中考数学 二次函数及其图象考点热身 人教新课标版

用心 爱心 专心 二次函数及其图象二次函数及其图象 课前热身 1 向上发射一枚炮弹 经x秒后的高度为y公尺 且时间与高度关系为y ax2 bx 若此炮 弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等 则再下列哪一个时间的高度是最高的 A 第 8 秒 B 第 10 秒 C 第 12 秒 D 第 15 秒 2 在平面直角坐标系中 将二次函数 2 2xy 的图象向上平移 2 个单位 所得图象的解析 式为 A 22 2 xy B 22 2 xy C 2 2 2 xy D 2 2 2 xy 3 抛物线3 2 2 xy的顶点坐标是 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 4 二次函数 2 1 2yx 的最小值是 A 2 B 1 C 3 D 2 3 5 抛物线 y 2x2 4x 5 经过平移得到 y 2x2 平移方法是 A 向左平移 1 个单位 再向下平移 3 个单位 B 向左平移 1 个单位 再向上平移 3 个单位 C 向右平移 1 个单位 再向下平移 3 个单位 D 向右平移 1 个单位 再向上平移 3 个单位 参考答案 1 B 2 B 3 A 4 A 5 D 考点聚焦 用心 爱心 专心 知识点 二次函数 抛物线的顶点 对称轴和开口方向 大纲要求 1 理解二次函数的概念 2 会把二次函数的一般式化为顶点式 确定图象的顶点坐标 对称轴和开口方向 会用描点法画二次函数的图象 3 会平移二次函数 y ax2 a 0 的图象得到二次函数 y a ax m 2 k 的图象 了 解特殊与一般相互联系和转化的思想 4 会用待定系数法求二次函数的解析式 5 利用二次函数的图象 了解二次函数的增减性 会求二次函数的图象与 x 轴的交 点坐标和函数的最大值 最小值 了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的 联系 备考兵法 考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义 性质 有关试题常出现在选择题中 如 已知以 x 为自变 量的二次函数 y m 2 x2 m2 m 2 额图象经过原点 则 m 的值是 2 综合考查正比例 反比例 一次函数 二次函数的图象 习题的特点是在同一直 角 3 坐标系内考查两个函数的图象 试题类型为选择题 如 如图 如果函数 y kx b 的图象在第一 二 三象限内 那么函数 y kx2 bx 1 的图象大致是 y y y y 1 1 用心 爱心 专心 y x O 0 x o 1 x 0 x 0 1 x A B C D 4 考查用待定系数法求二次函数的解析式 有关习题出现的频率很高 习题类型有 中档解答题和选拔性的综合题 如 已知一条抛物线经过 0 3 4 6 两点 对 称轴为 x 求这条抛物线的解析式 5 3 5 考查用配方法求抛物线的顶点坐标 对称轴 二次函数的极值 有关试题为解答 题 如 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴的两个交点的横坐标是 1 3 与 y 轴交点的纵坐标是 1 确定抛物线的解析式 2 用配方法确 3 2 定抛物线的开口方向 对称轴和顶点坐标 5 考查代数与几何的综合能力 常见的作为专项压轴题 抛物线的平移 抛物线的平移主要是移动顶点的位置 将 y ax2沿着 y 轴 上 下 平移 k k 0 个单位得到函数 y ax2 k 将 y ax2沿着 x 轴 右 左 平移 h h 0 个单位得到 y a x h 2 在平移之前先将函数解析式化为顶点式 再来平移 若沿 y 轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减 上加下减 若沿 x 轴平移则直接在 含 x 的括号内进行加减 右减左加 考点链接 1 二次函数 2 ya xhk 的图象和性质 a 0a 0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 用心 爱心 专心 最 值 当 x 时 y 有最 值 当 x y 有最 值 在对称轴左侧y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 增 减 性 在对称轴右侧y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 2 二次函数cbxaxy 2 用配方法可化成 khxay 2 的形式 其中 h k 3 二次函数 2 ya xhk 的图象和 2 axy 图象的关系 4 二次函数cbxaxy 2 中cba 的符号的确定 典例精析 例 1 已知 二次函数为 y x2 x m 1 写出它的图象的开口方向 对称轴及顶点坐标 2 m 为何值时 顶点在 x 轴上方 3 若抛物线与 y 轴交于 A 过 A 作 AB x 轴交抛物 线于另一点 B 当 S AOB 4 时 求此二次函数的解析式 分析 1 用配方法可以达到目的 2 顶点在 x 轴的上方 即顶点的纵坐标为 正 3 AB x 轴 A B 两点的纵坐标是相等的 从而可求出 m 的值 解答 1 由已知 y x2 x m 中 二次项系数 a 1 0 开口向上 又 y x2 x m x2 x 1 2 2 1 4 m x 1 2 2 41 4 m 对称轴是直线 x 1 2 顶点坐标为 1 2 41 4 m 2 顶点在 x 轴上方 顶点的纵坐标大于 0 即 41 4 m 0 m 1 4 用心 爱心 专心 m 1 4 时 顶点在 x 轴上方 3 令 x 0 则 y m 即抛物线 y x2 x m 与 y 轴交点的坐标是 A 0 m AB x 轴 B 点的纵坐标为 m 当 x2 x m m 时 解得 x1 0 x2 1 A 0 m B 1 m 在 Rt BAO 中 AB 1 OA m S AOB 1 2 OA AB 4 1 2 m 1 4 m 8 故所求二次函数的解析式为 y x2 x 8 或 y x2 x 8 点评 正确理解并掌握二次函数中常数 a b c 的符号与函数性质及位置的关系是 解答本题的关键之处 会用待定系数法求二次函数解析式 例 2 2009 年湖北武汉 如图 抛物线 2 4yaxbxa 经过 10 A 0 4 C 两点 与 x轴交于另一点B 1 求抛物线的解析式 2 已知点 1 D mm 在第一象限的抛物线上 求点D关于直线BC对称的点的坐标 3 在 2 的条件下 连接BD 点P为抛物线上一点 且45DBP 求点P的坐 标 分析 1 中用待定系数法求出抛物线的解析式 2 中考查象限 点关于直线的对称 y x O AB C 用心 爱心 专心 点求法 3 中主要是做出正确的辅助线求解 进而求出点的坐标 答案 解 1 抛物线 2 4yaxbxa 经过 10 A 0 4 C 两点 40 44 aba a 解得 1 3 a b 抛物线的解析式为 2 34yxx 2 点 1 D mm 在抛物线上 2 134mmm 即 2 230mm 1m 或3m 点D在第一象限 点D的坐标为 3 4 由 1 知45OAOBCBA 设点D关于直线BC的对称点为点E 0 4 C CDAB 且3CD 45ECBDCB E 点在y轴上 且3CECD 1OE 01 E 即点D关于直线BC对称的点的坐标为 0 1 3 方法一 作PFAB 于F DEBC 于E y x O AB C D E 用心 爱心 专心 由 1 有 445OBOCOBC 45DBPCBDPBA 0 4 3 4 CD CDOB 且3CD 45DCECBO 3 2 2 DECE 4OBOC 4 2BC 5 2 2 BEBCCE 3 tantan 5 DE PBFCBD BE 设3PFt 则5BFt 54OFt 54 3 Ptt P 点在抛物线上 2 3 54 3 54 4ttt 0t 舍去 或 22 25 t 2 66 5 25 P 方法二 过点D作BD的垂线交直线PB于点Q 过点D作DHx 轴于H 过 Q点作QGDH 于G y x O AB C D E P F 用心 爱心 专心 45PBDQDDB QDGBDH 90 又90DQGQDG DQGBDH QDGDBH 4QGDH 1DGBH 由 2 知 3 4 D 13 Q 4 0 B 直线BP的解析式为 312 55 yx 解方程组 2 34 312 55 yxx yx 得 1 1 4 0 x y 2 2 2 5 66 25 x y 点P的坐标为 2 66 5 25 迎考精练 一 选择题 1 2009 年上海市 抛物线 2 2 yxmn mn 是常数 的顶点坐标是 A mn B mn C mn D mn 2 2009 年陕西省 根据下表中的二次函数cbxaxy 2 的自变量x与函数y的对应值 可判断二次函数的图像与 x 轴 x 1 012 y 1 4 7 2 4 7 A 只有一个交点 y x O AB C D P Q G H 用心 爱心 专心 B 有两个交点 且它们分别在 y 轴两侧 C 有两个交点 且它们均在 y 轴同侧 D 无交点 3 2009 年湖北荆门 函数y ax 1 与y ax2 bx 1 a 0 的图象可能是 4 2009 年广东深圳 二次函数cbxaxy 2 的图象如图 2 所示 若点 A 1 y1 B 2 y2 是它图象上的两点 则 y1与 y2的大小关系是 A 21 yy B 21 yy C 21 yy D 不能确定 5 2009 年湖北孝感 将函数 2 yxx 的图象向右平移a 0 a 个单位 得到函数 2 32yxx 的图象 则a的值为 A 1B 2C 3 D 4 6 2009 年天津市 在平面直角坐标系中 先将抛物线 2 2yxx 关于x轴作轴对称 变换 再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换 那么经两次变换后所得的新抛物线的解 析式为 A 2 2yxx B 2 2yxx C 2 2yxx D 2 2yxx 7 2009 年四川遂宁 把二次函数 3 4 1 2 xxy 用配方法化成 khxay 2 的形式 A 22 4 1 2 xy B 42 4 1 2 xy A B C D 1 1 1 1 xo yy o x y o x x o y 用心 爱心 专心 C 42 4 1 2 xy D 3 2 1 2 1 2 xy 8 2009 年河北 某车的刹车距离y m 与开始刹车时的速度x m s 之间满足二次函数 2 1 20 yx x 0 若该车某次的刹车距离为 5 m 则开始刹车时的速度为 A 40 m sB 20 m s C 10 m sD 5 m s 二 填空题 1 2009 年北京市 若把代数式 2 23xx 化为 2 xmk 的形式 其中 m k为常数 则mk 2 2009 年安徽 已知二次函数的图象经过原点及点 1 2 1 4 且图象与x轴的另一 交点到原点的距离为 1 则该二次函数的解析式为 3 2009 年湖南郴州 抛物线 2 3 1 5yx 的顶点坐标为 4 2009 年内蒙古包头 已知二次函数 2 yaxbxc 的图象与x轴交于点 2 0 1 0 x 且 1 12x 与y轴的正半轴的交点在 0 2 的下方 下列结论 420abc 0ab 20ac 210ab 其中正确结论的个数是 个 5 2009 年湖北襄樊 抛物线 2 yxbxc 的图象如图所示 则此抛物线的解析式为 6 2009 年湖北荆门 函数 2 3 yxx 取得最大值时 x 三 解答题 1 2009 年湖南衡阳 已知二次函数的图象过坐标原点 它的顶点坐标是 1 2 求 这个二次函数的关系式 y x O3 x 1 5 题 用心 爱心 专心 2 2009 年湖南株洲 已知ABC 为直角三角形 90ACB ACBC 点A C在x轴上 点B坐标为 3 m 0m 线段AB与y轴相交于点D 以 P 1 0 为顶点的抛物线过点B D 1 求点A的坐标 用m表示 2 求抛物线的解析式 3 设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点 连结PQ并延长交BC于点E 连结 BQ并延长交AC于点F 试证明 FC ACEC 为定值 3 2009 年湖南 常德 已知二次函数过点A 0 2 B 1 0 C 5 9 4 8 1 求此二次函数的解析式 2 判断点M 1 1 2 是否在直线AC上 3 过点M 1 1 2 作一条直线l与二次函数的图象交于E F两点 不同于 A B C三点 请自已给出E点的坐标 并证明 BEF是直角三角形 4 2009 年陕西省 如图 在平面直角坐标系中 OB OA 且 OB 2OA 点 A 的坐标是 1 2 1 求点 B 的坐标 2 求过点 A O B 的抛物线的表达式 第 3 题 y x Q PF E D C B A O 用心 爱心 专心 3 连接 AB 在 2 中的抛物线上求出点 P 使得 S ABP S ABO 5 2009 年湖北黄冈 新星电子科技公司积极应对 2008 年世界金融危机 及时调整投资方 向 瞄准光伏产业 建成了太阳能光伏电池生产线 由于新产品开发初期成本高 且市场 占有率不高等因素的影响 产品投产上市一年来 公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈 利的过程 公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次 公司累积获得的利润y 万 元 与销售时间第x 月 之间的函数关系式 即前x个月的利润总和y与x之间的关系 对应的点都在如图所示的图象上 该图象从左至右 依次是线段OA 曲线AB和曲线BC 其中曲线AB为抛物线的一部分 点A为该抛物线的顶点 曲线BC为另一抛物线 的一部分 且点A B C的横坐标分别为 4 10 12 1 求该公司累积获得的利润y 万元 与时间第x 月 之间的函数关系式 用心 爱心 专心 2 直接写出第x个月所获得S 万元 与时间x 月 之间的函数关系式 不需要 写出计算过程 3 前 12 个月中 第几个月该公司所获得的利润最多 最多利润是多少万元 6 2009 年内蒙古包头 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装 规定试销期间销售单 价不低于成本单价 且获利不得高于 45 经试销发现 销售量 件 与销售单价 元 符合一次函数 且时 时 1 求一次函数的表达式 2 若该商场获得利润为元 试写出利润与销售单价之间的关系式 销售单价定 为多少元时 商场可获得最大利润 最大利润是多少元 3 若该商场获得利润不低于 500 元 试确定销售单价的范围 7 2009 年福建漳州 如图 1 已知 抛物线与轴交于两点 与轴交于点C 经过B C两点的直线是 连结 1 B C两点坐标分别为B C 抛物线的函数关系 式为 2 判断的形状 并说明理由 3 若内部能否截出面积最大的矩形 顶点在各 边上 若能 求出在边上的矩形顶点的坐标 若不能 请说明理由 用心 爱心 专心 抛物线的顶点坐标是 参考答案 选择题 1 B 2 B 3 C 解析 本题考查函数图象与性质 当0a 时 直线从左向右是上升的 抛物线开口向上 D 是错的 函数y ax 1 与y ax2 bx 1 a 0 的图象必过 0 1 所以 C 是正确的 故选 C 4 C 5 B 6 C 7 D 8 C 填空题 1 3 2 2 yxx 2 11 33 yx 3 1 5 用心 爱心 专心 4 4 解析 本题考查二次函数图象的画法 识别理解 方程根与系数的关系筀等知识和数形 结合能力 根据题意画大致图象如图所示 由 2 yaxbxc 与 X 轴的交点坐标为 2 0 得 2 220abc 即 420abc 所以 正确 由图象开口向下知0a 由 2 yaxbxc 与 X 轴的另一个交点坐标为 1 0 x且 1 12x 则该抛物线的对称轴为 1 21 222 xb x a 由 aa 所以结论 正确 由一元二次方程根与系数的关系知 12 2 c x x a 结合 a 0 得20ac 所以 结论正 确 由420abc 得2 2 c ab 而 0 c 2 10 2 c 1 2a b0 所以结论 正确 点拨 420abc 是否成立 也就是判断当2x 时 2 yaxbxc 的函数 值是否为 0 判断 2 yaxbxc 中 a 符号利用抛物线的开口方向来判断 开口向上 a 0 开口向下 a 0 判断 a b 的小关系时 可利用对称轴 2 b x a 的值的情况来判断 判断 a c 的关系时 可利用由一元二次方程根与系数的关系 12 c x x a 的值的范围来判断 2a b 1 的值情况可用420abc 来判断 5 2 23yxx 解析 本题考查二次函数的有关知识 由图象知该抛物线的对称轴是1x 且过点 3 0 所以 1 2 930 b bc 解得 2 3 b c 所以抛物线的解析式为 2 23yxx 故填 2 23yxx 6 5 2 解析 本题考查二次函数的最值问题 可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求出当 x为何值时二次函数取得最大值 下面用配方法 用心 爱心 专心 2 2 549 2 3 56 24 yxxxxx 所以当 5 2 x 时 函数 2 3 yxx 取得最大值 故填 5 2 解答题 1 解 设这个二次函数的关系式为得 解得 这个二次函数的关系式是 即 2 1 由 3 Bm可知3OC BCm 又 ABC为等腰直角三角形 ACBCm 3OAm 所以点A的坐标是 3 0m 2 45ODAOAD 3ODOAm 则点D的坐标是 0 3m 又抛物线顶点为 1 0 P 且过点B D 所以可设抛物线的解析式为 2 1 ya x 得 2 2 3 1 0 1 3 am am 解得 1 4 a m 抛物线的解析式为 2 21yxx 3 过点Q作QMAC 于点M 过点Q作QNBC 于点N 设点Q的坐标是 2 21 x xx 则 2 1 QMCNx 3MCQNx QMCE PQM PEC QMPM ECPC 即 2 1 1 2 xx EC 得 2 1 ECx QNFC BQN BFC QNBN FCBC 即 2 34 1 4 xx FC 得 4 1 FC x 又 4AC 444 42 1 22 2 1 8 111 FC ACECxxx xxx 即 FC ACEC 为定值 8 3 1 设二次函数的解析式为cbxaxy 2 0a 把 A 0 2 B 1 0 C 5 9 4 8 代入得 用心 爱心 专心 2 0 9255 8164 c abc abc 解得 a 2 b 0 c 2 2 22yx 2 设直线AC的解析式为 0 ykxb k 把A 0 2 C 5 9 4 8 代入得 2 95 84 b kb 解得 5 2 2 kb 5 2 2 yx 当x 1 时 51 12 22 y M 1 1 2 在直线AC上 3 设E点坐标为 13 22 则直线EM的解析式为 45 36 yx 由 2 45 36 22 yx yx 化简得 2 47 20 36 xx 即 17 2 0 23 xx F点的坐标为 7 13 6 18 过E点作EH x轴于H 则H的坐标为 1 0 2 31 22 EHBH 222 3110 224 BE 类似地可得 222186324162 BF 222 401025001250 186324162 EF 222 108451250 4162162 BEBFEF BEF是直角三角形 4 解 1 过点 A 作 AF x 轴 垂足为点 F 过点 B 作 BE x 轴 垂足为点 E 则 AF 2 OF 1 OA OB 第 3 题 用心 爱心 专心 AOF BOE 90 又 BOE OBE 90 AOF OBE Rt AFO Rt OEB 2 OA OB AF OE OF BE BE 2 OE 4 B 4 2 2 设过点 A 1 2 B 4 2 O