线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 姜翠萍 1 线性代数知识点总结线性代数知识点总结 第一章第一章 行列式行列式 一 要点 1 二阶 三阶行列式 2 全排列和逆序数 奇偶排列 可以不介绍对换及有关定理 n 阶行列式的定义 3 行列式的性质 4 n 阶行列式 元素的余子式和代数余子式 行列式按行 列 展开定 ij aD ij a 理 5 克莱姆法则 二 基本要求 1 理解 n 阶行列式的定义 2 掌握 n 阶行列式的性质 3 会用定义判定行列式中项的符号 4 理解和掌握行列式按行 列 展开的计算方法 即 11ji Aa 22ji Aa ji jiD Aa jnin 0 jiA a 1122ij a A ji jiD Aa njni 0 5 会用行列式的性质简化行列式的计算 并掌握几个基本方法 归化为上三角或下三角行列式 各行 列 元素之和等于同一个常数的行列式 利用展开式计算 6 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7 了解个方程个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件nn 第二章第二章 矩阵矩阵 一 要点 1 矩阵的概念 矩阵是一个矩阵表 当时 称为阶矩阵 此时由nm nmij aA nm An 的元素按原来排列的形式构成的阶行列式 称为矩阵的行列式 记为 AnAA 注 矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念 2 几种特殊的矩阵 对角阵 数量阵 单位阵 三角形矩阵 对称矩阵 线性代数知识点总结 姜翠萍 2 3 矩阵的运算 矩阵的加减法 数与矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的乘法 1 矩阵的乘法不满足交换律和消去律 两个非零矩阵相乘可能是零矩阵 如果两矩阵与相乘 有 则称矩阵与可换 ABBAAB AB 注 矩阵乘积不一定符合交换 2 方阵的幂 对于阶矩阵及自然数 nAk 个k k AAAA 规定 其中为单位阵 IA 0 I 3 设多项式函数 为方阵 矩阵的 kk kk aaaa 1 1 10 AA 多项式 其中为单位阵 IaAaAaAaA kk kk 1 1 10 I 4 阶矩阵和 则 nABBAAB 5 阶矩阵 则nAAA n 4 分块矩阵及其运算 5 逆矩阵 可逆矩阵 若矩阵可逆 则其逆矩阵是唯一的 矩阵的伴随矩阵记AA 为 A EAAAAA 矩阵可逆的充要条件 逆矩阵的性质 6 矩阵的初等变换 初等变换与初等矩阵 初等变换和初等矩阵的关系 矩阵在等价 意义下的标准形 矩阵可逆的又一充分必要条件 可以表示成一些初等矩阵的乘积 AA 用初等变换求逆矩阵 7 矩阵的秩 矩阵的阶子式 矩阵秩的概念 用初等变换求矩阵的秩k 8 矩阵的等价 二 要求 1 理解矩阵的概念 矩阵的元素 矩阵的相等 矩阵的记号等 2 了解几种特殊的矩阵及其性质 3 掌握矩阵的乘法 数与矩阵的乘法 矩阵的加减法 矩阵的转置等运算及性质 4 理解和掌握逆矩阵的概念 矩阵可逆的充分条件 伴随矩阵和逆矩阵的关系 当 可逆时 会用伴随矩阵求逆矩阵A 5 了解分块矩阵及其运算的方法 1 在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下 其分块矩阵的运算在形式上与 不分块矩阵的运算是一致的 2 特殊分法的分块矩阵的乘法 例如 将矩阵分块为 nm A ln B B 线性代数知识点总结 姜翠萍 3 其中 是矩阵的第列 21l bbbB j blj 2 1 Bj 则 AB 21l bbbA 21l AbAbAb 又如将阶矩阵分块为 其中 是矩阵nP 21n pppP j pnj 2 1 的第列 Pj n P 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 21n ppp n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2211nnp pp 3 设对角分块矩阵 均为方阵 SS A A A A 22 11 2 1 sPAPP 可逆的充要条件是均可逆 且A PP AsP 2 1 1 1 22 1 11 1 ss A A A A 6 理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论 掌握矩阵的初等变换 化矩 阵为行最简形 会用初等变换求矩阵的秩 求逆矩阵 7 理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论 8 若矩阵经过有限次初等变换得到矩阵 则称矩阵和矩阵等价 记为ABAB BA 矩阵和等价当且仅当 在等价意义下的标准型 若 nm AB BrAr rAr 则 为阶单位矩阵 r DA 0 0 0 r r I D r Ir 因此阶矩阵可逆的充要条件为 nA n IA 第三章第三章 线性方程组线性方程组 一 要点 线性代数知识点总结 姜翠萍 4 1 n 维向量 向量的线性运算及其有关运算律 记所有维向量的集合为 中定义了维向量的线性运算 则称为 维n n R n Rn n Rn 向量空间 2 向量间的线性关系 1 线性组合与线性表示 线性表示的判定 2 线性相关与线性无关 向量组的线性相关与无关的判定 3 向量组的等价 向量组的秩 向量组的极大无关组及其求法 向量组的秩及其求法 1 设有两个向量组 1 2 s A 1 2 t B 向量组和可以相互表示 称向量组和等价 向量组的等价具有 A B A B 传递性 2 一个向量组的极大无关组不是惟一的 但其所含向量的个数相同 那么这个相 同的个数定义为向量组的秩 4 矩阵的秩与向量组的秩的关系 5 线性方程组的求解 1 线性方程组的消元解法 2 线性方程组解的存在性和唯一性的判定 3 线性方程组解的结构 4 齐次线性方程的基础解系与全部解的求法 5 非齐次方程组解的求法 二 要求 1 理解 n 维向量的概念 掌握向量的线性运算及有关的运算律 2 掌握向量的线性组合 线性表示 线性相关 线性无关等概念 3 掌握线性表示 线性相关 线性无关的有关定理 4 理解并掌握向量组的等价极大无关组 向量组的秩等概念 及极大无关组 向量 组秩的求法 5 掌握线性方程组的矩阵形式 向量形式的表示方法 6 会用消元法解线性方程组 7 理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法 8 理解并掌握齐次方程组的基础解系 全部解的概念及其求法 9 理解非齐次方程组与其导出组解的关系 掌握非齐次方程组的求解方法 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 一 要点 线性代数知识点总结 姜翠萍 5 1 矩阵的特征值与特征向量的定义 特征方程 特征值与特征向量的求法与性质 2 相似矩阵的定义 性质 矩阵可对角化的条件 3 实对称矩阵的特征值和特征向量 向量内积的定义及其性质 正交向量组 施密特正交化方法 正交矩阵 实对称矩阵 的特征值与特征向量的性质 实对称矩阵的对角化 二 要求 1 理解矩阵的特征值 特征向量的概念及有关性质 2 掌握特征值与特征向量的求法 3 理解并掌握相似矩阵的概念与性质 4 掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法 5 会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵 第五章第五章 二次型二次型 一 要点 1 二次型与对称矩阵 二次型的定义 二次型与对称矩阵的对应关系 2 二次型与对称矩阵的标准形 配方法 初等变换法 正交变换法 合同矩阵 二次型及对称矩阵的