 2 Y 的数学期望 万元 12 分1 0 4 1 5 0 42 0 21 4EY 20 20 解析 设F2 c 0 则 1 2 1 2 c c 1 3 所以c 1 因为离心率e 所以a 2 2 2 所以椭圆 C 的方程为 5 分 2 2 1 2 x y 当直线AB垂直于x轴时 直线AB方程为x 此时 P 0 Q 0 1 2 2 2 22 1F P F Q 当直线AB不垂直于x轴时 设直线AB的斜率为k M m m 0 A x1 y1 1 2 B x2 y2 由 得 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 x y x y O B A x y x 2 1 第 20 题图 M F1F2 11 x1 x2 2 y1 y2 0 12 12 yy xx 则 1 4mk 0 故 k 1 4m 此时 直线 PQ 斜率为 PQ 的直线方程为mk4 1 2 1 4 xmmy 即 mmxy 4 联立 消去y 整理得 1 2 4 2 2 y x mmxy 2222 321 16220mxm xm 所以 2 12 2 16 321 m xx m 2 12 2 22 321 m x x m 于是 x1 1 x2 1 y1y2 QFPF 22 4 4 1 212121 mmxmmxxxxx 2 21 2 21 2 1 14 161 mxxmxxm 2222 2 22 1 16 22 41 16 1 321321 mmmm m mm 2 2 191 321 m m 令t 1 32m2 1 t 29 则 t QFPF 32 51 32