高中数学参数方程知识点大全

高考复习之参数方程高考复习之参数方程 一 考纲要求一 考纲要求 1 理解参数方程的概念 了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义 掌握 参数方 程与普通方程的互化方法 会根据所给出的参数 依据条件建立参数方程 2 理解极坐标的概念 会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化 会正确将极坐标方程 化为 直角坐标方程 会根据所给条件建立直线 圆锥曲线的极坐标方程 不要求利用曲线 的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点 二 知识结构二 知识结构 1 直线的参数方程 1 标准式 过点 Po x0 y0 倾斜角为 的直线 l 如图 的参数方程是 t 为参数 atyy atxx sin cos 0 0 2 一般式 过定点 P0 x0 y0 斜率 k tg 的直线的参数方程是 a b t 不参数 btyy atxx 0 0 在一般式 中 参数 t 不具备标准式中 t 的几何意义 若 a2 b2 1 即为标准式 此 时 t 表示直线上动点 P 到定点 P0的距离 若 a2 b2 1 则动点 P 到定点 P0的距离 是 t 22 ba 直线参数方程的应用 设过点 P0 x0 y0 倾斜角为 的直线 l 的参数方程是 t 为参数 atyy atxx sin cos 0 0 若 P1 P2是 l 上的两点 它们所对应的参数分别为 t1 t2 则 1 P1 P2两点的坐标分别是 x0 t1cos y0 t1sin x0 t2cos y0 t2sin 2 P1P2 t1 t2 3 线段 P1P2的中点 P 所对应的参数为 t 则 t 2 21 tt 中点 P 到定点 P0的距离 PP0 t 2 21 tt 4 若 P0为线段 P1P2的中点 则 t1 t2 0 2 圆锥曲线的参数方程 1 圆 圆心在 a b 半径为 r 的圆的参数方程是 是参数 sin cos rby rax 是动半径所在的直线与 x 轴正向的夹角 0 2 见图 2 椭圆 椭圆 a b 0 的参数方程是1 2 2 2 2 b y a x 为参数 sin cos by ax 椭圆 a b 0 的参数方程是 1 2 2 2 2 b y a y 为参数 sin cos ay bx 3 极坐标 极坐标系 在平面内取一个定点 O 从 O 引一条射线 Ox 选定一个单位长度以及计算 角度的正 方向 通常取逆时针方向为正方向 这样就建立了一个极坐标系 O 点叫做极点 射线 Ox 叫 做极轴 极点 极轴 长度单位 角度单位和它的正方向 构成了极坐标系的四要素 缺一不可 点的极坐标 设 M 点是平面内任意一点 用 表示线段 OM 的长度 表示射线 Ox 到 OM 的角度 那么 叫做 M 点的极径 叫做 M 点的极角 有序数对 叫做 M 点 的极坐标 见图 极坐标和直角坐标的互化 1 互化的前提条件 极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合 极轴与 x 轴的正半轴重合 两种坐标系中取相同的长度单位 2 互化公式 sin cos y x 0 222 x x y tg yx 三 知识点 能力点提示 一 曲线的参数方程 参数方程与普通方程的互化 例例 1 1 在圆 x2 y2 4x 2y 20 0 上求两点 A 和 B 使它们到直线 4x 3y 19 0 的距离分别 最短和最长 解 将圆的方程化为参数方程 为参数 sin51 cos52 y x 则圆上点 P 坐标为 2 5cos 1 5sin 它到所给直线之距离 d 22 34 30sin15cos120 故当 cos 1 即 时 d 最长 这时 点 A 坐标为 6 4 当 cos 1 即 时 d 最短 这时 点 B 坐标为 2 2 二 极坐标系 曲线的极坐标方程 极坐标和直角坐标的互化 说明说明 这部分内容自 1986 年以来每年都有一个小题 而且都以选择填空题出现 例例 2 2 极坐标方程 所确定的图形是 cossin32 1 A 直线 B 椭圆 C 双曲 D 抛物 线 解 6 sin 1 2 1 1 cos 2 1 2 3 1 2 1 三三 综合例题赏析综合例题赏析 例例 3 3 椭圆 的两个焦点坐标是是参数 sin51 cos3 y x A 3 5 3 3 B 3 3 3 5 C 1 1 7 1 D 7 1 1 1 解 化为普通方程得1 25 1 9 3 22 yx a2 25 b2 9 得 c2 c 4 F x 3 y 1 F 0 4 在 xOy 坐标系中 两焦点坐标是 3 3 和 3 5 应选 B 例例 4 4 参数方程 表示 20 sin1 2 1 2 sin 2 cos y x A 双曲线的一支 这支过点 1 B 抛物线的一部分 这部分过 1 2 1 2 1 C 双曲线的一支 这支过 1 D 抛物线的一部分 这部分过 1 2 1 2 1 解 由参数式得 x2 1 sin 2y x 0 即 y x2 x 0 2 1 应选 B 例例 5 5 在方程 为参数 所表示的曲线一个点的坐标是 cos sin y x A 2 7 B C D 1 0 3 1 3 2 2 1 2 1 解 y cos2 1 2sin2 1 2x2 将 x 代入 得 y 2 1 2 1 应选 C 例例 6 6 下列参数方程 t 为参数 与普通方程 x2 y 0 表示同一曲线的方程是 A B C D ty tx ty tx 2 cos cos t t y tgtx 2cos1 2cos1 t t y tgtx 2cos1 2cos1 解 普通方程 x2 y 中的 x R y 0 A 中 x t 0 B 中 x cost 1 1 故 排除 A 和 B C 中 y ctg2t 即 x2y 1 故排除 C t t 2 2 sin2 cos2 22 11 xttg 应选 D 例例 7 7 曲线的极坐标方程 sin 化 成直角坐标方程为 A x2 y 2 2 4 B x2 y 2 2 4C x 2 2 y2 4 D x 2 2 y2 4 解 将 sin 代入 4sin 得 x2 y2 4y 即 x2 y 2 22 yx 22 yx y 2 4 应选 B 例例 8 8 极坐标 cos 表示的曲线是 4 A 双曲线 B 椭圆C 抛物线 D 圆 解 原极坐标方程化为 cos sin cos sin 2 1 2 2 普通方程为 x2 y2 x y 表示圆 2 应选 D 例例 9 9 在极坐标系中 与圆 4sin 相切的条直线的方程是 A sin 2 B cos 2 C cos 2 D cos 4 例 9 图 解 如图 C 的极坐标方程为 4sin CO OX OA 为直径 OA 4 l 和圆相切 l 交极轴于 B 2 0 点 P 为 l 上任意一点 则有 cos 得 cos 2 2 OP OB 应选 B 例例 1010 4 sin2 5 表示的曲线是 2 A 圆 B 椭圆C 双曲线的一支 D 抛物 线 解 4 sin2 54 2 5 cos22 2 1cos 把 cos x 代入上式 得 22 yx 2 2x 5 22 yx 平方整理得 y2 5x 它表示抛物线 4 25 应选 D 例例 1111 极坐标方程 4sin2 3 表示曲线是 A 两条射线 B 两条相交直线C 圆 D 抛物 线 解 由 4sin2 3 得 4 3 即 y2 3 x2 y 它表示两相交直线 22 2 yx y x3 应选 B 四 能力训练 一 选择题 1 极坐标方程 cos 表示 3 4 A 一条平行于 x 轴的直线 B 一条垂直于 x 轴的直线 C 一个圆 D 一条抛物线 2 直线 3x 4y 9 0 与圆 的位置关系是 sin2 cos2 为参数 y x A 相切 B 相离 C 直线过圆心 D 相交但直 线不过圆心 3 若 x y 与 R 分别是点 M 的直角坐标和极坐标 t 表示参数 则下列 各组曲 线 和 sin 和 tg 2 9 0 和 3 6 2 1 6 3 3 ty tx ty tx 3 22 2 1 3 2 2 2 和 其中表示相同曲线的组数为 A 1 B 2C 3 D 4 4 设 M 1 1 N 2 2 两点的极坐标同时满足下列关系 1 2 0 1 2 0 则 M N 两点位置关系是 A 重合 B 关于极点对称C 关于直线 D 关于极轴 2 对称 5 极坐标方程 sin 2cos 所表示的曲线是 A 直线 B 圆C 双曲线 D 抛物线 6 经过点 M 1 5 且倾斜角为的直线 以定点 M 到动点 P 的位移 t 为参数的参数方 3 程是 A B C D ty tx 2 3 5 2 1 1 ty tx 2 3 5 2 1 1 ty tx 2 3 5 2 1 1 tx ty 2 1 5 2 3 1 7 将参数方 m 是参数 ab 0 化为普通方程是 22 22 22 2 2 2 2 mm m by mm mm ax A B 1 2 2 2 2 ax b y a x 1 2 2 2 2 ax b y a x C D 1 2 2 2 2 ax b y a x 1 2 2 2 2 ax b y a x 8 已知圆的极坐标方程 2sin 则圆心的极坐标和半径分别为 6 A 1 r 2 B 1 r 1C 1 r 1 D 1 3 6 3 r 2 3 9 参数方程 t 为参数 所表示的曲线是 2 1 y t tx A 一条射线 B 两条射线C 一条直线 D 两条 直线 10 双曲线 为参数 的渐近线方 程为 sec21 2 y tgx A y 1 B y C y 1 D y 1 2 2 1 xx 2 1 2 2 x 2 2 x 11 若直线 t 为参数 与圆 x2 y2 4x 1 0 相切 则直线的倾斜角为 bty atx4 A B C 或 D 3 3 2 3 3 2 或 3 3 5 12 已知曲线 t 为参数 上的点 M N 对应的参数分别为 t 1 t2 且 pty ptx 2 2 2 t1 t2 0 那么 M N 间的距离为 A 2p t1 t2 B 2p t21 t22 C 2p t1 t2 D 2p t1 t2 2 13 若点 P x y 在单位圆上以角速度 按逆时针方向运动 点 M 2xy y2 x2 也在 单位圆上运动 其运动规律是 A 角速度 顺时针方向 B 角速度 逆时针方向 C 角速度 2 顺时针方向 D 角速度 2 逆时针方向 14 抛物线 y x2 10 xcos 25 3sin 25sin2 与 x 轴两个交点距离的最大值是 A 5 B 10C 2 D 3 3 15 直线 与直线 l 关于直线 R 对称 则 l 的方程是 sincos2 3 4 A B sincos2 3 coscos2 3 C D sin2cos 3 sin2cos 3 二 填空题 16 若直线 l 的参数方程为 t 为参数 则过点 4 1 且与 l 平行的直 ty tx 5 3 2 5 4 3 线在 y 轴上的截距为 17 参数方程 为参数 化成普通方程为 cos1 sin cos1 cos y x 18 极坐标方程 tg sec 表示的曲线是 19 直线 t 为参数 的倾斜角为 直线上一点 P x y 与点 M ty tx 32 31 1 2 的距离为 三 解答题 20 设椭圆 为参数 上一点 P 若点 P 在第一象限 且 xOP sin32 cos4 y x 3 求点 P 的坐标 21 曲线 C 的方程为 p 0 t 为参数 当 t 1 2 时 曲线 C 的端 pty ptx 2 2 2 点为 A B 设 F 是曲线 C 的焦点 且 S AFB 14 求 P 的值 22 已知椭圆 1 及点 B 0 2 过点 B 作直线 BD 与椭圆的左 半部分交于 2 2 2 y x C D 两点 又过椭圆的右焦点 F 2 作平行于 BD 的直线 交椭圆于 G H 两点 1 试判断满足 BC BD 3 GF2 F2H 成立的直线 BD 是否存在 并说明理 由 2 若点 M 为弦 CD 的中点 S BMF2 2 试求直线 BD 的方程 23 如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线 为参数 的左焦点 tgy x 3 sec48 和左顶点 且焦点到相应的准线的距离为 求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离 4 9 24 A B 为椭圆 1 a b 0 上的两点 且 OA OB 求 AOB 的面积的最 2 2 2 2 b y a x 大值和最小值 25 已知椭圆 1 直线 l 1 P 是 l 上一点 射线 OP 交椭圆于点 1624 22 yx 812 yx R 又点 Q 在 OP 上且 满足 OQ OP OR 2 当点 P