培优专题5-平移与旋转-(含解答)-(改后)

吉林江城中学初一奥数班 第十七讲 平移与旋转 第 1 页 共 9 页 培优专题培优专题 5 5 平移与旋转平移与旋转 平移是几何变换中最常用的变换之一 用它可以将一些不在同一三角形中要证的 两条线段或两角 进行 搬家 把它们搬到同一个三角形 或平行四边形 中 再利用 图形的性质与题设条件 找到解 或比 的途径 平移法能把分散的条件集中起来 收 到事半功倍的效果 旋转也是几何变换中较常用的变换之一 在解决问题中主要应用在以下两个方面 一是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下 通过旋转起到铺 路架桥作用 二是图形错综复杂 但图形中的量与量之间的关系多 这时也可以看能否 使用旋转的办法 移动部分图形 使题目中隐蔽着的关系明朗起来 从而找到解题途 径 平移 旋转两种变换在使用中 一定要善于观察变换前后哪些量变了 哪些量没 变 只有这样 我们才能充分发挥两种变换的功能 达到有效解决相关问题的目的 例例 1 1 如图 在 ABC 中 D E 是 BC 边上两点 BD CE 试说明 AB AC AD AE 分析分析 利用平移变换 将图中已知条件转化为梯形的对角 线之和大于两腰之和 练习练习 1 1 1 如图 梯形 ABCD 中 AD BC 已知 AD BC 3 AC BD 求此梯形的面积 36 2 如图 长方形花园 ABCD 中 AB a AD b 花园中建有一条长方形道路 LMPQ 及一 条平行四边形道路 RSTK 若 LM RS c 求花园中可绿化部分的面积 3 如图 ABC 中 E F 分别为 AB AC 边上的点 且 BE CF 试说明 EF0 请问 六边形 ABCDEF 的六个角是否都相等 例例 3 3 如图 在正方形 ABCD 的边 BC 和 CD 上分别取点 M 和点 K 并且 BAM MAK 求证 BM KD KA 分析分析 把 Rt BAM 绕点 A 顺时针旋转 90 到 ADM 使 BM 与 DN 拼 成一条线段的 KM 只要证明 KM KA 即可 练习练习 3 3 1 如图 在正方形 ABCD 中 N 是 DC 的中点 M 是 AD 上异于 D 的 点 且 NMB MBC 求的值 AM AB 吉林江城中学初一奥数班 第十七讲 平移与旋转 第 3 页 共 9 页 2 如图 P 是等边 ABC 内一点 APB BPC CPA 的大小之比为 5 6 7 求以 PA PB PC 之比为边的三角形三内角之比 从小到大 3 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD BAD BCD 90 AH BC 且 AH 1 求四 边形 ABCD 的面积 例例 4 4 如图 在等腰三角形 ABC 中 CAB 90 P 是 ABC 内一点 且 PA 1 PB 3 PC 求 APC 的度数 7 分析分析 本题将 BAP 绕点 A 旋转 90 得到 CAQ 构造直 角三角形 利用勾股定理求解 练习练习 4 4 1 等边三角形内一点到三个顶点距离分别为 3 4 5 则 此等边三角形边长的平方为 2 如图 P 是正方形内的点 若 PA 1 PB 2 PC 3 求 APB 的 度数 3 如图 正方形 ABCD 的边长为 1 AB AD 各有一点 P Q 若 APQ 的周长为 2 求 PCQ 吉林江城中学初一奥数班 第十七讲 平移与旋转 第 4 页 共 9 页 例例 5 5 如图 在 ABC 中 AB 3 AC 2 以 BC 为 边的三角形 BPC 是等边三角形 求 AP 的最大 最小 值 分析分析 通过旋转把 AP 转移到有两条边确定的三角 形中 利用三角形的性质求最值 解 把 ABP 绕 B 点顺时针旋转 60 得 DBC 则 ABP DBC DC AP BD BA DBA 60 ABD 是等边三角形 AD AB 3 在 ACD 中 有 DCAD AC 1 时 当 C 在 DA 线段上时才有 DC AD AC 1 说明 DC 1 即 AP 1 由 得 AP 最大值为 5 最小值为 1 练习练习 5 5 1 如图 正方形 ABCD 中 有一个内接三角形 AEF 若 EAF 45 AB 8 EF 7 求 EFC 的面积 2 如图 在 ABC 中 AB 5 AC 13 过 BC 上的中线 AD 6 求 BC 的长 3 如图 已知 ABC 中 AB AC D 为三角形内一点 ADB ADC 试证明 CD BD 吉林江城中学初一奥数班 第十七讲 平移与旋转 第 5 页 共 9 页 答案答案 练习练习 1 1 1 解 将 BD 平移到 CE 交 AD 延长线于点 E 则四边形 BDEC 为平行四边形 DE BC CE BD S BCD S CDE ABC 与 DBC 同底等高 S ABC S BCD S CDE S梯形 ABCD S ABC S ACD S CDE S ACD S ACE 又 AE AD DE 3 22 36ACCE ACE 为直角三角形 ACE 90 S梯形 ABCD S ACE AC CE 1 2 3 2 2 2 解 把长方形和平行四边形道路平移 在移动过程中道路面积不变 如图 则四 块空白可组成长 b c 宽 a c 的空白长方形 其面积为 b c a c ab bc ac c2 3 解 将 EF 平移为 BG BF 平移为 FG 作 CFG 的角平分线交 BC