高一数学难题解答

18 本小题满分 9 分 某车间将 10 名技工平均分成甲 乙两组加工某种零 件 在单位时间内每个技工加工的合格零件数 按十位数 字为茎 个位数字为叶得到的茎叶图如图所示 已知甲 乙两组数据的平均数都为 10 求的值 m n 分别求出甲 乙两组数据的方差和 并由此分析两组技工的加工水平 2 S甲 2 S乙 质检部门从该车间甲 乙两组技工中各随机抽取一名技工对其加工的零件进行检测 若两人加工的合格零件数之和大于 17 则称该车间 质量合格 求该车间 质量合 格 的概率 注 为数据的平均数 方差x 12 n x xx 222 2 12 1 n Sxxxxxx n 20 本小题满分 12 分 对于函数 如果存在实数使得 那么 f x g xx a b xa f xb g x 称为的线性组合函数 如对于 x f x g x 1f xx 2 2g xxx 存在 使得 此时就是 2 2xx 2 1ab 2 xf xg x x 的线性组合函数 f x g x 设 试判断是否为 222 1 23f xxg xxxxxx x f x g x 的线性组合函数 并说明理由 设 线性组合函数为 若不等式 21 2 log log 2 1f xx g xx ab x 在上有解 求实数的取值范围 2 3 2 0 xxm 2 4x m 设 取 线性组合函数使 9 1 1xf xx g x x 01ab x 恒成立 求的取值范围 可利用函数 常数 在 xb b k yx x 0k 上是减函数 在是增函数 0 k k 21 设 f x mx2 m 4 x 3 1 试确定 m 的值 使得 f x 有两个零点 且 f x 的两个零点的差的绝对值最小 并求出这个最小值 2 若 m 1 时 在 0 为正常数 上存在 x 使 f x a 0 成立 求 a 的取值范 围 分析 1 f x 为二次函数 令 0 得出 m 的取值范围 根据根与系数得关系用 m 表示两根的绝对值 求出新函数的最小值即可 2 求出 f x 在 0 上的最大值 fmax x 则 a fmax x 解答 解 1 f x 有两个零点 解得 m 0 设 f x 的两个零点为 x1 x2 则 x1 x2 x1x2 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 2 1 16 2 当 m 8 时 x1 x2 2取得最小值 x1 x2 的最小值为 2 当 m 1 时 f x x2 3x 3 f x 的对称轴为 x 若 0 则 fmax x f 2 3 3 若 则 fmax x f 在 0 为正常数 上存在 x 使 f x a 0 成立 a fmax x 综上 当 0时 a 的取值范围是 2 3 3 当时 a 的取值范围是 点评 本题考查了二次函数的零点个数与系数的关系 二次函数的单调性与最值 属于 中档题 22 定义在 D 上的函数 f x 如果满足 对任意 x D 存在常数 M 都有 f x M 成 立 则称 f x 是 D 上的有下界函数 其中 M 称为函数 f x 的一个下界 已知函数 f x a 0 1 若函数 f x 为偶函数 求 a 的值 2 求函数 f x 在 lna 上所有下界构成的集合 分析 1 根据函数奇偶性的定义求出 a 的值即可 2 通过定义证明函数 f x 在区间 lna 上是增函数 求出函数的最小值 从而 求出满足条件的集合即可 解答 解 1 函数 f x a 0 是 R 上的偶函数 f x f x 即 ex e x a a ex e x 在 R 恒成立 a 解得 a 1 a 0 2 在 lna 上任取 x1 x2 且 x1 x2 则 f x1 f x2 a y ex是增函数 lna x1 x2 0 x1 x2 2lna lna2 a2 a2 0 a 0 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 函数 f x 在 lna 上是增函数 f x min f lna 2 函数 f x 在 lna 上所有下界构成的集合是 2 点评 本题考查了函数的奇偶性 单调性问题 考查函数单调性的定义的应用 是一道 中档题 22 某家庭进行理财投资 根据长期收益率市场预测 投资债券等稳健型产品的收益与投 资额成正比 投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比 已知投资 1 万 元时两类产品的收益分别为 0 125 万元和 0 5 万元 如图 1 分别写出两种产品的收益和投资的函数关系 2 该家庭现有 20 万元资金 全部用于理财投资 问 怎样分配资金能使投资获得最大 的收益 其最大收益为多少万元 考点 函数模型的选择与应用 专题 函数的性质及应用 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 1 利用待定系数法确定出 f x 与 g x 解析式即可 2 设设投资债券类产品 x 万元 则股票类投资为 20 x 万元 根据 y f x g x 列出二次函数解析式 利用二次函数的性质判断即可得到结果 解答 解 1 设 f x k1x g x k2 由题意 可得 f 1 0 125 k1 g 1 k2 0 5 则 f x 0 125x x 0 g x 0 5 x 0 2 设投资债券类产品 x 万元 则股票类投资为 20 x 万元 由题意 得 y f x g 20 x 0 125x 0 5 0 x 20 令 t 则有 x 20 t2 y 0 125 20 t2 0 5t 0 125 t 2 2 3 当 t 2 即 x 16 万元时 收益最大 此时 ymax 3 万元 则投资债券等稳健型产品 16 万元 投资股票等风险型产品 4 万元获得收益最大 最大收益 为 4 万元 点评 此题考查了函数模型的选择与应用 熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键 21 已知函数 x 1 且 m 1 用定义证明函数 f x 在 1 上为增函数 设函数 若 2 5 是 g x 的一个单调区间 且在该区 间上 g x 0 恒成立 求实数 m 的取值范围 考点 函数恒成立问题 函数单调性的判断与证明 专题 综合题 分析 设 1 x1 x2 x1 x2 由 1 x1 x2 m 1 能够证明函数 f x 在 1 上为增函数 对称轴 定义域 x 2 5 由此进行分类讨论 能够求出实数 m 的取值范围 解答 证明 设 1 x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 m 1 x1 x2 0 0 f x1 f x2 函数 f x 在 1 上为增函数 解 对称轴 定义域 x 2