河南省平顶山市2015-2016学年高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

第 1 页 共 21 页 2015 2016 学年河南省平顶山市高二 下 期末数学试卷 文科 学年河南省平顶山市高二 下 期末数学试卷 文科 一 选择题 共一 选择题 共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 60 分 分 1 已知复数 z 2 i 则 z 的值为 A 5B C 3D 2 观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则 a10 b10 A 28B 76C 123D 199 3 ABC 的内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 B 2A a 1 b 则 c A B 2C D 1 4 根据如下样本数据 得到回归方程 bx a 则 x345678 y4 02 5 0 50 5 2 0 3 0 A a 0 b 0B a 0 b 0C a 0 b 0D a 0 b 0 5 已知双曲线 1 a 0 的离心率为 2 则实数 a A 2B C D 1 6 已知数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn Sm Sn m 且 a1 1 那么 a10 A 1B 9C 10D 55 7 命题 对任意 x R 都有 x2 0 的否定为 A 对任意 x R 都有 x2 0B 不存在 x R 都有 x2 0 C 存在 x0 R 使得 x02 0D 存在 x0 R 使得 x02 0 8 若变量 x y 满足约束条件 则 2x y 的最大值是 A 2B 4C 7D 8 9 已知抛物线 C y2 x 的焦点为 F A x0 y0 是 C 上一点 若 AF x0 则 x0等于 A 1B 2C 4D 8 10 下列选项中 使不等式 x x2成立的 x 的取值范围是 A 1 B 1 0 C 0 1 D 1 11 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动 得到如下的列联表 第 2 页 共 21 页 男女总计 爱好402060 不爱好203050 总计6050110 由算得 P K2 k 0 0500 0100 001 k3 8416 63510 828 参照附表 得到的正确结论是 A 在犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别有关 B 在犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别无关 C 有 99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别有关 D 有 99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别无关 12 设函数 f x ax2 bx c a b c R 若 x 1 为函数 y f x ex的一个极值点 则 下列图象不可能为 y f x 的图象是 A B C D 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 分 13 i 为虚数单位 设复数 z1 z2在复平面内对应的点关于原点对称 若 z1 2 3i 则 z2 14 曲线 y 5ex 3 在点 0 2 处的切线方程为 15 观察下列不等式 照此规律 第五个不等式为 16 已知函数 f x x2 ax b a b R 的值域为 0 若关于 x 的不等式 f x c 的解集为 m m 6 则实数 c 的值为 三 解答题 共三 解答题 共 4 小题 满分小题 满分 48 分 分 17 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补 AB 1 BC 3 CD DA 2 1 求 C 和 BD 第 3 页 共 21 页 2 求四边形 ABCD 的面积 18 已知等比数列 an 中 a1 公比 q Sn为 an 的前 n 项和 证明 Sn 设 bn log3a1 log3a2 log3an 求数列 bn 的通项公式 19 设椭圆 E 1 的焦点在 x 轴上 1 若椭圆 E 的焦距为 1 求椭圆 E 的方程 2 设 F1 F2分别是椭圆 E 的左 右焦点 P 为椭圆 E 上第一象限内的点 直线 F2P 交 y 轴于点 Q 并且 F1P F1Q 证明 当 a 变化时 点 P 在定直线 x y 1 上 20 已知函数 f x 2lnx m 0 1 当 m e e 为自然对数的底数 时 求 f x 的极小值 2 讨论函数 g x f x x 的单调性 3 若 m 1 证明 对于任意 b a 0 1 选做题 从选做题 从 21 23 三个题目中选取一个作答 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做三个题目中选取一个作答 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做 的第一个题目计分 的第一个题目计分 选修选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 共 共 1 小题 满分小题 满分 10 分 分 21 如图 平行四边形 ABCD 中 点 E 在 AB 上且 EB 2AE AC 与 DE 交于 F 点 求 ADF 与 AFE 的面积之比 S ADF S AFE 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 22 已知曲线 C 的参数方程为 t 为参数 C 在点 1 1 处的切线为 l 以 坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求 l 的极坐标方程 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 求不等式 x 2 x 1 的解集 选做题 从选做题 从 24 26 三个题目中选取一个作答 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做三个题目中选取一个作答 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做 的第一个题目计分 的第一个题目计分 选修选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 共 共 1 小题 满分小题 满分 12 分 分 第 4 页 共 21 页 24 如图 O 为等腰三角形 ABC 内一点 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M N 两点 与 底边上的高 AD 交于点 G 且与 AB AC 分别相切于 E F 两点 1 证明 EF BC 2 若 AG 等于 O 的半径 且 AE MN 2 求四边形 EBCF 的面积 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 25 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 为参数 M 是 C1上 的动点 P 点满足 2 P 点的轨迹为曲线 C2 求 C2的方程 在以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 射线 与 C1的异于极点的 交点为 A 与 C2的异于极点的交点为 B 求 AB 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 26 设 a b c d 均为正数 且 a b c d 证明 1 若 ab cd 则 2 是 a b c d 的充要条件 第 5 页 共 21 页 2015 2016 学年河南省平顶山市高二 下 期末数学试学年河南省平顶山市高二 下 期末数学试 卷 文科 卷 文科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 60 分 分 1 已知复数 z 2 i 则 z 的值为 A 5B C 3D 考点 复数代数形式的乘除运算 分析 由 z 求出 然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解 解答 解 由 z 2 i 得 z 2 i 2 i 4 i2 5 故选 A 2 观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则 a10 b10 A 28B 76C 123D 199 考点 归纳推理 分析 观察可得各式的值构成数列 1 3 4 7 11 所求值为数列中的第十项 根 据数列的递推规律求解 解答 解 观察可得各式的值构成数列 1 3 4 7 11 其规律为从第三项起 每 项等于其前相邻两项的和 所求值为数列中的第十项 继续写出此数列为 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 第十项为 123 即 a10 b10 123 故选 C 3 ABC 的内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 B 2A a 1 b 则 c A B 2C D 1 考点 正弦定理 二倍角的正弦 分析 利用正弦定理列出关系式 将 B 2A a b 的值代入 利用二倍角的正弦函数公 式化简 整理求出 cosA 的值 再由 a b 及 cosA 的值 利用余弦定理即可求出 c 的值 解答 解 B 2A a 1 b 由正弦定理 得 cosA 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosA 即 1 3 c2 3c 解得 c 2 或 c 1 经检验不合题意 舍去 则 c 2 第 6 页 共 21 页 故选 B 4 根据如下样本数据 得到回归方程 bx a 则 x345678 y4 02 5 0 50 5 2 0 3 0 A a 0 b 0B a 0 b 0C a 0 b 0D a 0 b 0 考点 线性回归方程 分析 通过样本数据表 容易判断回归方程中 b a 的符号 解答 解 由题意可知 回归方程经过的样本数据对应的点附近 是减函数 所以 b 0 且回归方程经过 3 4 与 4 3 5 附近 所以 a 0 故选 B 5 已知双曲线 1 a 0 的离心率为 2 则实数 a A 2B C D 1 考点 双曲线的简单性质 分析 由双曲线方程找出 a b c 代入离心率 从而求出 a 解答 解 由题意 e 2 解得 a 1 故选 D 6 已知数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn Sm Sn m 且 a1 1 那么 a10 A 1B 9C 10D 55 考点 等比数列的前 n 项和 数列的求和 分析 根据题意 用赋值法 令 n 1 m 9 可得 s1 s9 s10 即 s10 s9 s1 a1 1 进而由 数列的前 n 项和的性质 可得答案 解答 解 根据题意 在 sn sm sn m中 令 n 1 m 9 可得 s1 s9 s10 即 s10 s9 s1 a1 1 根据数列的性质 有 a10 s10 s9 即 a10 1 故选 A 7 命题 对任意 x R 都有 x2 0 的否定为 A 对任意 x R 都有 x2 0B 不存在 x R 都有 x2 0 C 存在 x0 R 使得 x02 0D 存在 x0 R 使得 x02 0 第 7 页 共 21 页 考点 命题的否定 全称命题 分析 直接利用全称命题的否定是特称命题 写出命题的否定命题即可 解答 解 因为全称命题的否定是特称命题 所以命题 对任意 x R 都有 x2 0 的否定为 存在 x0 R 使得 x02 0 故选 D 8 若变量 x y 满足约束条件 则 2x y 的最大值是 A 2B 4C 7D 8 考点 简单线性规划 分析 本题考查的知识点是线性规划 处理的思路为 根据已知的约束条件画出满足约 束条件的可行域 再用角点法 求出目标函数的最大值 解答 解 满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示 目标函数 Z 2x y ZO 0 ZA 4 ZB 7 ZC 4 故 2x y 的最大值是 7 故选 C 9 已知抛物线 C y2 x 的焦点为 F A x0 y0 是 C 上一点 若 AF x0 则 x0等于 A 1B 2C 4D 8 考点 抛物线的简单性质 分析 利用抛物线的定义 焦点弦长公式即可得出 第 8 页 共 21 页 解答 解 抛物线 C y2 x 的焦点为 F 0 A x0 y0 是 C 上一点 AF x0 x0 x0 解得 x0 1 故选 A 10 下列选项中 使不等式 x x2成立的 x 的取值范围是 A 1 B 1 0 C 0 1 D 1 考点 其他不等式的解法 分析 通过 x 2 验证不等式是否成立 排除选项 B C D 即可得到正确选 项 解答 解 利用特殊值排除选项 不妨令 x 时 代入 x x2 得到 显然不成立 选项 B 不正确 当 x 时 代入 x x2 得到 显然不正确 排除 C 当 x 2 时 代入 x x2 得到 显然不正确 排除 D 故选 A 11 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动 得到如下的列联表 男女总计 爱好402060 不爱好203050 总计6050110 由算得 P K2 k 0 0500 0100 001 k3 8416 63510 828 参照附表 得到的正确结论是 A 在犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别有关 B 在犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别无关 C 有 99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别有关 D 有 99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别无关 考点 独立性检验的应用 第 9 页 共 21 页 分析 题目的条件中已经给出这组数据的观测值 我们只要把所给的观测值同节选的观 测值表进行比较 发现它大于 6 635 得到有 99 以上的把握认为 爱好这项运动与性别有 关 解答 解 由题意算得 7 8 6 635 有 0 01 1 的机会错误 即有 99 以上的把握认为 爱好这项运动与性别有关 故选 C 12 设函数 f x ax2 bx c a b c R 若 x 1 为函数 y f x ex的一个极值点 则 下列图象不可能为 y f x 的图象是 A B C D 考点 利用导数研究函数的单调性 函数的图象与图象变化 分析 先求出函数 f x ex的导函数 利用 x 1 为函数 f x ex的一个极值点可得 a b c 之间的关系 再代入函数 f x ax2 bx c 对答案分别代入验证 看哪个答案不 成立即可 解答 解 由 y f x ex ex ax2 bx c y f x ex exf x ex ax2 b 2a x b c 由 x 1 为函数 f x ex的一个极值点可得 1 是方程 ax2 b 2a x b c 0 的一个根 所以有 a b 2a b c 0 c a 法一 所以函数 f x ax2 bx a 对称轴为 x 且 f 1 2a b f 0 a 对于 A 由图得 a 0 f 0 0 f 1 0 不矛盾 对于 B 由图得 a 0 f 0 0 f 1 0 不矛盾 对于 C 由图得 a 0 f 0 0 x 0 b 0 f 1 0 不矛盾 对于 D 由图得 a 0 f 0 0 x 1 b 2a f 1 0 与原图中 f 1 0 矛 盾 D 不对 法二 所以函数 f x ax2 bx a 由此得函数相应方程的两根之积为 1 对照四个选项发 现 D 不成立 故选 D 第 10 页 共 21 页 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 分 13 i 为虚数单位 设复数 z1 z2在复平面内对应的点关于原点对称 若 z1 2 3i 则 z2 2 3i 考点 复数代数形式的乘除运算 分析 直接利用复数对应的点的坐标 求出对称点的坐标 即可得到复数 z2 解答 解 设复数 z1 z2在复平面内对应的点关于原点对称 复数 z1 z2的实部相反 虚部相反 z1 2 3i 所以 z2 2 3i 故答案为 2 3i 14 曲线 y 5ex 3 在点 0 2 处的切线方程为 5x y 2 0 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 分析 利用导数的几何意义可得切线的斜率即可 解答 解 y 5ex y x 0 5 因此所求的切线方程为 y 2 5x 即 5x y 2 0 故答案为 5x y 2 0 15 观察下列不等式 照此规律 第五个不等式为 1 考点 归纳推理 分析 由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性 左边式子是连续正整数平方的倒 数和 最后一个数的分母是不等式序号 n 1 的平方 右边分式中的分子与不等式序号 n 的 第 11 页 共 21 页 关系是 2n 1 分母是不等式的序号 n 1 得出第 n 个不等式 即可得到通式 再令 n 5 即可得出第五个不等式 解答 解 由已知中的不等式 1 1 得出左边式子是连续正整数平方的倒数和 最后一个数的分母是不等式序号 n 1 的平方 右边分式中的分子与不等式序号 n 的关系是 2n 1 分母是不等式的序号 n 1 故可以归纳出第 n 个不等式是 1 n 2 所以第五个不等式为 1 故答案为 1 16 已知函数 f x x2 ax b a b R 的值域为 0 若关于 x 的不等式 f x c 的解集为 m m 6 则实数 c 的值为 9 考点 一元二次不等式的应用 分析 根据函数的值域求出 a 与 b 的关系 然后根据不等式的解集可得 f x c 的两个 根为 m m 6 最后利用根与系数的关系建立等式 解之即可 解答 解 函数 f x x2 ax b a b R 的值域为 0 f x x2 ax b 0 只有一个根 即 a2 4b 0 则 b 不等式 f x c 的解集为 m m 6 即为 x2 ax c 解集为 m m 6 则 x2 ax c 0 的两个根为 m m 6 m 6 m 6 解得 c 9 故答案为 9 三 解答题 共三 解答题 共 4 小题 满分小题 满分 48 分 分 17 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补 AB 1 BC 3 CD DA 2 1 求 C 和 BD 2 求四边形 ABCD 的面积 第 12 页 共 21 页 考点 余弦定理 正弦定理 分析 1 在三角形 BCD 中 利用余弦定理列出关系式 将 BC CD 以及 cosC 的值 代入表示出 BD2 在三角形 ABD 中 利用余弦定理列出关系式 将 AB DA 以及 cosA 的 值代入表示出 BD2 两者相等求出 cosC 的值 确定出 C 的度数 进而求出 BD 的长 2 由 C 的度数求出 A 的度数 利用三角形面积公式求出三角形 ABD 与三角形 BCD 面 积 之和即为四边形 ABCD 面积 解答 解 1 在 BCD 中 BC 3 CD 2 由余弦定理得 BD2 BC2 CD2 2BC CDcosC 13 12cosC 在 ABD 中 AB 1 DA 2 A C 由余弦定理得 BD2 AB2 AD2 2AB ADcosA 5 4cosA 5 4cosC 由 得 cosC 则 C 60 BD 2 cosC cosA sinC sinA 则 S AB DAsinA BC CDsinC 1 2 3 2 2 18 已知等比数列 an 中 a1 公比 q Sn为 an 的前 n 项和 证明 Sn 设 bn log3a1 log3a2 log3an 求数列 bn 的通项公式 考点 等比数列的前 n 项和 分析 I 根据数列 an 是等比数列 a1 公比 q 求出通项公式 an和前 n 项和 Sn 然后经过运算即可证明 II 根据数列 an 的通项公式和对数函数运算性质求出数列 bn 的通项公式 解答 证明 I 数列 an 为等比数列 a1 q an 第 13 页 共 21 页 Sn 又 Sn Sn II an bn log3a1 log3a2 log3an log33 2log33 nlog33 1 2 n 数列 bn 的通项公式为 bn 19 设椭圆 E 1 的焦点在 x 轴上 1 若椭圆 E 的焦距为 1 求椭圆 E 的方程 2 设 F1 F2分别是椭圆 E 的左 右焦点 P 为椭圆 E 上第一象限内的点 直线 F2P 交 y 轴于点 Q 并且 F1P F1Q 证明 当 a 变化时 点 P 在定直线 x y 1 上 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 分析 1 利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出 解出即可 2 设 P x0 y0 F1 c 0 F2 c 0 其中 利用斜率的计算公式和 点斜式即可得出直线 F1P 的斜率 直线 F2P 的方程为斜率 利用 与椭圆的方程联立 然后判断点 P 在定直线 x y 1 上 解答 解 1 依题意 即 所以椭圆 E 的方程为 第 14 页 共 21 页 2 设 P x0 y0 F1 c 0 F2 c 0 其中 因为直线 F2P 交 y 轴于点 Q 所以 x0 c 故直线 F1P 的斜率 直线 F2P 的斜率 直线 F2P 的方程为 Q 点的坐标为 所以直线 F1Q 的斜率为 由于 F1P F1Q 所以 化简得 因为 P 为椭圆 E 上第一象限内的点 将上式代入 得 且 x0 y0 1 所以点 P 在定直线 x y 1 上 20 已知函数 f x 2lnx m 0 1 当 m e e 为自然对数的底数 时 求 f x 的极小值 2 讨论函数 g x f x x 的单调性 3 若 m 1 证明 对于任意 b a 0 1 考点 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 分析 1 求解 利用导数判断即可 2 求解导数 利用不等式求解即可 第 15 页 共 21 页 3 分类讨论 0 m 1 时 当时 g x 0 当 时 g x 0 当时 g x 0 当 m 1 时 g x f x x 在 0 上单调递减 即可的出结论 解答 解 1 当 m e 时 当时 f x 0 时 f x 0 当时 f x 0 所以 时 f x 取得最小值 2 1m 12 时 g x 03 g x f x x4 在 0 5 单调递减 3 证明 0 m 1 时 1 m 0 当时 g x 0 当时 g x 0 当时 g x 0 即 0 m 1 时 g x f x x 在和上单调递减 在上单调递增 由 2 知 当 m 1 时 g x f x x 在 0 上单调递减 所以 当 m 1 时 对任意 b a 0 f b b f a a 即对任意 b a 0 选做题 从选做题 从 21 23 三个题目中选取一个作答 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做三个题目中选取一个作答 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做 的第一个题目计分 的第一个题目计分 选修选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 共 共 1 小题 满分小题 满分 10 分 分 第 16 页 共 21 页 21 如图 平行四边形 ABCD 中 点 E 在 AB 上且 EB 2AE AC 与 DE 交于 F 点 求 ADF 与 AFE 的面积之比 S ADF S AFE 考点 相似三角形的性质 分析 通过 ABCD 是平行四边形 推出 利用 AFE CFD 求出 然后 求解 SADF SAFE 解答 21 甲 解 因为 ABCD 是平行四边形 所以 AB DC AB DC 且 又 AFE CFD 故 AFE CFD 因为 ADF 与 AFE 的高相等 所以 SADF SAFE DF FE 3 1 选修选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 22 已知曲线 C 的参数方程为 t 为参数 C 在点 1 1 处的切线为 l 以 坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求 l 的极坐标方程 考点 简单曲线的极坐标方程 参数方程化成普通方程 分析 化参数方程与普通方程 求出圆的圆心与半径 求出切线的斜率 然后求解切线 方程 转化为极坐标方程 解答 解 因为曲线 C 的参数方程为 t 为参数 所以其普通方程为 x2 y2 2 即曲线 C 为以原点为圆心 为半径的圆 由于点 1 1 在圆上 且该圆过 1 1 点的半径的斜率为 1 所以切线 l 的斜率为 1 其普通方程为 x y 2 0 化为极坐标方程为 cos sin 2 即 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 求不等式 x 2 x 1 的解集 考点 绝对值不等式的解法 分析 通过讨论 x 的范围 去掉绝对值号 求出不等式的解集即可 第 17 页 共 21 页 解答 解 当 x 2 时 原不等式可以化为 x 2 x 1 即 2 1 所以 x 2 当 2 x 0 时 原不等式可以化为 x 2 x 1 即 x 所以 2 x 当 x 0 时 原不等式可以化为 x 2 x 1 即 2 1 此时无解 故原不等式的解集为 x x 选做题 从选做题 从 24 26 三个题目中选取一个作答 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做三个题目中选取一个作答 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做 的第一个题目计分 的第一个题目计分 选修选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 共 共 1 小题 满分小题 满分 12 分 分 24 如图 O 为等腰三角形 ABC 内一点 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M N 两点 与 底边上的高 AD 交于点 G 且与 AB AC 分别相切于 E F 两点 1 证明 EF BC 2 若 AG 等于 O 的半径 且 AE MN 2 求四边形 EBCF 的面积 考点 相似三角形的判定 分析 1 通过 AD 是 CAB 的角平分线及圆 O 分别与 AB AC 相切于点 E F 利用 相似的性质即得结论 2 通过 1 知 AD 是 EF 的垂直平分线 连结 OE OM 则 OE AE 利用 S ABC S AEF计算即可 解答 1 证明 ABC 为等腰三角形 AD BC AD 是 CAB 的角平分线 又 圆 O 分别与 AB AC 相切于点 E F AE AF AD EF EF BC 2 解 由 1 知 AE AF AD EF AD 是 EF 的垂直平分线 又 EF 为圆 O 的弦 O 在 AD 上 连