上海1719各区一模压轴题.doc

上海17-19各区一模压轴题（1）一解答题（共50小题）1（2019崇明区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2+bx+6（a、b都是常数，且a0）的图象与x轴交于点A（2，0）、B（6，0），顶点为点C（1）求这个二次函数的解析式及点C的坐标；（2）过点B的直线yx+3交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求CBD的余切值；（3）点P为抛物线上一个动点，当PBACBD时，求点P的坐标2（2019崇明区一模）如图，在ABC中，ABAC5，BC6，ADBC，垂足为D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PFAC交线段BD于点F，作PGAB交AD于点E，交线段CD于点G，设BPx（1）用含x的代数式表示线段DG的长；（2）设DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由3（2019嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线yax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），与y轴的交点为C（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M，求AMC的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且DOE45，求点E的坐标4（2019南海区三模）在矩形ABCD中，AB6，AD8，点E是边AD上一点，EMEC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项（1）如图1，求证：ANEDCE；（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；（3）连接AC，如果AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长5（2019定陶区三模）如图，抛物线yx2+bx+c经过点A（2，0），点B（0，4）（1）求这条抛物线的表达式；（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果PBOBAO，求点P的坐标；（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DEx轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO2OF，求m的值6（2019松江区一模）如图，已知ABC中，ACB90，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E（1）如果BC6，AC8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PDAB，且CE2，ED3，求cosA的值；（3）联结PD，如果BP22CD2，且CE2，ED3，求线段PD的长7（2019奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与抛物线yax2+bx交于点A（6，0）和点B（1，5）（1）求这条抛物线的表达式和直线AB的表达式；（2）如果点C在直线AB上，且BOC的正切值是，求点C的坐标8（2019奉贤区一模）如图，已知梯形ABCD中，ABCD，DAB90，AD4，AB2CD6，E是边BC上一点，过点D、E分别作BC、CD的平行线交于点F，联结AF并延长，与射线DC交于点G（1）当点G与点C重合时，求CE：BE的值；（2）当点G在边CD上时，设CEm，求DFG的面积；（用含m的代数式表示）（3）当AFDADG时，求DAG的余弦值9（2015赤峰）已知二次函数yax2+bx3a经过点A（1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由10（2019徐汇区校级一模）小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考：（1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，若ADBDCD，求证：BAC90（2）接下来，小儒又遇到一个问题：如图，已知矩形ABCD，如果在矩形外存在一点E，使得AECE，求证：BEDE，请你作出证明，可以直接用到第（1）问的结论（3）在第（2）问的条件下，如果AED恰好是等边三角形，直接用等式表示出此时矩形的两条邻边AB与BC的数量关系11（2019黄浦区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A（1，0）、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，对称轴为直线x1，交x轴于点E，tanBDE（1）求抛物线的表达式；（2）若点P是对称轴上一点，且DCPBDE，求点P的坐标12（2019黄浦区一模）在ABC中，ACB90，BC3，AC4，点O是AB的中点，点D是边AC上一点，DEBD，交BC的延长线于点E，ODDF，交BC边于点F，过点E作EGAB，垂足为点G，EG分别交BD、DF、DC于点M、N、H（1）求证：；（2）设CDx，NEy，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当DEF是以DE为腰的等腰三角形时，求线段CD的长13（2019浦东新区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线yax24ax+4经过点A和点B，并与x轴相交于另一点C，对称轴与x轴相交于点 D（1）求抛物线的表达式；（2）求证：BODAOB；（3）如果点P在线段AB上，且BCPDBO，求点P的坐标14（2019浦东新区一模）将大小两把含30角的直角三角尺按如图1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C重合，小三角尺的顶点D、E分别在大三角尺的直角边AC、BC上，此时小三角尺的斜边DE恰好经过大三角尺的重心G已知ACDE30，AB12（1）求小三角尺的直角边CD的长；（2）将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边AB上时（如图2），求点B、E之间的距离；（3）在小三角尺绕点C旋转的过程中，当直线DE经过点A时，求BAE的正弦值15（2019随县模拟）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：yax2+bx（a0）经过点A和x轴上的点B，AOOB2，AOB120（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM，求SAOM；（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果MBF与AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式16（2019徐汇区一模）已知在梯形ABCD中，ADBC，ACBC10，cosACB，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），EDCACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x（1）如图1，当DFBC时，求AD的长；（2）设ECy，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当DFC是等腰三角形时，求AD的长17（2019东阳市模拟）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线yax2+bx+c（a0）的图象经过点B （4，0）、D （5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且ABD的面积是3（1）求该抛物线的表达式；（2）求ADB的正切值；（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当APE与ABD相似时，求点P的坐标18（2019静安区一模）已知：如图，在ABC中，AB6，AC9，tanABC2过点B作BMAC，动点P在射线BM上（点P不与B重合），连结PA并延长到点Q，使AQCABP（1）求ABC的面积；（2）设BPx，AQy，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）连接PC，如果PQC是直角三角形，求BP的长19（2019闵行区一模）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx经过点A（5，0）、B（3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD求BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且PAOBAO，求点P的坐标20（2019闵行区一模）如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，AD5，BC15，cosABCE为射线CD上任意一点，过点A作AFBE，与射线CD相交于点F连接BF，与直线AD相交于点G设CEx，y（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果，求线段CE的长21（2019资阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线yx2平移后经过点A（1，0）、B（4，0），且平移后的抛物线与y轴交于点C（如图）（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D在线段CB上，且CD，求CAD的正弦值；（3）点E在y轴上且位于点C的上方，点P在直线BC上，点Q在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ是菱形，求点Q的坐标22（2019青浦区一模）如图，在梯形ABCD中，ADBC，BC18，DBDC15，点E、F分别在线段BD、CD上，DEDF5AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H（1）求证：BGCH；（2）设ADx，ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG，当HFG与ADN相似时，求AD的长23（2019虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tanOAB的值24（2019虹口区一模）如图，在四边形ABCD中ADBC，A90，AB6，BC10，点E为边AD上一点，将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F（1）如果cosDBC，求EF的长；（2）当点F在边BC上时，连接AG，设ADx，y，求y关于x的函数关系式并写出x的取值范围；（3）连接CG，如果FCG是等腰三角形，求AD的长25（2019杨浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c（a0）与y轴交于点C（0，2），它的顶点为D（1，m），且tanCOD（1）求m的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OAOB若点A是由原抛物线上的点E平移所得，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点（位于x轴上方），且APB45求P点的坐标26（2019杨浦区一模）已知：梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD3，AB6，DFDC分别交射线AB、射线CB于点E、F（1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长；（2）当点E在边AB上时（如图2），联结CE，试问：DCE的大小是否确定？若确定，请求出DCE的正切值；若不确定，则设AEx，DCE的正切值为y，请求出y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当AEF的面积为3时，求DCE的面积27（2019宝山区一模）如图，已知：二次函数yx2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数yx3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，OCA的正切值为（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P，若SABPSBCP，求m的值28（2019宝山区一模）如图，已知：梯形ABCD中，ABC90，DAB45，ABDC，DC3，AB5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F（1）若AP，求DE的长；（2）联结CP，若CPEP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得ADE与FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由29（2019长宁区一模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，BAO45，点P是线段AB上的一点，过点P作PMOB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内（1）求抛物线的表达式；（2）若BMPAOB，求点P的坐标；（3）过点M作MCx轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若ANC的面积等于PMN的面积的2倍，求的值30（2019长宁区一模）已知锐角MBN的余弦值为，点C在射线BN上，BC25，点A在MBN的内部，且BAC90，BCAMBN过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E点F在线段BE上（点F不与点B重合），且EAFMBN（1）如图1，当AFBN时，求EF的长；（2）如图2，当点E在线段BC上时，设BFx，BDy，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF，当ADF与ACE相似时，请直接写出BD的长31（2019普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B，且OB3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BEDE时，求点E的坐标；（3）如果点F是抛物线上的一点且FBD135，求点F的坐标32（2019普陀区一模）如图，点O在线段AB上，AO2OB2a，BOP60，点C是射线OP上的一个动点（1）如图，当ACB90，OC2，求a的值；（2）如图，当ACAB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQBC，并使QOCB，求AQ：OQ的值33（2019金山区一模）已知抛物线yx2+bx+c经过点A（0，6），点B（1，3），直线l1：ykx（k0），直线l2：yx2，直线l1经过抛物线yx2+bx+c的顶点P，且l1与l2相交于点C，直线l2与x轴、y轴分别交于点D、E若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线l2上（此时抛物线的顶点记为M），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线l1上（此时抛物线的顶点记为N）（1）求抛物线yx2+bx+c的解析式（2）判断以点N为圆心，半径长为4的圆与直线l2的位置关系，并说明理由（3）设点F、H在直线l1上（点H在点F的下方），当MHF与OAB相似时，求点F、H的坐标（直接写出结果）34（2019金山区一模）已知多边形ABCDEF是O的内接正六边形，联结AC、FD，点H是射线AF上的一个动点，联结CH，直线CH交射线DF于点G，作MHCH交CD的延长线于点M，设O的半径为r（r0）（1）求证：四边形ACDF是矩形（2）当CH经过点E时，M与O外切，求M的半径（用r的代数式表示）（3）设HCD（090），求点C、M、H、F构成的四边形的面积（用r及含的三角比的式子表示）35（2019高青县一模）已知抛物线yax2+bx+5与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），顶点为M点C在x轴的负半轴上，且ACAB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tanCPA的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得AEMAMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由36（2018浦东新区一模）如图，已知在ABC中，ACB90，BC2，AC4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EFAB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G（1）求证：EFGAEG；（2）设FGx，EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF，当EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度37（2018静安区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线yax2+bx，经过点A（1，0）、B（5，0）（1）求此抛物线顶点C的坐标；（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作CHBD，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于G，联结HG，求HG的长38（2018静安区一模）已知：如图，四边形ABCD中，0BAD90，ADDC，ABBC，AC平分BAD（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F（点F可与点D重合），AFBACB，设AB长度是a（a是常数，且a0），ACx，AFy，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）在第（2）小题的条件下，当CGE是等腰三角形时，求AC的长（计算结果用含a的代数式表示）39（2018杨浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+2mxm2m+1交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线yx2+2x的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果ADHAHO，求m的值40（2018江阴市模拟）已知：矩形ABCD中，AB4，BC3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上（1）如图1，当EPBC时，求CN的长；（2）如图2，当EPAC时，求AM的长；（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长41（2018徐汇区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx（k0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A（1）求直线BC及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求DBC的面积；（3）如果点F在y轴上，且CDF45，求点F的坐标42（2018徐汇区一模）已知，在梯形ABCD中，ADBC，A90，AD2，AB4，BC5，在射线BC任取一点M，联结DM，作MDNBDC，MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）（1）当BM的长为10时，求证：BDDM；（2）如图（1），当点N在线段BC上时，设BNx，BMy，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果DMN是等腰三角形，求BN的长43（2019深圳模拟）抛物线yax2+bx+3（a0）经过点A（1，0），B（，0），且与y轴相交于点C（1）求这条抛物线的表达式；（2）求ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DEAC，当DCE与AOC相似时，求点D的坐标44（2018闵行区一模）如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC3，CD是斜边上中线，点E在边AC上，点F在边BC上，且EDAFDB，联结EF、DC交于点G（1）当EDF90时，求AE的长；（2）CEx，CFy，求y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）如果CFG是等腰三角形，求CF与CE的比值45（2019越城区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x1（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（2）联结AC、BC，若ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当CGF为直角三角形时，求点Q的坐标46（2018青浦区一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且PBCBPQ（1）当QDQC时，求ABP的正切值；（2）设APx，CQy，求y关于x的函数解析式；（3）联结BQ，在PBQ中是否存在度数不变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由47（2018宝山区一模）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式axb的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为a，b对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当mxn时，有myn，我们就称此函数是闭区间m，n上的“闭函数”如函数yx+4，当x1时，y3；当x3时，y1，即当1x3时，恒有1y3，所以说函数yx+4是闭区间1，3上的“闭函数”，同理函数yx也是闭区间1，3上的“闭函数”（1）反比例函数y是闭区间1，2018上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）如果已知二次函数yx24x+k是闭区间2，t上的“闭函数”，求k和t的值；（3）如果（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，B为直线x1上的一点，当ABC为直角三角形时，写出点B的坐标48（2018宝山区一模）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD7，ABCD15，BC25，E为腰AB上一点且AE：BE1：2，F为BC一动点，FEGB，EG交射线BC于G，直线EG交射线CA于H（1）求sinABC；（2）求BAC的度数；（3）设BFx，CHy，求y与x的函数关系式及其定义域49（2018黄浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x1的抛物线yax2+bx+8过点（2，0）（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴的交点为B，与x轴负半轴交于点A，过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C，若ACBD，试求平移后所得抛物线的表达式50（2018黄浦区一模）如图，线段AB5，AD4，A90，DPAB，点C为射线DP上一点，BE平分ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）（1）当ABC为锐角，且tanABC2时，求四边形ABCD的面积；（2）当ABE与BCE相似时，求线段CD的长；（3）设CDx，DEy，求y关于x的函数关系式，并写出定义域上海17-19各区一模压轴题（1）参考答案与试题解析一解答题（共50小题）1（2019崇明区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2+bx+6（a、b都是常数，且a0）的图象与x轴交于点A（2，0）、B（6，0），顶点为点C（1）求这个二次函数的解析式及点C的坐标；（2）过点B的直线yx+3交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求CBD的余切值；（3）点P为抛物线上一个动点，当PBACBD时，求点P的坐标【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式，再利用配发法即可求出顶点C的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，过点D作DEBC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，由点B，C，D，F的坐标可得出CD，DF，BF的长，利用勾股定理可得出BC的长，利用角的正切值不变可求出DE的长，进而可求出BE的长，再利用余切的定义即可求出CBD的余切值；（3）设直线PB与y轴交于点M，由PBACBD及CBD的余切值可求出OM的长，进而可得出点M的坐标，由点B，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线BP的解析式，联立直线BP及二次函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标【解答】解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入yax2+bx+6，得：，解得：，二次函数的解析式为yx2+2x+6yx2+2x+6（x2）2+8，点C的坐标为（2，8）（2）当x2时，yx+32，点D的坐标为（2，2）过点D作DEBC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，如图1所示抛物线的顶点坐标为（2，8），点F的坐标为（2，0）点B的坐标为（6，0），CF8，CD6，DF2，BF4，BC4，BD2sinBCF，即，DE，BE，cotCBD（3）设直线PB与y轴交于点M，如图2所示PBACBD，cotPBA，即，OM，点M的坐标为（0，）或（0，）设直线BP的解析式为ymx+n（m0），将B（6，0），M（0，）代入ymx+n，得：，解得：，直线BP的解析式为yx+同理，当点M的坐标为（0，）时，直线BP的解析式为yx联立直线BP与抛物线的解析式成方程组，得：或，解得：，或，点P的坐标为（，）或（，）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、余切的定义、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）构造直角三角形，利用余切的定义求出CBD的余切值；（3）联立直线BP和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标2（2019崇明区一模）如图，在ABC中，ABAC5，BC6，ADBC，垂足为D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PFAC交线段BD于点F，作PGAB交AD于点E，交线段CD于点G，设BPx（1）用含x的代数式表示线段DG的长；（2）设DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得BD3，通过证明ABDGBP，可得BGBPx，即可得DG的长度；（2）根据相似三角形的性质可得FDBDBF3x，DEx，根据三角形面积公式可求y与x之间的函数关系式；（3）分EFPG，EFPF两种情况讨论，根据相似三角形的性质可求BP的长【解答】解：（1）ABAC5，BC6，ADBC，BDCD3，在RtABD中，AD4，BB，ADBBPG90，ABDGBPBGBPx，DGBGBDx3（2）PFACBFPBCA即BFx，FDBDBF3x，DGE+DEGDGE+ABD，ABDDEG，ADGADB90DEGDBADExSDEFyDFDE（3x）（x）x2+x （x）（3）若EFPG时，EFPG，EDFG，FED+DEG90，FED+EFD90，EFDDEG，且EDFEDG，EFDGDEED2FDDG（x）2（3x）（x3）557x21138x+22550x（不合题意舍去），x若EFPF，PFB+EFD90，且PFBACB，ACB+DAC90EFDDAC，且EDFADC90，EDFCDAx综上所述：当BP为或时，PEF为直角三角形【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形判定和性质，以及分类讨论思想，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键3（2019嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线yax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），与y轴的交点为C（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M，求AMC的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且DOE45，求点E的坐标【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）利用配方法可求出点M的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，过点M作MHy轴，垂足为点H，利用分割图形求面积法可得出AMC的面积；（3）连接OB，过点B作BGx轴，垂足为点G，则BGA，OCB是等腰直角三角形，进而可得出BAODBO，由DOB+BOE45，BOE+EOA45可得出EOADOB，进而可证出AOEBOD，利用相似三角形的性质结合抛物线的对称轴为直线x1可求出AE的长，过点E作EFx轴，垂足为点F，则AEF为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出AF、EF的长，进而可得出点E的坐标【解答】解：（1）将A（4，0），B（2，2）代入yax2+bx+2，得：，解得：，抛物线的表达式为yx2+x+2（2）yx2+x+2（x1）2+，顶点M的坐标为（1，）当x0时，yx2+x+22，点C的坐标为（0，2）过点M作MHy轴，垂足为点H，如图1所示SAMCS梯形AOHMSAOCSCHM，（HM+AO）OHAOOCCHMH，（1+4）42（2）1，（3）连接OB，过点B作BGx轴，垂足为点G，如图2所示点B的坐标为（2，2），点A的坐标为（4，0），BG2，GA2，BGA是等腰直角三角形，BAO45同理，可得：BOA45点C的坐标为（2，0），BC2，OC2，OCB是等腰直角三角形，DBO45，BO2，BAODBODOE45，DOB+BOE45BOE+EOA45，EOADOB，AOEBOD，抛物线yx2+x+2的对称轴是直线x1，点D的坐标为（1，2），BD1，AE，过点E作EFx轴，垂足为点F，则AEF为等腰直角三角形，EFAF1，点E的坐标为（3，1）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形（梯形）的面积、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用分割图形求面积法结合三角形、梯形的面积公式，求出AMC的面积；（3）通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出AE的长度4（2019南海区三模）在矩形ABCD中，AB6，AD8，点E是边AD上一点，EMEC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项（1）如图1，求证：ANEDCE；（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；（3）连接AC，如果AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长【分析】（1）由比例中项知，据此可证AMEAEN得AEMANE，再证AEMDCE可得答案；（2）先证ANEEAC，结合ANEDCE得DCEEAC，从而知，据此求得AE8，由（1）得AEMDCE，据此知，求得AM，由求得MN；（3）分ENMEAC和ENMECA两种情况分别求解可得【解答】解：（1）AE是AM和AN的比例中项，AA，AMEAEN， AEMANE，D90，DCE+DEC90，EMBC，AEM+DEC90，AEMDCE，ANEDCE；（2）AC与NE互相垂直，EAC+AEN90，BAC90，ANE+AEN90，ANEEAC，由（1）得ANEDCE，DCEEAC，tanDCEtanDAC，DCAB6，AD8，DE，AE8，由（1）得AEMDCE，tanAEMtanDCE，AM，AN，MN；（3）NMEMAE+AEM，AECD+DCE，又MAED90，由（1）得AEMDCE，AECNME，当AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时ENMEAC，如图2， ANEEAC，由（2）得：DE；ENMECA，如图3，过点E作EHAC，垂足为点H，由（1）得ANEDCE，ECADCE，HEDE，又tanHAE，设DE3x，则HE3x，AH4x，AE5x，又AE+DEAD，5x+3x8，解得x1，DE3x3，综上所述，DE的长分别为或3【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点5（2019定陶区三模）如图，抛物线yx2+bx+c经过点A（2，0），点B（0，4）（1）求这条抛物线的表达式；（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果PBOBAO，求点P的坐标；（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DEx轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO2OF，求m的值【分析】（1）把点A（2，0），点B（0，4）代入解析式求解即可；（2）先确定抛物线的对称轴，再过点P作PGy轴，垂足为G，根据三角函数建立等量关系，求解即可；（3）设新抛物线的表达式为m，则D（0，4m），E（2，4m），DE2，过点F作FHy轴，垂足为H，运用平行建立线段的比例关系求解即可【解答】解：（1）抛物线经过点A（2，0），点B（0，4），解得抛物线解析式为，（2），对称轴为直线x1，如图1，过点P作PGy轴，垂足为G，PBOBAO，tanPBOtanBAO，BGOG，P（1，），（3）如图2设新抛物线的表达式为m则D（0，4m），E（2，4m），DE2过点F作FHy轴，垂足为H，DEFH，EO2OF，FH1，点D在y轴的正半轴上，则F（1，），OHm，m3，点D在y轴的负半轴上，则F（1，），OHm，m5综上所述m的值为3或5【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会求抛物线的对称轴，会待定点的坐标根据题意建立方程求解是解题的关键6（2019松江区一模）如图，已知ABC中，ACB90，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E（1）如果BC6，AC8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PDAB，且CE2，ED3，求cosA的值；（3）联结PD，如果BP22CD2，且CE2，ED3，求线段PD的长【分析】（1）根据已知条件得到CP4，求得BP2，根据三角形重心的性质即可得到结论；（2）如图1，过点B作BFCA交CD的延长线于点F，根据平行线分线段成比例定理得到，求得，设CPk，则PA3k，得到PAPB3k根据三角函数的定义即可得到结论；（3）根据直角三角形的性质得到CDBDAB，推出PBDABP，根据相似三角形的性质得到BPDA，推出DPEDCP，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）P为AC的中点，AC8，CP4，ACB90，BC6，BP2，D是边AB的中点，P为AC的中点，点E是ABC的重心，BEBP；（2）如图1，过点B作BFCA交CD的延长线于点F，BDDA，FDDC，BFAC，CE2，ED3，则CD5，EF8，设CPk，则PA3k，PDAB，D是边AB的中点，PAPB3kBC2k，AB2k，AC4k，cosA；（3）ACB90，D是边AB的中点，CDBDAB，PB22CD2，BP22CDCDBDAB，PBDABP，PBDABP，BPDA，ADCA，DPEDCP，PDECDP，DPEDCP，PD2DEDC，DE3，DC5，PD【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键7（2019奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与抛物线yax2+bx交于点A（6，0）和点B（1，5）（1）求这条抛物线的表达式和直线AB的表达式；（2）如果点C在直线AB上，且BOC的正切值是，求点C的坐标【分析】（1）利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式；（2）先说明OAOH6，则OAH45，作辅助线，根据正切值证明BOCOBE，作OB的垂直平分线交AB于C，交OB于F，解法一：先根据中点坐标公式可得F（，），易得直线OB的解析式为：y5x，根据两直线垂直的关系可得直线FC的解析式为：yx，列方程xx6，解出可得C的坐标；解法二：过C作CDx轴于D，连接OC，设C（m，m6），根据OCBC，列方程可得结论【解答】解：（1）把点A（6，0）和点B（1，5）代入抛物线yax2+bx得：，解得：，这条抛物线的表达式：yx26x，设直线AB的解析式为：ykx+b，把点A（6，0）和点B（1，5）代入得：，解得：，则直线AB的解析式为：yx6；（2）当x0时，y6，当y0时，x6，OAOH6，AOH90，OAH45，过B作BGx轴于G，则ABG是等腰直角三角形，AB5，过O作OEAB于E，SAOHAHOEOAOH，6OE66，OE3，BEABAE532，RtBOE中，tanOBE，BOC的正切值是，BOCOBE，作OB的垂直平分线交AB于C，交OB于F，解法一：B（1，5），F（，），易得直线OB的解析式为：y5x，设直线FC的解析式为：yx+b，把F（，）代入得：+b，b，直线FC的解析式为：yx，xx6，x，当x时，y6，C（，）；解法二：过C作CDx轴于D，连接OC，设C（m，m6），则AC（6m），OCBC，m2+（m6）25（6m），m，C（，）【点评】此题考查二次函数综合题，综合考查待定系数法求函数解析式，锐角三角函数的意义，等腰直角三角形的性质，画出图形，利用数形结合的思想解决问题8（2019奉贤区一模）如图，已知梯形ABCD中，ABCD，DAB90，AD4，AB2CD6，E是边BC上一点，过点D、E分别作BC、CD的平行线交于点F，联结AF并延长，与射线DC交于点G（1）当点G与点C重合时，求CE：BE的值；（2）当点G在边CD上时，设CEm，求DFG的面积；（用含m的代数式表示）（3）当AFDADG时，求DAG的余弦值【分析】（1）由题意可得四边形DCEF是