20100901正学中学2010级高一初高中数学衔接教材2.doc

正学中学高一初高中数学衔接教材第一部分 数与式的运算第一节 绝对值1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离例、解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可变为，即4，解得x0， 又x1，x0；若，不等式可变为，即14，不存在满足条件的x；若，不等式可变为，即4， 解得x4 又x3， x4综上所述，原不等式的解为x0，或x4解法二：如图111，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的几何意义即为：|PA|PB|4由|AB|2可知：点P 在点C (坐标为0) 的左侧、或点P在点D (坐标为4) 的右侧故x0，或x4练 习1填空题：（1）若，则x=_；若，则x=_.（2）如果，且，则b_；若，则c_.2选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则3化简：|x5|2x13|（x5）第二节 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ；（5）两数差立方公式 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例1、计算：解法一：原式=解法二：原式=例2、已知，求的值解： 例3、已知，求的值解： 原式= .说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意整体代换法本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举例4、已知，求 的值解：原式= ， 把代入得原式=说明：注意字母的整体代换技巧的应用练 习1填空题： （1）（ ）； （2） ； (3 ) 2选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数（3）若，则的值为 ( ) （A） （B） （C） （D）3. 计算：（1） （2）（3） （4）4已知，求代数式的值第三节 二次根式一般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，等是有理式1二次根式的性质：（1） （2）.（3） （4）说明：请注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论2分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与， 等等一般地，与，与，与互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程.在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式3. 最简根式：如果一个根式符合下列三个条件：1）被开方数的指数和根指数是互质数； 2）被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； 3）被开方数不含分母. 那么，这个根式叫做最简根式. 例1、将下列式子化为最简二次根式：（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）； （2）原式=； （3）；(4) 原式= .例2、计算：解法一：解法二：例3、试比较下列各组数的大小：（1）和； （2）和.解：（1）， ，又， （2） 又 42， 42， .例4、化简：解： 例5、化简：（1）； （2）解：（1）原式 （2）原式=， ， 所以，原式例6、已知，求的值 解：，说明：二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；分母中有根式(如)或被开方数有分母(如)这时可将其化为形式(如可化为) ，转化为 “分母中有根式”的情况化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简(如化为，其中与叫做互为有理化因式)例7、设，求的值解：原式=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量练 习1填空题：（1） ；（2）若，则的取值范围是 ；（3） ；（4）若，则 2选择题：等式成立的条件是 （ ）（A） （B） （C） （D）3若，求的值4比较大小：2 （填“”，或“”）5. 化简或计算：(1) ； (2) ；(3) ； （4）.6设，求代数式的值7设，求的值第四节 分式1分式的意义：形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式当M0时，分式具有下列性质：； 上述性质被称为分式的基本性质2繁分式：像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1、化简 .解法一：原式=解法二：原式=例2、若，求常数的值解： ， 解得 例3、（1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：； （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有（1）证明： （其中n是正整数）成立（2）解：由（1）可知 （3）证明：， 又n 2，且n是正整数， 一定为正数， 例4、设，且e1，2c25ac2a20，求e的值解：在2c25ac2a20两边同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1，舍去， 或e2 e23. 多项式除以多项式：做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特别注意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=除式商式+余式 .例5、计算解：，即.练 习1填空题：对任意的正整数n， ()；2选择题：若，则 （ ）（A） （B） （C） （D）3正数满足，求的值4计算习 题 一A 组1解不等式： (1) ； (2) ； (3) 已知，求的值3填空题：（1）_；（2）若，则的取值范围是_；（3）_B 组1填空题： （1），则 .（2）若，则 .2已知：，求的值C 组1选择题：（1）若，则 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）计算等于 （ ）（A） （B） （C） （D）2解方程3已知. 求：.4计算：5试证：对任意的正整数n，有第二部分 分解因式1因式分解的意义：把一个多项化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解是一种恒等变形.这一概念的特点是：1）多项式因式分解的结果一定是积的形式；2）每个因式必须是整式（单项式或多项式）；3）各因式要分解到不能再分为止.2因式分解与整式乘法的区别和联系：整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，而因分解是把一个多项式化为几个整式相乘，也就是说，因式分解是整式乘法的逆变形.3因式分解的一般步骤：把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行. （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法（如十字相乘法）来分解； （4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止（本部分在实数范围内研究因式分解）.4. 因式分解的主要方法：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解配方法、求根法及待定系数法等因式分解中常常需要整体代换.第一节 提取公因式法、公式法与分组分解法1. 公式法：依据式子结构特点逆用乘法公式进行恒等变形的方法.例1、分解因式： (1) (2) .分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是或解：(1) (2) 2. 分组分解法：把多项式分成若干个组来分解因式的方法叫做分组分解法. 分组分解法的关键在于如何分组，分组的目的主要是：1）分组后能提取公因式；2）分组后能直接运用公式. 分组过程中有时需先恰当的拆项和添项达到分组目的.例2、把分解因式分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可继续提取公因式解：说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学们不妨一试例3、把分解因式分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解解：说明：由例2、例3可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用例4、分解因式：（1）； （2）解：（1）=另解： （2）.练 习分解下列因式：（1）x464x ； （2）（x24）216x2； （3）x5x3x21；（4）； （4）a45a2b24b4； （5）a22abb22ac2bcc2 . 第二节 十字相乘法十字相乘法：二次三项式ax2+bx+c（a0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c = c1c2，把a1，a2 ，c1，c2排列如右图，按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2x + a2c1x=bx .即它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项bx，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.注意：适用情形是二次三项式或可化为二次三项式的代数式.例1、分解因式：（1）x23x2； （2）x24x12；（3）； （4）1211图122aybyxx图1242611图12312xx图121解：（1）如图121，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)11xy图125说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图121中的两个x用1来表示（如图122所示）（2）由图123，得x24x12(x2)(x6)（3）由图124，得（4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如图125所示）例2、分解因式：解：（1）=另解：= =说明：该题进行因式分解的关键是将代数式整理为关于x的二次三项式（先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列），再十字相乘法分解.同样若先整理为关于y的二次三项式，也可十字相乘法分解.练 习分解下列因式：（1）x214x40； （2）x415x226； （3）（xy）2（xy）2； （4）； （5）x2y2xy62xy； （6）.第三节 其它因式分解的方法1. 求根公式法：若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.注意：适合关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解，是十字相乘法的一种补充.例1、把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）； （2）解：（1）令=0，则解得，=（2）令=0，则解得，=思考：1）二次三项式在实数范围内一定能够分解因式吗？你能够快速判断吗？你又能够快速判断二次三项式是完全平方式吗？ 2）若一个方程有实根，则该方程整理为等号的一端为0，那么另一端分解因式，一定有一个什么因式？2配方法：将二次三项式配成两个完全平方式的差，再利用平方差公式分解因式的方法叫做配方法.配方后将二次三项式化为两个平方式的差，然后用平方差公式分解配方法同样适合二次三项式的因式分解，是求根公式法分解因式的具体化.例2、分解因式.解：.思考：本题还有其它方法，请大家试验若将二次三项式配方后化成了两个平方式的和，说明该二次三项式能够分解因式吗？3拆、添项法：根据需要通过恰当的添项或拆项，把多项式分成若干部分，再分组进行因式分解的方法.例3、分解因式分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决解： 说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件本题还可以将拆成，将多项式分成两组和另外，也可先试验x = -1是=0的根，从而通过条拆项凑公因式x+1进行分解因式.4待定系数法：首先判断出分解因式的结果形式，然后设出相应的字母系数（待定系数）表示因式分解的结果，依据等式恒等求出字母系数，从而完成因式分解.例4、分解因式.分析：易知这个多项式应该分解为两个一次因式，因而设，再依据等式成立确定p、q的值，代入化简.解：设，因为成立，所以，则.练 习1选择题：（1）多项式的一个因式为 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）已知多项式分解因式为，则的值为（ ）（A）（B） （C） （D）2分解因式： （1）x26x8； （2）x22x1； (3) x43x2y24y4 ；（4）； （5）； (6) x44 .习 题 二A 组1选择题：（1）在下列各式中： a-b= b-a； (a-b)2= (b-a)2； (a -b)2= - (b-a)2； (a-b)3= (b -a)3 ； (a-b)3= -(b-a)3； (a+b)(a-b) = (-a+b)(-a-b). 正确的等式有 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 （2）把多项式分解因式等于 （ ）（A） （B）（C）m(a2)(m1) （D）m(a2)(m1) （3）化简(-2)1999+(-2)2000的结果是 （ ）（A）21999 （B）-2 （C）-21999 （D）-12分解因式：（1）； （2）； （3）.3计算下列各式：(1) 7.6200.1 4.3200.11.9200.1； (2) 10115109 .4先化简，再求值. (1) 已知, xy=2, 求2x4y 3x3y4的值；(2) 已知4x2 + 7x + 2 = 4,求12x221x的值. 5在实数范围内因式分解：（1） ； （2）； （3）；（4）；（5）；（6）B 组1. 填空题：（1）已知a26a+9与|b1|互为相反数，计算a3b3+2a2b2+ab的结果是_；(2) （ ）；(3) 已知，则的值是 ；(4) 若是一个完全平方式，则的关系是 .2不解方程组，求的值.3三边，满足，试判定的形状4若二次多项式能被x1整除，试求k的值.5分解因式：（1）x2x(a2a)；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）1+x + x(x+1) + x(x+1)2 + + x(x+1)n (n为正整数) .第三部分 解方程和一元二次方程的根与系数的关系1等式：用等号表示相等关系的式子.2含有未知数的等式叫方程；能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解（在一元方程中也可叫做方程的根）；求得方程的解或确定方程无解的过程叫做解方程.3如果两个方程的解相同，即两个方程中，第一个方程的解就是第二个方程的解，第二个方程的解也是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程.4方程同解原理有两条：（方程同解原理是解方程的根据）（1）方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程；（2）方程两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得的方程与原方程是同解方程.初中数学学中基本的方程类型有：一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程这三种类型. 而简单无理数方程、高次方程、分式方程、二元二次方程组都要转化为前三种类型的方程. 因此，解方程的基本思想是通过“平方”或“换元”或“因式分解”或“消元”等转化办法，把新方程化归为已经会解的方程求解. 第一节 整式方程的解一、一元一次方程1.解一元一次方程的一般步骤是：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将未知数的系数化为“1”.2.一元一次方程ax=b的解的情况：（1）当a0时，ax=b有唯一的解；（2）当a=0，b0时，ax=b无解；（3）当a=0，b=0时，ax=b有无穷多个解.二、一元二次方程1. 一元二次方程解的判断方法和求根公式：一元二次方程ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为 . 因为a0，所以，4a20于是：（1）当b24ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根： x1，2；（2）当b24ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两相等实数根：x1x2；（3）当b24ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的情况可以由“b24ac”来判定. 我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述：对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有：1）当0时，方程有两个不相等的实数根x1，2；2）当0时，方程有两个相等的实数根x1x2；3）当0时，方程没有实数根. 一元二次方程的求根公式.2. 解一元二次方程的基本思路：将一元二次方程向一元一次方程转化（高次化低次），转化的方法主要为1）开平方法；2）使方程一边为0把另一边分解因式的方法. 小结如下：注意：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握.配方时可以按下述方法进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同加一次项系数一半的平方.把方程一边化为0，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程.因为这是把方程降次的重要手段之一.3. 解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法. 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般 形式，同时应使二次项系数化为正数；直接开平方法是最基本的方法；公式法和配方法是最重要的方法，公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解；配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程，但配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好.（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）.例1、方程（a2-2a-3）x2-(a-3) x+a = 0是关于x的一元一次方程，求a的值. 解： 原方程是x的一元一次方程， a2-2a -3= 0且a -3 0， 解得a = -1（a =3舍去）. 例2、选用恰当的方法解下列方程：(1) (3x-2)2 = (x+4)2 ； (2) 2x2 - 4x -1 = 0；(3) (x+1)(6x-5)=10； (4) ； （5）3y(y+2)=2(y+2) -5 .解：（1）用开平方法，得3x-2 =x+4或3x-2= - (x+4)，x1=3，.注意：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但是如果不化为一般式就可以找到简便解法时也可以直接求解. 方程两边同时开方时，只需在一边取正负号. （2）用公式法，得.也可以配方得求解.注意：公式法可以用于解任何一元二次方程，应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，结果要进行化简。但是公式法作为一般方法，有时不是最简单的. （3）用分解因式法，把（x+1）(6x-5)=10整理得6x2+x-15=0，即 (2x-3)(3x+5) = 0，.注意：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能达到降次的目的. 解摸底检测题3应该使用分解因式法，整理后提公因式x或直接移项后提出x，都可以正确求解，但是不可以在方程两边同除以未知数x，那样会丢掉一个解0.（4）可以选用公式法或分解因式法，解答由同学们完成.（）.注意：应该学会在实数范围内分解因式，分解的结果可以带有无理数.本题就可以分解为. 解一元二次方程时，应该首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法. （5）原方程化为3(y+2) -2(y+2)=2(y+2) -5，将y +2看作一个整体，然后设y+2x ， 那么原方程可化为3(x-2)x2x -5，解得x11，x2 当x1时，y +2 =1， y = -1； 当x时，y +2 =， y = - .故原方程的解为y1= -1，y2 = -注意：这种“将y +2看作一个整体，然后设y+2x ” 的处理问题方法叫换元法，是一种基本的数学方法.说明：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它得到一个新问题，从而使原问题简化，通过新问题的解再还原为原问题的解，这种解决问题的办法叫换元法. 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理，实现“化不会为会”.换元法又称辅助元素法、变量代换法. 通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来. 或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化. 例如：在解方程中化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等. 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.在初中解方程中主要是局部换元，又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.例3、判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3）x2ax(a1)0；（4）x22xa0解：（1）3241330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根， （3）由于该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当a2时，0，所以方程有两个相等的实数根x1x21； 当a 2时，0，所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a1（4）由于该方程的根的判别式为2241a44a4(1a)，所以，当0即4(1a) 0，即a1时，方程有两不等实根，； 当0，即a1时，方程有两个相等的实数根x1x21； 当0，即a1时，方程没有实数根说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题请同学们试试：解关于x的方程 .三、简单高次方程高次方程的解法思路：高次方程通过因式分解或者换元转化成一元一次或一元二次方程（高次化低次）. 转化的主要方法：1）换元法；2）使方程一边为0，另一边分解因式的方法. 1.直接开方的方法：适用于方程整理可化为形如的方程的解. 注意n为奇数或偶数的开方后正负号的选择.2.因式分解的方法：把方程的一端通过移项变为0，然后把不是0这一边的关于未知数的多项式进行因式分解它们总能分成一次二项式或二次三项式的乘积，根据几个因式的积是0，得每个因式是零，这样化成一元一次方程或一元二次方程来解这种方法主要是降次的方法对于一些高次方程用这种方法来解是能够奏效的3.换元法解分式方程方法：把方程中含未知数的某个式子看成一个整体，而用一个字母来代替它，方程转化为关于这个字母为新未知数的新方程（新方程中不再含原未知数的字母），从而得到新方程的解再还原为原方程的解.例4、解方程：（1）x3 8 = 0；（2）(x21)25(x21)40；（3）.解：（1）原方程左边分解因式，得(x-2)(x2+2x+4)=0，所以x-2=0 或x2+2x+4=0. 由x-2=0，得x=2；而x2+2x+4=0，因为 0，所以没有实数根.所以x=2是原方程的根另解：由x3 8 = 0得x3 = 8 ，所以，即x=2是原方程的根注意：上面的解法中分别采用了因式分解法与直接开方法. 在直接开方法中要正确区分“方根和算术根”、“奇次方根和偶次方根”. 请同学们试一试，解方程.（2）我们可以将x21看作一个整体，然后设x21y ， 那么原方程可化为y25y40，解得y11，y24 当y1时，x211， x22， x；当y4时，x214， x25， x.故原方程的解为x1，x2，x3，x4（3）由，所以，原方程的解为.四、二元二次方程组化归是解方程组的基本思想，降次与消元是化归的主要途径，开方、因式分解、换元是降次的常用方法，代人法、加减法是消元的两种主要手段二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决. 同样，二元二次方程组也是通过降次（开方和换元与因式分解等方法降次）、消元（代入消元和加减消元）转化为一元一次方程或一元二次方程来解决.例5、解方程组：（1）； （2）；（3）； （4） .解：（1）分析：原方程组2得，分别带入原方程组的任何一个方程解得x，组合得原方程组的解.（2）由，因此，原方程组可化为两个方程组或，解这两个方程组，得原方程组的解为：. (3)分析：这个方程组的两个方程都不含有未知数的一次项，消去常数项后(4得x2-5xy4y20)就可以得到形如ax2bxycy20的方程，解由这个方程与原方程组的任何一个方程组成的方程组，就可以得到形如（2）的方程组，请同学们完成该方程组的解解是：（4）分析：由，换元法求解，令，得，求该方程组的解，再还原为原方程组的解. 以下由同学们完成.例6、已知方程组有两个不相等的实数解，求的取值范围.分析：由代入得到关于的一元二次方程，当0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解.解：由代入并整理得：, ， 即, 当1且0时，原方程组有两个不相等的实数解.说明：一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，若消去一个未知数，则转化为一元二次方程，此时的值将决定原方程组解的情况. 即：0方程组有两个解； =0方程组有一个解；0方程组无实解. 练 习：1选择题：（1）方程的根的情况是 （ ）（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于x的方程mx2 (2m1)xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ） （A）m （B）m （C）m，且m0 （D）m，且m0 2. 填空题：（1）关于的方程是一元二次方程，则=_.（2）方程的解的情况是：当时_；当时_；当时_.（3）方程组有唯一解，则的值是_.3. 用恰当的方法解下列关于x的一元二次方程：（1）(3x+2)(3x-2)=4； （2）3x2- 4x-4=0 ；（3）； （4）x2+5x+k2=2kx+5k-6. 4. 已知（x2+y2）（x2+y2+1）=20，求x2+y2的值.5. 解方程：（1）；（2）x4x260；（3）；（4）.6. 解下列方程组：（1） ；（2） ； (3) .第二节 分式方程和无理方程的解我们把一元一（二）次方程和简单的高次方程统称为整式方程；整式方程和分式方程（分母含有未知数的方程）统称为有理方程；根号下含有未知数的方程叫做无理方程.1.分式方程的解法：一般是通过去分母，将分式方程转化为一个整式方程，然后解这个整式方程. 强调：1）分式方程比较复杂时，常常可以开方或因式分解或换元等办法先化简，再求解；2）检验是解分式方程必不可少的步骤2.无理方程的解法：无理方程通过两边平方或换元转化成整式或分式方程强调：检验是解无理方程必不可少的步骤思考：分式方程和无理方程的解为什么需要验根？例1、解方程：（1）；（2）；（3）； （4）.解：（1）方程两边同乘以公分母（x3）（x3），得4（x3）x（x3）=x292x， 整理得. 检验知：原是方程的解. （2）分析：该题直接去分母，运算量较大，注意方程特点，若拆项就方便了. 由原方程得， 解得. 检验知：原是方程的解. （3）由，所以或，解得.检验知：都是原是方程的解.（4）换元法求解，请同学们完成.（答案：）.例2、解方程（1）；（2）；（3）.解：（1）移项把被开方数中含有未知数的根式放在方程的一边，其余各项移到另一边.得，两边平方，得x 2+5x+1 = 4x2 4x +1，即3x2 9x =0 . 因此，x1 = 0, x2 = 3. 检验知：x1 = 0, x2 = 3原是方程的解. （2）由， 整理得，以下的解，请同学们完成. 注意：多个根号的方程组的解，在移项整理中，要保证等号一边仅有一个根号的这个项，平方去根号，不断重复，直到把根号去完为止.（3）由，以下换元法求解，令，请同学们完成.综上所述：转化与化归是解方程(组)的基本思想，通过恰当的转化，化归目的明确，复杂的方程(组)就会变为我们熟悉的、简单的方程(组)a) 解题思路：高次低次化，分式整式化，无理式有理化，多元一元化.b) 常用方法：降次法（直接开平方、因式分解），平方法，换元法、消元（加减、代入）.c) 最终形式：化为一元一次或一元二次方程.练 习：解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）； （5）； （6）.第三节 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个实数根，则有； 1.一元二次方程的根与系数的关系：如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2. 这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1x2p，x1x2q，即p(x1x2)，qx1x2 . 所以，方程x2pxq0可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，那么，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此，以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2(x1x2)xx1x202当ax2+bx+c=0 (a0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求理解，学会用公式 及=b24ac 分析，不要求背记)（1）两根互为相反数 = 0且 0 b = 0且 0；（2）两根互为倒数 =1且 0 a = c且 0；（3）两根异号 0 a、c异号；3几个常见转化：或.例1、已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值解法一：2是方程的一个根，522k260，k7所以，方程就为5x27x60，解得x12，x2那么，方程的另一个根为，k的值为7解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1，x1由 （）2，得 k7所以，方程的另一个根为，k的值为7例2、已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 依据题意x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或m17当m1时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17时，方程为x230x2930，302412930，不合题意，舍去综上，m17说明：在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可说明在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例3、已知两个数的和为4，积为12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程组求解出这两个数也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是x，y，依据题意，则， 下面解这个方程组.由，得y4x， 代入，得x(4x)12，即 x24x120，x12，x26 或 因此，这两个数是2和6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x24x120的两个根 解这个方程，得x12，x26所以，这两个数是2和6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷由此给我们提供了这种类型方程组的一种新解法，同学们解方程组.例4、若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值；（2）求的值；（3）x13x23解： x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根， ，（1）|x1x2|2x12+x222x1x2(x1x2)24x1x26， | x1x2|（2）（3）x13x23 (x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()说明：一元二