高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系教案 新人教A版必修2

用心 爱心 专心1 4 2 14 2 1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 一 教学目标 1 知识与技能 1 理解直线与圆的位置的种类 2 利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 3 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 二 过程与方法 设直线l ax by c 0 圆C x2 y2 Dx Ey F 0 圆的半径为r 圆 心 22 DE 到直线的距离为d 则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点 1 当d r时 直线l与圆C相离 2 当d r时 直线l与圆C相切 3 当d r时 直线l与圆C相交 3 情态与价值观 让学生通过观察图形 理解并掌握直线与圆的位置关系 培养学生数形结合的思想 二 教学重点 难点 重点 直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法 难点 用坐标法判定直线与圆的位置关系 三 教学过程设想 教学环节教学内容师生互动设计意图 复习引入 1 初中学过的平面 几何中 直线与圆的位 置关系有几类 师 让学生之间进行讨论 交流 引导学生观察图形 导入 新课 生 看图 并说出自己的看 法 启发学 生由图形获 取判断直线 与圆的位置 关系的直观 认知 引入 新课 概念形成 2 直线与圆的位置 关系有哪几种呢 三种 1 直线与圆相交 有两个公共点 2 直线与圆相切 只有一个公共点 3 直线与圆相离 没有公共点 师 引导学生利用类比 归 纳的思想 总结直线与圆的位置 关系的种类 进一步深化 数形 结合 的数学思想 生 观察图形 利用类比的 方法 归纳直线与圆的位置关系 得出直 线与圆的位 置关系的几 何特征与种 类 概念深化 3 在初中 我们怎 样判断直线与圆的位置 师 引导学生回忆初中判断 直线与圆的位置关系的思想过程 使学生 回忆初中的 用心 爱心 专心2 关系呢 如何用直线与 圆的方程判断它们之间 的位置关系呢 生 回忆直线与圆的位置关 系的判断过程 数学知识 培养抽象概 括能力 4 你能说出判断直 线与圆的位置关系的两 种方法吗 方法一 利用圆心 到直线的距离d 方法二 利用直线 与圆的交点个数 师 引导学生从几何的角度 说明判断方法和通过直线与圆的 方程说明判断方法 生 利用图形 寻找两种方 法的数学思想 抽象判 断直线与圆 的位置关系 的思路与方 法 应用举例 5 你能用两种判断 直线与圆的位置关系的 数学思想解决例 1 的问 题吗 例 1 如图 已知直 线l 3x y 6 0 和圆心为C的圆x2 y2 2y 4 0 判断 直线l 与圆的位置关系 如果相交 求它们交点 的坐标 分析 方法一 由 直线l 与圆的位置关系 就是看由它们的方程组 成的方程组有无实数解 方法二 可以依据圆心 到直线的距离与半径长 的关系 判断直线与圆 的位置关系 师 指导学生阅读教科书上 的例 1 生 仔细阅读教科书上的例 1 并完成教科书第 140 页的练 习题 2 例 1 解法一 由直线l 与圆的方程 得 22 360 240 xy xyy 消去y 得x2 3x 2 0 因为 3 2 4 1 2 1 0 所以 直线l与圆相交 有 两个公共点 解法二 圆x2 y2 2y 4 0 可化为x2 y 1 2 5 其圆心C的坐标为 0 1 半径长为5 点C 0 1 到直 线l 的距离 d 22 3 0 1 6 5 10 31 5 所以 直线l 与圆相交 有 两个公共点 由x2 3x 2 0 解得 x1 2 x2 1 体会判 断直线与圆 的位置关系 的思想方法 关注量与量 之间的关系 使学生 熟悉判断直 线与圆的位 置关系的基 本步骤 用心 爱心 专心3 6 通过学习教科书 的例 1 你能总结一下判 断直线与圆的位置关系 的步骤吗 例 2 已知过点M 3 3 的直线l 被 圆x2 y2 4y 21 0 所截得的弦长为4 5 求直线l 的方程 把x1 2 代入方程 得y1 0 把x2 1 代入方程 得y2 0 所以 直线l 与圆有两个交 点 它们的坐标分别是 A 2 0 B 1 3 生 阅读例 1 师 分析例 1 并展示解答 过程 启发学生概括判断直线与 圆的位置关系的基本步骤 注意 给学生留有总结思考的时间 生 交流自己总结的步骤 师 展示解题步骤 例 2 解 将圆的方程写成 标准形式 得 x2 y2 2 2 25 所以 圆心的坐标是 0 2 半径长r 5 如图 因为直线l 的距离为 4 5 所以弦心距为 22 4 5 5 5 2 即圆心到所求直线l的距离为 5 因为直线l 过点M 3 3 所以可设所求直线l 的方程为 y 3 k x 3 即k x y 3k 3 0 根据点到直线的距离公式 得到圆心到直线l 的距离 用心 爱心 专心4 d 2 233 1 k k 因此 2 233 5 1 k k 即 3k 1 2 55k 两边平方 并整理得到 2k2 3k 2 0 解得k 1 2 或k 2 所以 所求直线l 有两条 它们的方程分别为 y 3 1 2 x 3 或y 3 2 x 3 即x 2y 0 或 2x y 3 0 7 通过学习教科书 上的例 2 你能说明例 2 中体现出来的数学思想 方法吗 8 通过例 2 的学习 你发现了什么 半弦 弦心距 半 径构成勾股弦关系 师 指导学生阅读并完成教 科书上的例 2 启发学生利用 数形结合 的数学思想解决问 题 生 阅读教科书上的例 2 并完成 137 页的练习题 师 引导并启发学生探索直 线与圆的相交弦的求法 生 通过分析 抽象 归纳 得出相交弦长的运算方法 进一步 深化 数形 结合 的数 学思想 明确弦 长的运算方 法 9 完成教科书第 136 页的练习题 1 2 3 4 师 引导学生完成练习题 生 互相讨论 交流 完成 练习题 巩固所 学过的知识 进一步理解 和掌握直线 与圆的位置 关系 归纳总结 10 课堂小结 教师提出下列问题让 学生思考 1 通过直线与圆的 位置关系的判断 你学到 师生共同回顾 回顾 反思 总结 形成知识体 系 用心 爱心 专心5 了什么 2 判断直线与圆的 位置关系有几种方法 它 们的特点是什么 3 如何求出直线与 圆的相交弦长 课外作业 布置作业 见习题 4 2 第一课 时 学生独立完成 巩固所 学知识 备选例题备选例题 例 1 已知圆的方程x2 y2 2 直线y x b 当b为何值时 1 圆与直线有两个公共点 2 圆与直线只有一个公共点 3 圆与直线没有公共点 解法 1 圆心O 0 到直线y x b的距离为 2 b d 圆的半径2r 1 当d r 即 2 b 2 时 直线与圆相交 有两个公共点 2 当d r 即b 2 时 直线与圆相切 有一个公共点 3 当d r 即b 2 或b 2 时 直线与圆相离 无公共 点 解法 2 联立两个方程得方程组 22 2xy yxb 消去y2得 2x2 2bx b2 2 0 16 4b2 1 当 0 即 2 b 2 时 直线与圆有两个公共点 2 当 0 即2b 时 直线与圆有一个公共点 3 当 0 即b 2 或b 2 时 直线与圆无公共点 例 2 直线m经过点P 5 5 且和圆C x2 y2 25 相交 截得弦长l为4 5 求 m的方程 解析 设圆心到直线m的距离为 d 由于圆的半径r 5 弦长的一半2 5 2 l 所以由勾股定理 得 22 5 2 5 5d 所以设直线方程为y 5 k x 5 即kx y 5 5k 0 由 2 55 5 1 k k 得 1 2 k 或k 2 所以直线m的方程为x 2y 5 0 或 2x y 5 0 例 3 已知圆C x2 y2 2x 4y 4 0 问是否存在斜率为 1 的直线l 使 用心 爱心 专心6 l被圆C截得弦AB满足 以AB为直径的圆经过原点 解析 假设存在且设l为 y x m 圆C化为 x 1 2 y 2 2 9 圆 心C 1 2 解方程组