高考数学一轮复习（例题解析） 3.1 指数函数

用心 爱心 专心 1 高中数学一轮复习资料高中数学一轮复习资料 第三章第三章 指数函数和对数函数指数函数和对数函数 第一节第一节 指数函数指数函数 A 组组 1 2010 年黑龙江哈尔滨模拟 若 a 1 b1 b 0 0 ab1 又 ab a b 2 a2b a 2b 2 8 a2b a 2b 6 ab a b 2 a2b a 2b 2 4 ab a b 2 答案 2 2 已知 f x ax b 的图象如图所示 则 f 3 解析 由图 象知 f 0 1 b 2 b 3 又 f 2 a2 3 0 a 则 f 3 3 3 3 3 333 答案 3 3 3 3 函数 y 2x x2的值域是 1 2 解析 2x x2 x 1 2 1 1 2x x2 答案 1 2 1 2 1 2 4 2009 年高考山东卷 若函数 f x ax x a a 0 且 a 1 有两个零点 则实数 a 的取值范 围是 解析 函数 f x 的零点的个数就是函数 y ax与函数 y x a 交点的个数 由函数的图象 可知 a 1 时两函数图象有两个交点 0 a1 答案 1 5 原创题 若函数 f x ax 1 a 0 a 1 的定义域和值域都是 0 2 则实数 a 等于 解析 由题意知Error 无解或Error a 答案 33 6 已知定义域为 R 的函数 f x 是奇函数 1 求 a b 的值 2x b 2x 1 a 2 若对任意的 t R 不等式 f t2 2t f 2t2 k 0 恒成立 求 k 的取值范围 解 1 因为 f x 是 R 上的奇函数 所以 f 0 0 即 0 解得 b 1 1 b 2 a 用心 爱心 专心 2 从而有 f x 又由 f 1 f 1 知 解得 a 2 2x 1 2x 1 a 2 1 4 a 1 2 1 1 a 2 法一 由 1 知 f x 2x 1 2x 1 2 1 2 1 2x 1 由上式易知 f x 在 R 上为减函数 又因 f x 是奇函数 从而不等式 f t2 2t f 2t2 k 0 f t2 2t 2t2 k 即对一切 t R 有 3t2 2t k 0 从而 4 12k 0 解得 k 1 3 法二 由 1 知 f x 又由题设条件得 0 2x 1 2x 1 2 2t2 2t 1 2t2 2t 1 2 22t2 k 1 22t2 k 1 2 即 22t2 k 1 2 2t2 2t 1 2t2 2t 1 2 22t2 k 1 1 因底数 2 1 故 3t2 2t k 0 上式对一切 t R 均成立 从而判别式 4 12k 0 解得 k0 且 a 1 的图象经过第一 二 四象限 不经过第三象限 那么一定有 0 a0 0 a 1 且 0 b1 且 b1 且 b 0 解析 当 0 a 1 时 把指数函数 f x ax的图象向下平移 观察可知 1 b 1 0 即 0 b 1 答案 2 2010 年保定模拟 若 f x x2 2ax 与 g x a 1 1 x在区间 1 2 上都是减函数 则 a 的 取值范围是 解析 f x x2 2ax x a 2 a2 所以 f x 在 a 上为减函数 又 f x g x 都 在 1 2 上为减函数 所以需Error 00 a 1 g x 0 若 则 a 等于 f 1 g 1 f 1 g 1 5 2 解析 由 f x ax g x 得 ax 所以 a a 1 解得 a 2 或 答案 f x g x f 1 g 1 f 1 g 1 5 2 5 2 1 2 2 或 1 2 4 2010 年北京朝阳模拟 已知函数 f x ax a 0 且 a 1 其反函数为 f 1 x 若 f 2 9 则 f 1 f 1 的值是 1 3 解析 因为 f 2 a2 9 且 a 0 a 3 则 f x 3x x 1 1 3 故 f 1 1 又 f 1 3 所以 f 1 f 1 2 答案 2 1 3 1 3 5 2010 年山东青岛质检 已知 f x x 若 f x 的图象关于直线 x 1 对称的图象对应的函 1 3 数为 g x 则 g x 的表达式为 解析 设 y g x 上任意一点 P x y P x y 关于 x 1 的对称点 P 2 x y 在 f x x上 y 2 x 3x 2 答案 y 3x 2 x R 1 3 1 3 用心 爱心 专心 3 6 2009 年高考山东卷改编 函数 y 的图象大致为 ex e x ex e x 解析 f x f x f x 为奇函数 排除 e x ex e x ex ex e x ex e x 又 y 1 在 0 0 上都是减函数 ex e x ex e x e2x 1 e2x 1 e2x 1 2 e2x 1 2 e2x 1 排除 答案 7 2009 年高考辽宁卷改编 已知函数 f x 满足 当 x 4 时 f x x 当 x 4 时 f x 1 2 f x 1 则 f 2 log23 解析 2 3 4 22 1 log23 2 3 2 log230 且 a 1 在区间 1 1 上的最大 值为 14 求实数 a 的值 解 f x a2x 2ax 1 ax 1 2 2 x 1 1 1 当 0 a1 时 ax a 当 ax a 时 f x 取得最大值 1 a a 1 2 2 14 a 3 综上可知 实数 a 的值为 或 3 1 3 11 已知函数 f x 1 求证 f x 的图象关于点 M a 1 对称 2 2x a 1 2 若 f x 2x在 x a 上恒成立 求实数 a 的取值范围 解 1 证明 设 f x 的图象 C 上任一点为 P x y 则 y 2 2x a 1 P x y 关于点 M a 1 的对称点为 P 2a x 2 y 2 y 2 2 2x a 1 2 2x a 2x a 1 2 1 2 x a 2 2 2a x a 1 说明点 P 2a x 2 y 也在函数 y 的图象上 由点 P 的任意性知 f x 的 2 2x a 1 图象关于点 M a 1 对称 2 由 f x 2x得 2x 则 2x 化为 2x a 2x 2x 2 0 则有 2x 2 2x a 1 2 2x a 1 2 2a 2x 2 2a 0 在 x a 上恒成立 令 g t t2 2a t 2 2a 则有 g t 0 在 t 2a上恒成 立 g t 的对称轴在 t 0 的左侧 g t 在 t 2a上为增函数 g 2a 0 2a 2 2a 2 2 2a 0 2a 2a 1 0 则 a 0 即实数 a 的取值范围为 a 0 12 2008 年高考江苏 若 f1 x 3 x p1 f2 x 2 3 x p2 x R p1 p2为常数 且 f x Error 1 求 f x f1 x 对所有实数 x 成立的充要条件 用 p1 p2表示 2 设 a b 是 两个实数 满足 ap2时 g x Error 所以 g x max p1 p2 故只需 p1 p2 log32 当 p1 p2时 g x Error 所以 g x max p2 p1 故只需 p2 p1 log32 综上所述 f x f1 x 对所有实数 x 成立的充要条件是 p1 p2 log32 2 证明 分两种情形讨论 当 p1 p2 log32 时 由 1 知 f x f1 x 对所有实数 x a b 则由 f a f b 及 a p1log32 时 不妨设 p1log32 于是 当 x p1时 有 f1 x 3p1 x 3p2 x3log32 3x p2 f2 x 从而 f x f2 x 当 p1 x p2时 f1 x 3x p1及 f2 x 2 3p2 x 由方程 3x0 p1 2 3p2 x0 解得 f1 x 与 f2 x 图象交点的横坐标为 x0 log32 p1 p2 2 1 2 显然 p1 x0 p2 p2 p1 log32 p2 这表明 x0在 p1与 p2之间 1 2 由 易知 f x Error 综上可知 在区间 a b 上 f x Error 故由函数 f1 x 与 f2 x