电磁场与电磁波课后习题及答案三章习题解答

三章习题解答三章习题解答 3 1 真空中半径为a的一个球面 球的两极点处分别设置点电荷q和 q 试计算球赤道 平面上电通密度的通量 如题 3 1 图所示 解解 由点电荷q和 q 共同产生的电通密度为 33 4 q RR RR D 22 3 222 3 2 4 rzrz rzarzaq rzarza eeee 则球赤道平面上电通密度的通量 0 dd z z SS S DSD eAA 22 3 222 3 2 0 2d 4 a qaa rr rara 22 1 2 0 1 1 0 293 2 a qa qq ra 3 2 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为 a r 的球体原子模型 其球体内均匀分布有总 电荷量为 Ze 的电子云 在球心有一正电荷Ze Z是原子序数 e是质子电荷量 通过实验 得到球体内的电通量密度表达式为 0 23 1 4 r a Zer rr De 试证明之 解解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 1 2 4 r Ze r De 原子内电子云的电荷体密度为 33 3 434 aa ZeZe rr 电子云在原子内产生的电通量密度则为 3 2 23 43 44 rr a rZe r rr Dee 故原子内总的电通量密度为 12 23 1 4 r a Zer rr DDDe 3 3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中 体密度为 3 0C m 两圆柱 面半径分别为a和b 轴线相距为c abc 如题 3 3 图 a 所示 求空间各部分的电场 解解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布 不能直接用高斯定律求解 但可把半径为 a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0 的两种电荷分布 这样在半径为b的整个圆柱 体内具有体密度为 0 的均匀电荷分布 而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为 0 的均 匀电荷分布 如题 3 3 图 b 所示 空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加 在 br 区域中 由高斯定律 0 d S q ESA A 可求得大 小圆柱中的正 负电荷在点P产 q q a 赤道平面 题 3 1 图 题 3 3 图 a a b c 0 生的电场分别为 22 00 1 2 00 22 r bb rr r Ee 22 00 1 2 00 22 r aa rr r Ee 点P处总的电场为 22 11 22 0 2 ba rr rr EEE 在 br 且 ar 区域中 同理可求得大 小圆柱中的正 负电荷在点P产生的电场分别为 2 2 00 22 r r r r Ee 22 2 2 00 22 r aa rr r Ee 点P处总的电场为 2 0 22 2 0 2 a r r EEEr 在 ar 的空腔区域中 大 小圆柱中的正 负电荷在点P产生的电场分别为 2 00 3 00 22 r r r r Ee 2 00 3 00 22 r r r r Ee 点P处总的电场为 00 33 00 22 EEErrc 3 4 半径为a的球中充满密度 r 的体电荷 已知电位移分布为 32 54 2 r rArra D aAa ra r 其中A为常数 试求电荷密度 r 解 由 DA 有 2 2 1 d d r rr D rr DA 故在r a 区域 2322 00 2 1 d 54 d rrrArrAr rr 在r a 区域 54 2 0 22 1 d 0 d aAa rr rrr 3 5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜 球内充满总电荷量为Q为的体 电荷 球壳上又另充有电荷量Q 已知球内部的电场为 4 r r a Ee 设球内介质为真空 计 算 1 球内的电荷分布 2 球壳外表面的电荷面密度 解解 1 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 2 00 2 1 d d r E rr EA 43 2 00 244 1 d 6 d rr r rraa 题 3 3 图 b a b c 0 a b c 0 a b c 0 2 球体内的总电量Q为 3 22 00 4 0 d64d4 a r Qrra a 球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷 Q 而且在球壳外表面上还要感应电荷Q 所以 球壳外表面上的总电荷为 2Q 故球壳外表面上的电荷面密度为 0 2 2 2 4 Q a 3 6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r a 和r b ba 圆柱表面分别带有密度为 1 和 2 的面电荷 1 计算各处的电位移 0 D 2 欲使r b 区域内 0 0 D 则 1 和 2 应 具有什么关系 解解 1 由高斯定理 0 d S q DSA A 当r a 时 有 01 0 D 当a rb 时 有 021 22rDa 则 1 02r a r De 当b r 时 有 0312 222rDab 则 12 03r ab r De 2 令 12 03 0 r ab r De 则得到 1 2 b a 3 7 计算在电场强度 xy yx Eee 的电场中把带电量为 2C 的点电荷从点 1 2 1 1 P 移到点 2 8 2 1 P 时电场所做的功 1 沿曲线 2 2xy 2 沿连接该两点的 直线 解解 1 dddd xy CCC Wqq ExEy FlElAA 2 22 1 ddd 2 2d C q yxxyq yyyy 2 26 1 6d1428 10 qyyqJ 2 连接点 1 2 1 1 P 到点 2 8 2 1 P 直线方程为 28 12 xx yy 即 640 xy 故W 2 1 ddd 64 64 d C q yxxyq yyyy 2 6 1 124 d1428 10 qyyqJ 3 8 长度为L的细导线带有均匀电荷 其电荷线密度为 0l 1 计算线电荷平分面上任 意点的电位 2 利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E 并用 E 核 对 解解 1 建立如题 3 8 图所示坐标系 根据电位的积分表 达式 线电荷平分面上任意点P的电位为 2 0 22 2 0 d 0 4 L l L z r rz 2L 2L P z r o 0l 题 3 8 图 2 22 0 2 0 ln 4 L l L zrz 2 2 0 2 2 0 2 2 ln 4 2 2 l rLL rLL 2 2 0 0 2 2 ln 2 l rLL r 2 根据对称性 可得两个对称线电荷元 z l d 0 在点P的电场为 0 22 0 d ddcos 2 l rrr z E rz Eee 0 22 3 2 0 d 2 l r r z rz e 故长为L的线电荷在点P的电场为 2 0 223 2 00 d d 2 L l r r z rz EEe 2 0 22 0 0 2 L l r z r rz e 0 2 2 0 4 2 l r L r rL e 由 E 求E 有 2 2 0 0 2 2 ln 2 l LrL r E 2 2 0 0 d ln2 2 ln 2d l r LrLr r e 0 22 22 0 1 2 2 2 2 l r r r LrLrL e 0 2 2 0 4 2 l r L r rL e 3 9 已知无限长均匀线电荷 l 的电场 0 2 l r r Ee 试用定义式 d P r r r ElA 求其电 位函数 其中 P r 为电位参考点 解解 000 ddlnln 222 PP P rr r lllP r rr r rrr rr ElA 由于是无限长的线电荷 不能将 P r 选为无穷远点 3 10 一点电荷 q 位于 0 0 a 另一点电荷 2q 位于 0 0 a 求空间的零电位面 解解 两个点电荷 q 和 2q 在空间产生的电位 222222 0 12 4 qq x y z xayzxayz 令 0 x y z 则有 222222 12 0 xayzxayz 即 222222 4 xayzxayz 故得 2222 54 33 xayza 由此可见 零电位面是一个以点 5 0 0 3 a 为球心 4 3 a 为半径的球面 3 11 证明习题 3 2 的电位表达式为 2 0 13 422 aa Zer r rrr 解解 位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为 1 2 4 r Ze r De 电子云在原子外产生的电通量密度则为 3 2 22 43 44 a rr rZe rr Dee 所以原子外的电场为零 故原子内电位为 23 00 11 d d 4 aa rr arr Zer rD rr rr 2 0 13 422 aa Zer rrr 3 12 电场中有一半径为a的圆柱体 已知柱内外的电位函数分别为 2 0 cos rra a rA rra r 1 求圆柱内 外的电场强度 2 这个圆柱是什么材料制成的 表面有电荷分布吗 试求之 解解 1 由 E 可得到 ra 时 0 E ra 时 E 22 cos cos r aa A rA r rrrr ee 22 22 1 cos 1 sin r aa AA rr ee 2 该圆柱体为等位体 所以是由导体制成的 其表面有电荷分布 电荷面密度为 000 2cos r r ar a A n Ee EAA 3 13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足 2 0 1 sin sin hz kxly e 其中 222 hkl 2 cos sin n rnAn 圆柱坐标 3 cos n rn 圆柱坐标 4 cosr 球坐标 5 2 cosr 球坐标 解解 1 在直角坐标系中 222 2 222 xyz 而 22 2 22 sin sin sin sin hzhz kxly ekkxly e xx 22 2 22 sin sin sin sin hzhz kxly elkxly e yy 22 2 22 sin sin sin sin hzhz kxly ehkxly e zz 故 2222 sin sin 0 hz klhkxly e 2 在圆柱坐标系中 22 2 222 1 r r rrrz 而 11 cos sin n rrrnAn rrrrrr 22 cos sin n n rnAn 2 22 22 1 cos sin n n rnAn r 22 22 cos sin 0 n rnAn zz 故 2 0 3 22 11 cos cos nn rrrnn rn rrrrrr 2 22 22 1 cos n n rn r 22 22 cos 0 n rn zz 故 2 0 4 在球坐标系中 2 22 22222 111 sin sinsin r rrrrr 而 22 22 112 cos cosrrr rrrrrrr 22 11 sin sin cos sinsin r rr 2 2 12 sin cos sin r rr 22 222222 11 cos 0 sinsin r rr 故 2 0 5 222 222 112 cos cosrrr rrrrrrr 2 22 11 sin sin cos sinsin r rr 22 24 12 sin cos sin r rr 22 2 222222 11 cos 0 sinsin r rr 故 2 0 3 14 已知 0 y 的空间中没有电荷 下列几个函数中哪些是可能的电位的解 1 cosh y ex 2 xe y cos 3 2 cos sin y exx 4 zyxsinsinsin 解解 1 222 222 cosh cosh cosh yyy exexex xyz 2cosh0 y ex 所以函数 xe y cosh 不是 0 y 空间中的电位的解 2 222 222 cos cos cos yyy exexex xyz coscos0 yy exex 所以函数 xe y cos 是 0 y 空间中可能的电位的解 3 222 222 222 cos sin cos sin cos sin yyy exxexxexx xyz 22 4cos sin2cos sin0 yy exxexx 所以函数 xxe y sincos 2 不是 0 y 空间中的电位的解 4 222 222 sin sinsin sin sinsin sin sinsin xyzxyzxyz xyz 3sin sinsin0 xyz 所以函数 zyxsinsinsin 不是 0 y 空间中的电位的解 3 15 中心位于原点 边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为 0 xyz Pxyz Peee 1 计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度 2 证明总的束缚电荷为零 解解 1 0 3 P P PA 220 22 Px Lxx L LL xP n Pe PAA 220 22 PxLxxL LL xP n Pe PAA 同理 0 22222 PPPP LLLLL yyzzP 2 32 00 dd360 2 PPP S L qSP LLP A 3 16 一半径为 0 R 的介质球 介电常数为 0r 其内均匀分布自由电荷 证明中心点的 电位为 2 0 0 21 23 r r R 解解 由 d S q DSA A 可得到 0 rR 时 3 2 1 4 4 3 r r D 即 1 3 r D 1 1 00 3 rr Dr E 0 rR 时 3 2 0 2 4 4 3 R r D 即 3 0 2 2 3 R D r 3 01 2 2 00 3 RD E r 故中心点的电位为 00 00 3 0 12 2 0000 0 dddd 33 RR rRR Rr ErErrr r 22 2 00 0 000 21 6323 r rr RR R 3 17 一个半径为R的介质球 介电常数为 球内的极化强度 r K r Pe 其中K为一 常数 1 计算束缚电荷体密度和面密度 2 计算自由电荷密度 3 计算球内 外的 电场和电位分布 解解 1 介质球内的束缚电荷体密度为 2 22 1 d d p KK r rrrr PA 在r R 的球面上 束缚电荷面密度为 pr r Rr R K R n Pe PAA 2 由于 0 DEP 所以 0 0 DEPDPAAAAA 即 0 1 DPAA 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 2 000 p K r DPAA 总的自由电荷量 2 2 000 14 d4d R KRK qrr r 3 介质球内 外的电场强度分别为 1 00 r K r P Ee rR 2 22 000 4 rr qRK rr Eee rR 介质球内 外的电位分别为 112 ddd R rrR E rEr ElA 2 000 dd R rR KRK rr rr 000 ln KRK r rR 22 2 00 dd rr RK Err r 00 RK r rR 3 18 1 证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度 2 导出 束缚电荷密度 P 的表达式 解解 1 由 0 DEP 得束缚电荷体密度为 0P PDEAAA 在介质内没有自由电荷密度时 0 DA 则有 0P EA 由于 DE 有 0 DEEEAAAA 所以 E E A A 由此可见 当电介质不均匀时 E A 可能不为零 故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密 度 2 束缚电荷密度 P 的表达式为 0 0P EEAA 3 19 两种电介质的相对介电常数分别为 1r 2 和 2r 3 其分界面为z 0 平面 如果已知 介质 1 中的电场的 1 23 5 xyz yxz Eeee 那么对于介质 2 中的 2 E 和 2 D 我们可得到什么结果 能否求出介质 2 中任意点的 2 E 和 2 D 解解 设在介质 2 中 2222 0 0 0 0 xxyyzz x yEx yEx yEx y Eeee 202202 3 r DEE 在 0z 处 由 12 0 z eEE 和 12 0 z eDDA 可得 22 002 23 0 0 2 53 0 xyxxyy z yxEx yEx y Ex y eeee 于是得到 2 0 2 x Ex yy 2 0 3 y Ex yx 2 0 10 3 z Ex y 故得到介质 2 中的 2 E 和 2 D 在 0z 处的表达式分别为 2 20 0 23 10 3 0 6910 xyz xyz x yyx x yyx Eeee Deee 不能求出介质 2 中任意点的 2 E 和 2 D 由于是非均匀场 介质中任意点的电场与边界面上 的电场是不相同的 3 20 电场中一半径为a 介电常数为 的介质球 已知球内 外的电位函数分别为 3 0 100 2 0 cos cos 2 E ra E r ra 0 20 0 3 cos 2 E r ra 验证球表面的边界条件 并计算球表面的束缚电荷密度 解解 在球表面上 00 1000 00 3 coscoscos 22 aE aaEE a 0 20 0 3 cos 2 aE a 01 000 00 2 3 coscoscos 22 r a EEE r 02 0 0 3 cos 2 r a E r 故有 12 aa 12 0r ar a rr 可见 1 和 2 满足球表面上的边界条件 球表面的束缚电荷密度为 202 pr ar n Pe EAA 002 00 0 3 cos 2 r a E r 3 21 平行板电容器的长 宽分别为a和b 极板间距离为d 电容器的一半厚度 2 0 d 用 介电常数为 的电介质填充 如题 3 21 图所示 1 1 板上外加电压 0 U 求板上的自由电荷面密度 束缚电荷 2 2 若已知板上的自由电荷总量为Q 求此时极板间电压和束缚电荷 3 3 求电容器的电容量 解解 1 设介质中的电场为 zE Ee 空气中的电场为 0 E 0zE e 由 D 0 D 有 00 EE 又由于 00 22 U d E d E 由以上两式解得 00 0 2 U E d 0 0 0 2 U E d 故下极板的自由电荷面密度为 00 0 2 U E d 上 上极板的自由电荷面密度为 00 00 0 2 U E d 上 题 3 21 图 0 U 2d 2d z 电介质中的极化强度 000 0 0 2 z U d PEe 故下表面上的束缚电荷面密度为 000 0 2 pz U d e PA 上 上表面上的束缚电荷面密度为 000 0 2 pz U d e PA 上 2 由 0 0 2 UQ abd 得到 0 0 2 dQ U ab 故 0 p Q ab 上 0 p Q ab 上 3 电容器的电容为 0 0 2 abQ C Ud 3 22 厚度为t 介电常数为 0 4 的无限大介质板 放置于均匀电场 0 E 中 板与 0 E 成 角 1 如题 3 22 图所示 求 1 使 2 4 的 1 值 2 介质板两表面的极化电荷密度 解解 1 根据静电场的边界条件 在介质板的表面上有 01 2 tan tan 由此得到 111 020 1 tan1 tantantan14 4 2 设介质板中的电场为E 根据分界面上的边界条件 有 00nn EE 即 001 cos n EE 所以 0 010 1 coscos14 4 n EEE 介质板左表面的束缚电荷面密度 00000 3 cos140 728 4 pn EEE 介质板右表面的束缚电荷面密度 00000 3 cos140 728 4 pn EEE 3 23 在介电常数为 的无限大均匀介质中 开有如下的空腔 求各腔中的 0 E 和 0 D 1 平行于E的针形空腔 2 底面垂直于E的薄盘形空腔 3 小球形空腔 见第四章 4 14 题 解解 1 对于平行于E的针形空腔 根据边界条件 在空腔的侧面上 有 0 EE 故在 针形空腔中 0 EE 0000 DEE 题 3 22 图 0 E 0 E 1 1 0 E 2 2 对于底面垂直于E的薄盘形空腔 根据边界条件 在空腔的底面上 有 0 DD 故 在薄盘形空腔中 0 DDE 0 0 00 DE E 3 24 在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质 从一极板 0 y 处 的 1 一直变化到另一极板 yd 处的 2 试求电容量 解解 由题意可知 介质的介电常数为 121 yd 设平行板电容器的极板上带电量分别为 q 由高斯定理可得 y q D S 121 y y D q E yd S 所以 两极板的电位差 2 12121100 ddln dd y qqd UEyy yd SS 故电容量为 21 21 ln Sq C Ud 3 25 一体密度为 73 2 32 10C m 的质子束 束内的电荷均匀分布 束直径为2mm 束外没有电荷分布 试计算质子束内部和外部的径向电场强度 解解 在质子束内部 由高斯定理可得 2 0 1 2 r rEr 故 7 4 12 0 2 32 10 1 31 10V m 22 8 854 10 r rr Er 3 10m r 在质子束外部 有 2 0 1 2 r rEa 故 276 2 12 0 2 32 10101 1 31 10V m 22 8 854 10 r a E rrr 3 10m r 3 26 考虑一块电导率不为零的电介质 设其介质特性和导电特性都是不均匀的 证明当介质中有恒定电流J时 体积内将出现自由电荷 体密度为 JA 试问有没 有束缚体电荷 P 若有则进一步求出 P 解解 DEJJJAAAAA 对于恒定电流 有 0 JA 故得到 JA 介质中有束缚体电荷 P 且 00 P J PDEJAAAAA 00 JJJAAA 3 27 填充有两层介质的同轴电缆 内导体半径为a 外导体内半径为c 介质的分界面半 径为b 两层介质的介电常数为 1 和 2 电导率为 1 和 2 设内导体的电压为 0 U 外导体接 地 求 1 两导体之间的电流密度和电场强度分布 2 介质分界面上的自由电荷面密度 3 同轴线单位长度的电容及漏电阻 解解 1 设同轴电缆中单位长度的径向电流为I 则由 d S I J SA 可得电流密度 2 r I r Je arc 介质中的电场 1 11 2 r I r J Ee arb 2 22 2 r I r J Ee brc 由于 012 dd bc ab U ErErAA 12 lnln 22 IbIc ab 于是得到 120 21 2 ln ln U I b ac b 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为 120 21 ln ln r U rb ac b Je arc 20 1 21 ln ln r U rb ac b Ee arb 10 2 21 ln ln r U rb ac b Ee brc 2 由 n D A 可得 介质 1 内表面的电荷面密度为 120 111 21 ln ln rr a U ab ac b e EA 介质 2 外表面的电荷面密度为 210 222 21 ln ln rr c U cb ac b e EA 两种介质分界面上的电荷面密度为 121122 rrr b e Ee EAA 12210 21 ln ln U bb ac b 3 同轴线单位长度的漏电阻为 021 12 ln ln 2 Ub ac b R I 由静电比拟 可得同轴线单位长度的电容为 12 21 2 ln ln C b ac b 3 28 半径为1 R 和2 R 21 RR 的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为 电导 率为 0 1 K r 的导电媒质 K为常数 若内导体球面的电位为 0 U 外导体球面接地 试求 1 媒质中的电荷分布 2 两个理想导体球面间的电阻 解解 设由内导体流向外导体的电流为I 由于电流密度成球对称分布 所以 12 2 4 r I RrR r Je 电场强度 12 0 4 r I RrR rK r J Ee 由两导体间的电压 22 11 0 0 dd 4 RR RR I Ur rK r ErA 21 012 ln 4 R RKI KR RK 可得到 00 21 12 4 ln KU I R RK R RK 所以 00 2 21 12 ln r KU R RK r R RK Je 媒质中的电荷体密度为 2 0 22 21 12 1 ln K U rKrR RK R RK JA 媒质内 外表面上的电荷面密度分别为 1 0 1 11 21 12 1 ln rr R KU RK RR RK R RK e JA 2 0 2 22 21 12 1 ln rr R KU RK RR RK R RK e JA 2 两理想导体球面间的电阻 021 012 1 ln 4 UR RK R IKR RK 3 29 电导率为 的无界均匀电介质内 有两个半径分别为1 R 和2 R 的理想导体小球 两球 之间的距离为 21 RdRdd 试求两小导体球面间的电阻 解解 此题可采用静电比拟的方法求解 假设两小球分别带电荷q和 q 由于两球间的距 离1 Rd 2 Rd 可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上 由电荷q和 q 的电位 叠加求出两小球表面的电位差 即可求得两小导体球面间的电容 再由静电比拟求出两小导体 球面间的电阻 设两小球分别带电荷q和 q 由于1 Rd 2 Rd 可得到两小球表面的电位为 1 12 11 4 q RdR 2 21 11 4 q RdR 所以两小导体球面间的电容为 12 1212 4 1111 q C RRdRdR 由静电比拟 得到两小导体球面间的电导为 12 1212 4 1111 I G RRdRdR 故两个小导体球面间的电阻为 1212 111111 4 R GRRdRdR 3 30 在一块厚度d的导电板上 由两个半径为1 r 和2 r 的圆弧和夹角为 的两半径割出 的一块扇形体 如题 3 30 图所示 求 1 沿厚度方向的电阻 2 两圆弧面之间的电阻 沿 方向的两电极的电阻 设导电板的电导率为 解解 1 设沿厚度方向的两电极的电压为1 U 则有 d U E 1 1 1 11 U JE d 22 1 11121 2 U IJ Srr d 故得到沿厚度方向的电阻为 1 1 22 121 2 Ud R Irr 2 设内外两圆弧面电极之间的电流为2 I 则 rd I S I J 2 2 2 2 rd IJ E 22 2 2 1 22 22 1 dln r r Ir UEr dr 故得到两圆弧面之间的电阻为 22 2 21 1 ln Ur R Idr 3 设沿 方向的两电极的电压为 3 U 则有 33 0 dUE r 由于 3 E 与 无关 所以得到 3 3 U r Ee 3 33 U r JEe 2 31 332 33 1 ddln r Sr dUdUr ISr rr J e A 题 3 30 图 1 r 2 r d J 故得到沿 方向的电阻为 3 3 321 ln U R Idr r 3 31 圆柱形电容器外导体内半径为b 内导体半径为a 当外加电压U固定时 在b一 定的条件下 求使电容器中的最大电场强度取极小值 min E 的内导体半径a的值和这个 min E 的值 解解 设内导体单位长度带电荷为 l 由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 0 2 l E r r 由内外导体间的电压 00 ddln 22 bb ll aa b UE rr ra 得到 0 2 ln l U b a 由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式 ln abr U rE 在圆柱形电容器中 ar 处的电场强度最大 ln aba U aE 令 aE 对a的导数为零 即 0 ln 1 ln 1 22 ab ab aa aE 由此得到 1 ln ab 故有 718 2 b e b a b U U b e E718 2 min 3 32 证明 同轴线单位长度的静电储能 e W 等于 2 2 l q C l q 为单位长度上的电荷量 C为单 位长度上的电容 解解 由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 2 l q E r r 内外导体间的电压为 ddln 22 bb ll aa b UE rr ra 则同轴线单位长度的电容为 2 ln l q C Ub a 同轴线单位长度的静电储能为 22 11 d 2d 222 b l e a q WErr r 22 11 ln 2 22 ll qq b a C 3 33 如题 3 33 图所示 一半径为a 带电量q的导体球 其球心位于两种介质的分界面 上 此两种介质的电容率分别为 1 和 2 分界面为无限大平面 求 1 导体球的电容 2 总的静电能量 解解 1 由于电场沿径向分布 根据边界条件 在两种介质的分界面上 12tt EE 故有 12 EEE 由于 111 DE 222 DE 所以 12 DD 由高斯定理 得到 1122 D SD Sq 即 22 12 22rErEq 所以 2 12 2 q E r 导体球的电位 2 12 1 dd 2 aa q aErr r 12 2 q a 故导体球的电容 12 2 q Ca a 2 总的静电能量为 2 12 1 24 e q Wqa a 3 34 把一带电量q 半径为a的导体球切成两半 求两半球之间的电场力 解解 先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力 f 然后在半球面上 对 f 积分 求出两半球之间的电场力 导体球的电容为 0 4Ca 故静电能量为 22 0 28 e qq W Ca 根据虚位移法 导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力 22 2224 00 11 44832 e Wqq f aaaaaa 方向沿导体球表面的外法向 即 2 24 0 32 rr q f a fee 这里 sincossinsincos rxyz eeee 在半球面上对 f 积分 即得到两半球之间的静电力为 22 2 2 24 000 dsin d d 32 r q Sa a Ffe 2 22 24 00 2 cos sin d 32 z a q a e 2 2 0 32 z q a e 3 35 如题 3 35 图所示 两平行的金属板 板间距离为d 竖直地插入在电容率为 的液 体中 两板间加电压U 证明液面升高 2 0 1 2 U h gd 其中 为液体的质量密度 解解 设金属板的宽度为a 高度为L 当金属板间的液面升高为h时 其电容为 0 a Lhah C dd a 2 1 o q 题 3 33 图 金属板间的静电能量为 2 2 0 1 22 e aU WCUhLh d 液体受到竖直向上的静电力为 2 0 2 e e WaU F hd 而液体所受重力 g Fmgahd g e F 与 g F 相平衡 即 2 0 2 aU ahdg d 故得到液面上升的高度 2 2 0 0 2 1 22 UU h dggd 3 36 可变空气电容器 当动片由0 至180 电容量由25至350 F p 直线地变化 当动片为 角时 求作用于动片上的力矩 设动片与定