第2讲-直接证明与间接证明

第 2 讲 直接证明与间接证明 2013 年高考会这样考 1 在历年的高考中 证明方法是常考内容 考查的主要方式是对它们原理的理 解和用法 难度多为中档题 也有高档题 2 从考查形式上看 主要以不等式 立体几何 解析几何 函数与方程 数列 等知识为载体 考查综合法 分析法 反证法等方法 复习指导 在备考中 对本部分的内容 要抓住关键 即分析法 综合法 反证法 要搞 清三种方法的特点 把握三种方法在解决问题中的一般步骤 熟悉三种方法适 用于解决的问题的类型 同时也要加强训练 达到熟能生巧 有效运用它们的 目的 基础梳理 1 直接证明 1 综合法 定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论 证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 框图表示 P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q 其中 P 表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q 表示要证的结论 2 分析法 定义 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把 要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为 止 这种证明方法叫做分析法 框图表示 Q P1P1 P2P2 P3 得到一个明显成立的条件 2 间接证明 一般地 由证明 p q 转向证明 綈 q r t t 与假设矛盾 或与某个真命题矛盾 从而判定綈 q 为假 推出 q 为真的方法 叫做反证法 一个关系 综合法与分析法的关系 分析法与综合法相辅相成 对较复杂的问题 常常先从结论进行分析 寻求结 论与条件 基础知识之间的关系 找到解决问题的思路 再运用综合法证明 或者在证明时将两种方法交叉使用 两个防范 1 利用反证法证明数学问题时 要假设结论错误 并用假设命题进行推理 没 有用假设命题推理而推出矛盾结果 其推理过程是错误的 2 用分析法证明数学问题时 要注意书写格式的规范性 常常用 要证 欲证 即要证 就要证 等分析到一个明显成立的结论 P 再说明所要证 明的数学问题成立 双基自测 1 人教 A 版教材习题改编 p q m n a b c d 均为正数 则 p q 的大 abcdma nc b m d n 小为 A p q B p q C p q D 不确定 解析 q ab mad n nbc m cd ab 2 abcd cd p 当且仅当 时取等号 abcd mad n abc m 答案 B 2 设 a lg 2 lg 5 b ex x 0 则 a 与 b 大小关系为 A a b B a b C a b D a b 解析 a lg 2 lg 5 1 b ex 当 x 0 时 0 b 1 a b 答案 A 3 否定 自然数 a b c 中恰有一个偶数 时 正确的反设为 A a b c 都是奇数 B a b c 都是偶数 C a b c 中至少有两个偶数 D a b c 中至少有两个偶数或都是奇数 解析 a b c 恰有一个偶数 即 a b c 中只有一个偶数 其反面是有两 个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数 故只有 D 正确 答案 D 4 2012 广州调研 设 a b R 若 a b 0 则下列不等式中正确的是 A b a 0 B a3 b3 0 C a2 b2 0 D b a 0 解析 a b 0 b a a 0 a b a b a 0 答案 D 5 在用反证法证明数学命题时 如果原命题的否定事项不止一个时 必须将结 论的否定情况逐一驳倒 才能肯定原命题的正确 例如 在 ABC 中 若 AB AC P 是 ABC 内一点 APB APC 求证 BAP CAP 用反证法证明时应分 假设 和 两类 答案 BAP CAP BAP CAP 考向一 综合法的应用 例 1 设 a b c 0 证明 a b c a2 b b2 c c2 a 审题视点 用综合法证明 可考虑运用基本不等式 证明 a b c 0 根据均值不等式 有 b 2a c 2b a 2c a2 b b2 c c2 a 三式相加 a b c 2 a b c a2 b b2 c c2 a 当且仅当 a b c 时取等号 即 a b c a2 b b2 c c2 a 综合法是一种由因导果的证明方法 即由已知条件出发 推导出所要 证明的等式或不等式成立 因此 综合法又叫做顺推证法或由因导果法 其逻 辑依据是三段论式的演绎推理方法 这就要保证前提正确 推理合乎规律 才 能保证结论的正确性 训练 1 设 a b 为互不相等的正数 且 a b 1 证明 4 1 a 1 b 证明 a b 2 2 2 4 1 a 1 b 1 a 1 b b a a b 又 a 与 b 不相等 故 4 1 a 1 b 考向二 分析法的应用 例 2 已知 m 0 a b R 求证 2 a mb 1 m a2 mb2 1 m 审题视点 先去分母 合并同类项 化成积式 证明 m 0 1 m 0 所以要证原不等式成立 只需证明 a mb 2 1 m a2 mb2 即证 m a2 2ab b2 0 即证 a b 2 0 而 a b 2 0 显然成立 故原不等式得证 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成 立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 训练 2 已知 a b m 都是正数 且 a b 求证 a m b m a b 证明 要证明 由于 a b m 都是正数 a m b m a b 只需证 a b m b a m 只需证 am bm 由于 m 0 所以 只需证 a b 已知 a b 所以原不等式成立 说明 本题还可用作差比较法 综合法 反证法 考向三 反证法的应用 例 3 已知函数 f x ax a 1 x 2 x 1 1 证明 函数 f x 在 1 上为增函数 2 用反证法证明 f x 0 没有负根 审题视点 第 1 问用单调增函数的定义证明 第 2 问假设存在 x0 0 后 应推 导出 x0的范围与 x0 0 矛盾即可 证明 1 法一 任取 x1 x2 1 不妨设 x1 x2 则 x2 x1 0 ax2 x1 1 且 ax1 0 所以 ax2 ax1 ax1 ax2 x1 1 0 又因为 x1 1 0 x2 1 0 所以 x2 2 x2 1 0 x1 2 x1 1 x2 2 x1 1 x1 2 x2 1 x2 1 x1 1 3 x2 x1 x2 1 x1 1 于是 f x2 f x1 ax2 ax1 0 x2 2 x2 1 x1 2 x1 1 故函数 f x 在 1 上为增函数 法二 f x axln a 0 3 x 1 2 f x 在 1 上为增函数 2 假设存在 x0 0 x0 1 满足 f x0 0 则 ax0 又 0 ax0 1 所以 x0 2 x0 1 0 1 即 x0 2 与 x0 0 x0 1 假设矛盾 故 f x0 0 没有负 x0 2 x0 1 1 2 根 当一个命题的结论是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出现 时 宜用反证法来证 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是 与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛 盾等方面 反证法常常是解决某些 疑难 问题的有力工具 是数学证明中的 一件有力武器 训练 3 已知 a b 为非零向量 且 a b 不平行 求证 向量 a b 与 a b 不平行 证明 假设向量 a b 与 a b 平行 即存在实数 使 a b a b 成立 则 1 a 1 b 0 a b 不平行 Error Error 得Error Error 所以方程组无解 故假设不成立 故原命题成立 规范解答 24 怎样用反证法证明问题 问题研究 反证法是主要的间接证明方法 其基本特点是反设结论 导出矛 盾 当问题从正面证明无法入手时 就可以考虑使用反证法进行证明 在高考中 对反证法的考查往往是在试题中某个重要的步骤进行 解决方案 首先反设 且反设必须恰当 然后再推理 得出矛盾 最后肯定 示例 本题满分 12 分 2011 安徽 设直线 l1 y k1x 1 l2 y k2x 1 其 中实数 k1 k2满足 k1k2 2 0 1 证明 l1与 l2相交 2 证明 l1与 l2的交点在椭圆 2x2 y2 1 上 第 1 问采用反证法 第 2 问解 l1与 l2的交点坐标 代入椭圆方程验 证 解答示范 证明 1 假设 l1与 l2不相交 则 l1与 l2平行或重合 有 k1 k2 2 分 代入 k1k2 2 0 得 k 2 0 4 分 2 1 这与 k1为实数的事实相矛盾 从而 k1 k2 即 l1与 l2相交 6 分 2 由方程组Error Error 解得交点 P 的坐标 x y 为Error Error 9 分 从而 2x2 y2 2 2 2 2 k2 k1 k2 k1 k2 k1 1 8 k2 2 k2 1 2k1k2 k2 2 k2 1 2k1k2 k2 1 k2 2 4 k2 1 k2 2 4 此即表明交点 P x y 在椭圆 2x2 y2 1 上 12 分 用反证法证明不等式要把握三点 1 必须先否定结论 即肯定结论的 反面 2 必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须依据这一条件进行推证 3 推导出的矛盾 可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与已知事实矛盾等 但是推导出的矛盾必须是明显的 试一试 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且满足 an Sn 2 1 求数列 an 的通项公式 2 求证数列 an 中不存在三项按原来顺序成等差数列 尝试解答 1 当 n 1 时 a1 S1 2a1 2 则 a1 1 又 an Sn 2 所以 an 1 Sn 1 2