广东省2012年高考数学压轴卷 理

用心 爱心 专心1 20122012 年广东省高考压轴卷年广东省高考压轴卷 数学理数学理 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出 符合题目要求的一项 1 已知i是虚数单位 m n R 且i1imn 则 i i mn mn A 1 B 1 C i D i 2 已知ABCD中 对角线AC与BD交于点O 则的坐标 3 7 AD 2 3 AB CO 为 A B C D 1 5 2 1 5 2 1 5 2 1 5 2 3 给出如下四个命题 若 且 为假命题 则 均为假命题 pqpq 命题 若 则 的否命题为 若 则 ab 221 ab ab 221 ab 的否定是 2 11xx R 2 11xx R 在 中 是 的充要条件 其中不正确的命题的个数是ABCAB sinsinAB A 4 B 3 C 2 D 1 4 阅读右面程序框图 如果输出的函数值在区间 1 1 4 2 内 则输入 的实数x的取值范围是 A 2 B 2 1 C 1 2 D 2 5 已知函数同时有极大值和极小值 32 6 1f xxaxax 则实数的取值范围是 a 1 2 3 6 3 6 3 6 ABCD 6 椭圆和圆 其中 c 为椭 01 2 2 2 2 ba b y a x 2 22 2 b cyx 圆半焦距 有四个不同的交点 则椭圆离心率的范围是 5 3 55 A 25 55 B 2 3 55 C 5 5 0D 7 口袋中有红球 2 个 黑球 3 个 白球 5 个 他们只有颜色不同 从中取出 4 个 取出的 球中同色的两个为一组 若红色一组得 5 分 黑色 组得 3 分 白色一组得 1 分 则得分 总数取得最大值的概率为 开始 输出 结束 是 否 输入x 2 2 x 2xf x f x 2f x 用心 爱心 专心2 70 1 A 35 2 B 50 1 C 7 3 D 8 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的 直径 封闭区域边界曲线 长度与区域直径之比称为区域的 周率 下面四个平面区域 阴影部分 的周率从左到右依 次记为则下列关系中正确的为 4321 341 xA 213 B 324 C 143 D 二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 一 必做题 11 13 题 9 集合 BAxxB x x xA 3 2 0 4 3 10 在等差数列 an 中 若a9 6 则 37 3 1 aa 11 的展开式中项的系数是 15 则展开式的所有项系数的和是 5 1xxa 2 x 12 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为 13 已知抛物线 2 4yx 的弦AB的中点的横坐标为2 则AB的最大值为 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 14 在极坐标系中 过点且平行于极轴的直线 2 2 的极坐标方程为 15 如图 O1与 O2相交于 A B 两点 过点 A 作 O1的切线交 O2于点 C 过点 B 作两圆的割线 分别 交 O1 O2于点 D E DE 与 AC 相交于点 P 若 AD 是 O2的切线 且 PA 6 PC 2 BD 9 则 AD 的长为 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 正视图 侧视图 俯视图 用心 爱心 专心3 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知 ABC 三个内角 A B C 的对边为 a b c cos Bam cosbAn a b 已知nm 1 判断三角形的形状 并说明理由 2 若 BA BA y sinsin sinsin 试确定实数 y 的取值范围 17 本小题满分 12 分 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重 单位 千克 情况 将所得的数 据整理后 画出了频率分布直方图 如图 4 已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比 为 1 2 3 其中第 2 小组的频数为 12 1 求该校报考飞行员的总人数 2 以这所学校的样本数据来估计全省的总体 数据 若从全省报考飞行员的同学中任选三人 设 X 表示体重超过 60 千克的学生人数 求 X 的 分布列和数学期望 18 本小题满分 14 分 如图一 平面四边形关于直线对称 ABCDAC 把沿折起 如图二 使二面角的60 90 2ACCD ABD BDABDC 余弦值等于 对于图二 完成以下各小题 3 3 1 求两点间的距离 A C 2 证明 ACBCD 平面 C B D A 图一 B C D A 图二 用心 爱心 专心4 3 求直线与平面所成角的正弦值 ACABD 19 本小题满分 14 分 一动圆与圆外切 与圆内切 1 1 22 1 yxO9 1 22 2 yxO I 求动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程 设过圆心 O1的直线与轨迹 L 相交于 A B 两点 请问 O2为圆 O21 myxl 2 ABO 的圆心 的内切圆 N 的面积是否存在最大值 若存在 求出这个最大值及直线 l 的方程 若 不存在 请说明理由 用心 爱心 专心5 20 本小题满分 14 分 设数列满足 n a 1 1a 1 1 14124 16 nnn aaanN 1 求 令 求数列的通项公式 2 a 3 a124 nn ba n b 2 已知 求证 1 63 nn f naa 1 1 2 2 fff n 21 本小题满分 14 分 已知函数 2 mx xn f xm nR 在1x 处取得极值2 求 f x的解析式 设A是曲线 yf x 上除原点O外的任意一点 过OA的中点且垂直于x轴的直线交曲线 于点B 试问 是否存在这样的点A 使得曲线在点B处的切线与OA平行 若存在 求出点 A的坐标 若不存在 说明理由 设函数 2 2g xxaxa 若对于任意 1 xR 总存在 2 1 1 x 使得 21 g xf x 求 实数a的取值范围 用心 爱心 专心6 20122012 年广东省高考压轴卷年广东省高考压轴卷 数学文参考答案数学文参考答案 题号 12345678 答案 DCCBDAAC 9 10 4 11 1 4 12 13 6 14 1 4 xxx或 3 2sin 15 12 部分提示 5 D 由已知导函数是一个二次函数 使原函数存在极大值和623 2 aaxxxf 极小值的条件必须导函数有正也有负 即方程有两个不同的实 x f 0623 2 aaxx 数根 判别式 可得 a6 考查函数存在极值的条件0 6 124 2 aa 是极值点左右的单调性必须相反 6 A 要有四个交点只须 b r a b b 2 cb a2 c2 b2 5c2 5 5 e b2 4 a c 2 a2 c2 4 a c 2 a c 4 a c 5c 3a e 3 5 7 A 根据已知要使得分取得最大值必须 4 个球中 2 个取红球 2 个取黑球 所以取法总 数为 概率为 2 3 2 2 CC 70 1 4 10 2 3 2 2 C CC 8 解析 前三个区域的周率依次等于正方形 圆 正三角形的周长和最远距离 所以 第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对22 1 2 3 3 平行边之间的距离之比 所以 则 32 4 1324 13 6 解析 当直线AB斜率不存在时4 2 AB 当直线AB斜率k存在时 设中点坐标为 2 t 1122 A x yB xy则 12 42 k yyt 2 2ytx t 与 2 4yx 联立得 2 1212 2 28yyt y yt 2 2 22 2 12 123636 4 t AByyt 6 AB 三 解答题 以下解答供参考 等价或有效解答都要相应给分 16 解 1 2 分mn 0m n Acoscos0aAbB 由正弦定理知 21 sinsin ab R AB sin sinaA bB 用心 爱心 专心7 4 分sincossincos AABB sin2sin2AB 或 5 分 0 A B 22AB 22AB 舍去 所以三角形 ABC 是直角三角形 6 分AB 2 AB 2 7 分ABcossin AA AA y cossin cossin 4 sin 2cossin AAA 2 0 A 4 3 4 4 A 9 分 1 2 2 4 sin A 2 1 cossin AA 令 10 分 2 1 sincos1 2 sincos 2 t AAtAA 在单调递增 2 22 1 1 t x t t t 1 t t 1 2 112 02 22 t t 故 x 的取值范围为 12 分2 2x ba 22 17 解 1 设报考飞行员的人数为 n 前三小组的频率分别为 pl p2 p3 则 2 分 解得 4 分 15 0125 0 0375 0 3 2 321 13 12 ppp pp pp 375 0 25 0 125 0 3 2 1 p p p 因为 所以 n 48 5 分 n p 12 25 0 2 2 由 1 可得 一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为 7 分 8 5 5 0125 0 0375 0 3 pp 因为 所以 9 分 8 5 3 X3 2 1 0 8 3 8 5 3 3 kCkXp kkk 随机变量 X 的分布列为 11 分 用心 爱心 专心8 则 12 分 8 15 8 5 3 8 15 512 125 3 512 225 2 512 135 1 512 27 0 EXEX或 18 解 解 取的中点 连接 BDECEAE 由 得 CDCBADAB BDCEBDAE 就是二面角的平面角 2 分AEC CBDA 3 3 cos AEC 在中 ACE 2 6 CEAEAECCEAECEAEAC cos2 222 4 分 4 3 3 26226 2 AC 由 22 BDADAC2 CDBCAC 222 ABBCAC 222 ADCDAC 6 分 90ACDACB 又 ACBC ACCD CCDBC 平面 8 分AC BCD 方法一 由 知平面 BDACE 平面 BDABD 平面平面 10 分 平面 ACEABD 平面 ACEAEABD 作交于 则平面 CFAE AEFCF ABD 就是与平面所成的角 12 分CAF ACABD 14 分 3 sinsin 3 CE CAFCAE AE 方法二 设点到平面的距离为 10 分CABDh BCDAABDC VV 12 分 1111 2 22 2sin602 2 2 3232 h 2 3 3 h 于是与平面所成角的正弦为 14 分ACABD 3 3 sin AC h 方法三 以所在直线分别为轴 轴和轴建立空间直角坐标系 CACDCB xyzxyzC 则 10 分 0 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 DCBA 用心 爱心 专心9 设平面的法向量为n n 则 n n n n ABD zyx 0 AB0 AD 022 022 zyzx 取 则n n 12 分 于是与平面所成角的1 zyx 1 1 1 ACABD 正弦即 14 分 3 3 23 200 sin CAn CAn 19 解 1 设动圆圆心为 M x y 半径为 R 由题意 得 3 分 RMORMO 3 1 21 4 21 MOMO 由椭圆定义知 M 在以 O1 O2 为焦点的椭圆上 且 a 2 c 1 动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程为 6 分 314 222 cab1 34 22 yx 2 如图 设内切圆 N 的半径为 r 与直线 l 的切点为 C 则三角形的面积 2 ABO 2 ABO rBOAOABS ABO 2 1 22 2 rBOBOAOAO 2 1 2121 rar42 当最大时 r 也最大 内切圆的面积也最大 7 分 2 ABO S 2 ABO 设 11 yxA 0 0 2122 yyyxB 则 8 分 21221121 2 1 2 1 2 yyyOOyOOS ABO 由 得 1 34 1 22 yx myx 096 43 22 myym 解得 10 分 43 163 2 2 1 m mm y 43 163 2 2 2 m mm y 令 则 t 1 且 m2 t2 1 43 112 2 2 2 m m S ABO 1 2 mt 有 令 则 4 1 3 12 2 2 t t S ABO t t t t 1 3 12 13 12 2 t ttf 1 3 2 1 3 t tf 当 t 1 时 f t 在 1 上单调递增 有 0 tf4 1 ftf 用心 爱心 专心10 3 4 12 2 ABO S 即当 t 1 m 0 时 4r 有最大值 3 得 这时所求内切圆的面积为 4 3 max r 16 9 存在直线的内切圆 M 的面积最大值为 14 分 2 1 ABOxl 16 9 3 另解 法二 同理由 111 1 1 1 422 nnn f n 121 1111 1 1 11 2222 nnnn 1 1111111 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2244222 111 1 1 11 1 222 nnn n fff n 法三 可以先用数学归纳法证明加强不等式 22 111111 1 2 1 1 1 1 444444 nn fff n 用心 爱心 专心11 21 解解 2 mx xn f x 22 2222 2 m xnmxxmnmx xnxn fx 又 f x在1x 处取得 极值2 1 0 1 2 f f 即 2 1 1 1 0 2 m n n m n 解得1n 4m 经检验满足题意 2 4 1 x x f x 4 分 由 知 2 22 44 1 x x fx 假设存在满足条件的点A 且 0 2 0 0 4 1 x x A x 则 2 0 4 1 OA x k 又 2 02 00 22 22 0 0 44 16 4 2 2 4 1 2 x xx x x f 则由 0 2 OA x k f 得 2 0 222 00 16 4 4 1 4 x xx 42 00 54xx 0 0 x 2 0 4 5 x 得 0 2 5 5 x 故存在满足条件的点A 此时点A的坐标为 2 5 8 5 59 或 2 58 5 59 8 分 解法解法1 22 4 1 1 1 xx x fx 令 0fx 得1x 或1x 当x变化时 fx f x的变化情况如下表 x 1 1 1 1 1 1 fx 0 0 f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减 f x在1x 处取得极小值 1 2f 在1x 处取得极大值 1 2f 又0 x 时 0f x f x的最小值为 1 2f 对于任意的 1 xR 总存在 2 1 1 x 使得 21 g xf x 当 1 1 x 时 g x最小值 不大于2 又 222 2 g xxaxaxaaa 当 1a 时 g x的最小值为 1 13ga 由132a 得1a 当1a 时 g x最小值为 1 1ga 由12a 得3a 当11a 时 g x的最小值为 2 g aaa 由 2