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运用点差法巧解圆锥曲线的中点弦问题 高中数学教师欧阳文丰制作 1 导言圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目 这些题目的解法灵活多变 其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题 我们称之为圆锥曲线的中点弦问题 用点差法求解此类问题 具有构思精巧 简便易行的优点 若设直线与圆锥曲线的交点 弦的端点 坐标为 将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差 得到一个与弦的中点和斜率有关的式子 可以大大减少运算量 我们称这种代点作差的方法为 点差法 2 A x2 y2 M x1 y1 B 一 问题引入 3 例1 已知椭圆过点P 2 1 引一弦 使弦在这点被平分 求此弦所在直线的方程 解法一 韦达定理 斜率 韦达定理法 利用韦达定理及中点坐标公式来构造 二 例题讲解 4 例1 已知椭圆过点P 2 1 引一弦 使弦在这点被平分 求此弦所在直线的方程 点差法 利用端点在曲线上 坐标满足方程 作差构造出中点坐标和斜率 点 作差 二 例题讲解 5 小结 弦中点 弦斜率问题的两种处理方法 1 联立方程组 消去一个未知数 利用韦达定理解决 2 点差法 设弦的两端点坐标 代入曲线方程相减后分解因式 便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系起来 6 点差法 例2 二 例题讲解 7 二 例题讲解 8 例3 已知椭圆 求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程 解 设弦端点 弦 的中点 则 又 两式相减得 即 即 即 由 得 弦中点的轨迹方程为 二 例题讲解 9 例4已知椭圆 的一条准线方程是 有一条倾斜角为 的直线交椭圆于A B两点 若AB的 中点为 则求椭圆的方程 二 例题讲解 10 解设 则 且 1 2 得 3 4 5 由 3 4 5 可得 所求椭圆方程为 二 例题讲解 11 注 凡关于中点弦和弦中点的问题 可采用点差法求解 三 变式练习 12 三 变式练习 13 2 弦中点问题的两种处理方法 课堂小结 1 联立方程组 消去一个未知数 利用韦达定理 2 设两端点坐标 代入曲线方程相减可求出弦的斜率和弦的中点坐标 点差法 1 利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题 方法简捷明快 结构精巧 很好地体现了数学美 而且应用特征明显 是训练思维 熏陶数学情感的一个很好的材料 利于培养学生的解题能力和解题兴趣 14 作业 抛物线y x2 2x 2与直线y mx交于P1 P2两
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