高中数学解题方法谈：圆锥曲线中的新题型

用心 爱心 专心 圆锥曲线中的新题型圆锥曲线中的新题型 一 开放型 开放型填空题给学生较大的思考空间 要求学生具有在特定情景中创造性地解决问题 的能力 例 1 已知 12 FF 是椭圆 22 22 1 xy ab a b 且 的两个焦点 P是椭圆 上的一点 且 12 FPF 90 则 12 FPF的面积是 2 b 请在题目的空缺处填入一个可能 条件 解 首先确定坐标轴 假设焦点在y轴上 由题意知 12 22 2 12 2 4 PFPFb PFPFC 22 12 2 PF PFbc 从而 12 222 F PF Sbcb 与题意矛盾 故椭圆的焦点在x轴上 则有a b 0 12 22 2 12 2 4 PFPFa PFPFc 又 22 2 1212 1 2 PFPFPFPF 由 得 22 1 4 2 2 ca 即 22 2ac 亦即 22 220abab 由此 空缺处可以填写满足a 2b 0 的任一开放条件 如 202030ababab 等 二 多选型 多选型填空题的出现主要是为了弥补知识点覆盖面与试题容量问题 例 2 以下四个关于圆锥曲线的命题中 设AB 为两个定点 k为非零常数 PAPBk 则动点P的轨迹为双曲线 过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB O为坐标原点 若 1 2 OPOAOB 则 动点P的轨迹为椭圆 方程 2 2520 xx 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 用心 爱心 专心 双曲线 22 1 259 xy 与椭圆 2 2 1 35 x y 有相同的焦点 其中真命题的序号为 写出所有真命题的序号 解 命题 错误 它表示的是双曲线的一支或射线或不表示任何图形 命题 错 它 表示的是一个圆 而 是正确的 故填 三 辨析型 用于考查学生对思想方法的掌握及推理的严密性 科学性 例 3 给出问题 12 FF 是双曲线 22 1 1620 xy 的焦点 点P在双曲线上 若点P到焦 点 1 F的距离等于 9 求点P到焦点 2 F的距离 某学生的解答如下 双曲线的实轴长为 8 由 12 8PFPF 即 2 98PF 得 2 1PF 或 17 该学生的解答是否正确 若正确 请将他的解题依据填在横线上 若不正确 将正确 的填在横线上 解析 不妨设 1 F为左焦点 由 1 910PFac 知P在与 1 F同侧的左支双曲线上 故有 21 9PFPF 则 2 17PF 所以该学生的解答不正确 四 新定义型 即时定义新概念 新运算等 根据此新定义转化为传统思路去解决问题 例 4 设 12 xx R 定义运算 22 121212 xxxxxx 1 若x 0 常数p 0 求动点 2 p P xx 的轨迹C 2 过动点M a 0 且斜率为 1 的直线 l 与C交于不同的两点A B 若2ABp 求实数a的取值范围 解 1 设P x y 则 22 2 222 ppp yxxxpx 即 2 2 0 ypx y 2 直线l的方程为yxa 代入 2 2ypx 消去x得 2 220 0 ypyapy 用心 爱心 专心 设 1122 A xyB xy 则 2 12 12 2 80 20 20 pap yyp y yap 解