高数公式大全

高 等 代 数 兼听则明 偏信则暗 高等数学公式 平方关系 sin 2 cos 2 1 tan 2 1 sec 2 cot 2 1 csc 2 积的关系 sin tan cos cos cot sin tan sin sec cot cos csc sec tan csc csc sec cot 倒数关系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 直角三角形 ABC 中 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数 cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 三角和的三角函数 sin sin cos cos cos sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos cos cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos tan tan tan tan tan tan tan 1 tan tan tan tan tan tan 辅助角公式 Asin Bcos A 2 B 2 1 2 sin t 其中 sint B A 2 B 2 1 2 cost A A 2 B 2 1 2 tant B A Asin Bcos A 2 B 2 1 2 cos t tant A B 倍角公式 三倍角公式 sin 2 2sin cos 2 tan cot sin 3 3sin 4sin 3 cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 cos 3 4cos 3 3cos tan 2 2tan 1 tan 2 半角公式 sin 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 tan 2 1 cos 1 cos sin 1 cos 1 cos sin 降幂公式 sin 2 1 cos 2 2 versin 2 2 cos 2 1 cos 2 2 covers 2 2 tan 2 1 cos 2 1 cos 2 万能公式 sin 2tan 2 1 tan 2 2 cos 1 tan 2 2 1 tan 2 2 tan 2tan 2 1 tan 2 2 积化和差公式 sin cos 1 2 sin sin cos sin 1 2 sin sin cos cos 1 2 cos cos sin sin 1 2 cos cos 和差化积公式 sin sin 2sin 2 cos 2 sin sin 2cos 2 sin 2 cos cos 2cos 2 cos 2 cos cos 2sin 2 sin 2 推导公式 tan cot 2 sin2 tan cot 2cot2 1 cos2 2cos 2 1 cos2 2sin 2 1 sin sin 2 cos 2 2 其他 sin sin 2 n sin 2 2 n sin 2 3 n sin 2 n 1 n 0 cos cos 2 n cos 2 2 n cos 2 3 n cos 2 n 1 n 0 以及 sin 2 sin 2 2 3 sin 2 2 3 3 2 tanAtanBtan A B tanA tanB tan A B 0 三角函数的角度换算 编辑本段 公式一 设 为任意角 终边相同的角的同一三角函数的值相等 sin 2k sin cos 2k cos tan 2k tan cot 2k cot 公式二 设 为任意角 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式三 任意角 与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式四 利用公式二和公式三可以得到 与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式五 利用公式一和公式三可以得到 2 与 的三角函数值之间的关系 sin 2 sin cos 2 cos tan 2 tan cot 2 cot 公式六 2 及 3 2 与 的三角函数值之间的关系 sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot cot 2 tan sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot cot 2 tan sin 3 2 cos cos 3 2 sin tan 3 2 cot cot 3 2 tan sin 3 2 cos cos 3 2 sin tan 3 2 cot cot 3 2 tan 以上 k Z 部分高等内容 编辑本段 高等代数中三角函数的指数表示 由泰勒级数易得 sinx e ix e ix 2i cosx e ix e ix 2 tanx e ix e ix ie ix ie ix 泰勒展开有无穷级数 e z exp z 1 z 1 z 2 2 z 3 3 z 4 4 z n n 此时三角函数定义域已推广至整个复数集 三角函数作为微分方程的解 对于微分方程组 y y y y 有通解 Q 可证明 Q Asinx Bcosx 因此也可以从此出发定义三角函数 补充 由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数 双曲函数 其拥有很多与三角函数的类似的性质 二者相映成趣 特殊三角函数值 a 0 30 45 60 90 sina 0 1 2 2 2 3 2 1 cosa 1 3 2 2 2 1 2 0 tana 0 3 3 1 3 None cota None 3 1 3 3 0 导数公式 导数公式 基本积分表 基本积分表 ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 log ln csc csc sec sec csc sec 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 arccos 1 1 arcsin x arcctgx x arctgx x x x x Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x ln ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 ln 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 三角函数数的有理式积积分 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x 一些初等函数数 两个两个重要极极限 三角函数数公式 诱导诱导公式 函数 角 A sincostancot sin cos tan cot 90 cos sin cot tan 90 cos sin cot tan 180 sin cos tan cot 180 sin cos tan cot 270 cos sin cot tan 270 cos sin cot tan 360 sin cos tan cot 360 sin cos tan cot x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx 1 1 ln 2 1 1ln 1ln 2 2 2 2 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 590457182818284 2 1 1 lim 1 sin lim 0 e x x x x x x 和差角公式 和差角公式 和差化积公式 和差化积公式 倍角公式 半角公式 cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin ctgtg 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理 Cabbaccos2 222 反三角函数数性质质 arcctgxarctgxxx 2 arccos 2 arcsin 高阶导阶导数数公式 莱莱布尼兹兹 Leibniz 公式 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg 1 1 sinsincoscos cos sincoscossin sin 2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg 2 1 0 1 1 2 1 nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv 中值值定理与与导导数数应应用 拉格朗日中值定理 时 柯西中值定理就是当 柯西中值定理 拉格朗日中值定理 xx F f aFbF afbf abfafbf F 曲率 1 0 1 limM sMM 1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s 的圆 半径为 直线 点的曲率 弧长 化量 点 切线斜率的倾角变点到从平均曲率 其中弧微分公式 定积积分的近似计计算 b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf 4 2 3 2 1 1312420 110 110 抛物线法 梯形法 矩形法 定积积分应应用相关关公式 b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW 1 1 2 2 21 均方根 函数的平均值 为引力系数引力 水压力 功 空间间解析几何和向量代数数 代表平行六面体的体积 为锐角时 向量的混合积 例 线速度 两向量之间的夹角 是一个数量 轴的夹角 与是向量在轴上的投影 点的距离 空间 cos sin cos cos PrPr Pr cosPr 2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa a ja jaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u 马鞍面 双叶双曲面 单叶双曲面 双曲面 同号 抛物面 椭球面 二次曲面 参数方程 其中空间直线的方程 面的距离 平面外任意一点到该平 截距世方程 一般方程 其中 点法式 平面的方程 1 1 3 22 2 11 13 02 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数数微分法及应应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz 隐函数 隐函数 隐函数的求导公式 时 当 多元复合函数的求导法 全微分的近似计算 全微分 0 0 2 2 1 1 1 1 0 0 yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu 隐函数方程组 微分法在几何上的应应用 3 0 2 1 0 0 0 0 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy 过此点的法线方程 过此点的切平面方程 过此点的法向量 则 上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为 处的法平面方程 在点 处的切线方程 在点空间曲线 方向导导数与数与梯度 上的投影 在是 单位向量 方向上的 为 其中 它与方向导数的关系是 的梯度 在一点函数 的转角 轴到方向为其中 的方向导数为 沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz grad sincos grad grad sincos 多元函数数的极极值值及其求法 不确定时 值时 无极 为极小值 为极大值 时 则 令 设 0 0 0 0 0 0 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 重积积分及其应应用 D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 D 2 2 0 0 0 1 sin cos 其中 的引力 轴上质点平面 对平面薄片 位于 轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量 平面薄片的重心 的面积曲面 柱面坐标标和球面坐标标 dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvz M zdvy M ydvx M x drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx zyx r 1 1 1 sin sin sinsin cos sinsin cossin sin cos sin cos 222222 2 00 0 22 2 转动惯量 其中 重心 球面坐标 其中 柱面坐标 曲线积线积分 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx LLyxf L 特殊情况 则 的参数方程为 上连续 在设 长的曲线积分 第一类曲线积分 对弧 通常设 的全微分 其中 才是二元函数时 在 二元函数的全微分求积 注意方向相反 减去对此奇点的积分 应 注意奇点 如 且内具有一阶连续偏导数在 是一个单连通区域 无关的条件 平面上曲线积分与路径 的面积 时 得到 即 当 格林公式 格林公式 的方向角 上积分起止点处切向量 分别为和 其中系 两类曲线积分之间的关 则 的参数方程为设 标的曲线积分 第二类曲线积分 对坐 0 0 0 2 1 2 1 2 coscos 00 00 yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdx y P x Q y P x Q GyxQyxP G ydxxdydxdyAD y P x Q xQyP QdyPdxdxdy y P x Q QdyPdxdxdy y P x Q L dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty tx L yx yx DL DLDL LL L 曲面积积分 dsRQPRdxdyQdzdxPdydz dzdxzxzyxQdzdxzyxQ dydzzyzyxPdydzzyxP dxdyyxzyxRdxdyzyxR dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf zx yz xy xy D D D D yx coscoscos 1 22 系 两类曲面积分之间的关 号 取曲面的右侧时取正 号 取曲面的前侧时取正 号 取曲面的上侧时取正 其中 对坐标的曲面积分 对面积的曲面积分 高斯公式 dsAdvA dsRQPdsAdsnA z R y Q x P dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P n n div coscoscos 0div div coscoscos 成 因此 高斯公式又可写 通量 则为消失的流体质量 若即 单位体积内所产生散度 通量与散度 高斯公式的物理意义 斯托克斯公式 曲线积线积分与与曲面积积分的关关系 dstARdzQdyPdxA RQP zyx A y P x Q x R z P z Q y R RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdxdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R 的环流量 沿有向闭曲线向量场 旋度 关的条件 空间曲线积分与路径无 上式左端又可写成 kji rot coscoscos 常数数项级项级数数 是发散的调和级数 等差数列 等比数列 n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 1 321 1 1 1 12 级级数数审敛审敛法 散 存在 则收敛 否则发 定义法 时 不确定 时 级数发散 时 级数收敛 则设 比值审敛法 时 不确定 时 级数发散 时 级数收敛 则设 别法 根植审敛法 柯西判 正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus U U u lim 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1 的绝对值其余项 那么级数收敛且其和如果交错级数满足 莱布尼兹定理 的审敛法或交错级数 11 1 3214321 0lim 0 nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu 绝对绝对收敛敛与条与条件收敛敛 时收敛 时发散 级数 收敛 级数 收敛 发散 而调和级数 为条件收敛级数 收敛 则称发散 而如果 收敛级数 肯定收敛 且称为绝对收敛 则如果 为任意实数 其中 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn 幂级幂级数数 0 0 1 0 3 lim 3 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时 时 时 的系数 则是 其中求收敛半径的方法 设 称为收敛半径 其中 时不定 时发散 时收敛 使在数轴上都收敛 则必存 收敛 也不是在全 如果它不是仅在原点 对于级数 时 发散 时 收敛于 函数数展开开成幂级幂级数数 n n n n n n n n n x n f x f xffxfx Rxfxx n f R xx n xf xx xf xxxfxf 0 2 0 0 0 0 0lim 1 2 2 0 1 0 1 0 0 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式 充要条件是 可以展开成泰勒级数的余项 函数展开成泰勒级数 一些函数数展开开成幂级幂级数数 12 1 5 3 sin 11 1 1 2 1 1 1 12 1 53 2 x n xxx xx xx n nmmm x mm mxx n n nm 欧欧拉公式 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 或 三角级级数数 上的积分 在任意两个不同项的乘积正交性 其中 0 cos sin2cos 2sin cos sin 1 cossin sincos 2 sin 00 1 0 1 0 nxnxxxxx xtAbAaaAa nxbnxa a tnAAtf nnnnnn n nn n nn 傅立叶级级数数 是偶函数 余弦级数 是奇函数 正弦级数 相减 相加 其中 周期 nxa a xfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxa a xf nnn nnn n n n nn cos 2 2 1 0cos 2 0 sin 3 2 1nsin 2 0 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 3 2 1 sin 1