2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷含答案）

20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 全国卷 含答案 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 全国卷 含答案 本试卷分第本试卷分第 卷卷 选择题选择题 和第和第 卷卷 非选择题非选择题 两部分 第两部分 第 卷卷 1 1 至至 2 2 页 第页 第 卷卷 3 3 至至 4 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 注意事项 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考 证号填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 第 卷共 l2 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 一 选择题 1 复数 为的共轭复数 则 1zi zz 1zzz A A B B C C D D 2i i i2i 答案 B 2 函数的反函数为2 0 yx x A A B B 2 4 x yxR 2 0 4 x yx C C D D 2 4yx xR 2 4 0 yxx 答案 B 3 下面四个条件中 使成立的充分而不必要的条件是ab A A B B C C D D 1ab 1ab 22 ab 33 ab 答案 A 4 设为等差数列的前项和 若 公差 则 n S n an 1 1a 2d 2 24 kk SS k A A 8 B B 7 C C 6 D D 5 答案 D 5 设函数 将的图像向右平移个单位长度后 所得的图 cos 0 f xx yf x 3 像与原图像重合 则的最小值等于 A A B B C C D D 1 3 369 答案 C C l A B D E A B C D 6 已知直二面角 点 为垂足 为垂l A ACl CB BDl D 足 若 则到平面的距离等于2 1ABACBD DABC A A B B C C D D 1 1 2 3 3 3 6 3 答案 C 7 某同学有同样的画册 2 本 同样的集邮册 3 本 从中取出 4 本赠 送给 4 位朋友每位朋友 1 本 则不同的赠送方法共有 A A 4 种 B B 10 种 C C 18 种 D D 20 种 答案 B 8 曲线在点 0 2 处的切线与直线和围成的三角形的面积为 2 1 x ye 0y yx A A B B C C D 1 D 1 1 3 1 2 2 3 答案 A 9 设是周期为 2 的奇函数 当时 则 f x01x f x 2 1 xx 5 2 f A A B B C C D D 1 2 1 4 1 4 1 2 答案 A 10 已知抛物线 C 的焦点为 直线与交于 两点 则 2 4yx F24yx CAB cosAFB A A B B C C D D 4 5 3 5 3 5 4 5 答案 D 11 已知平面 截一球面得圆 过圆心且与 成二面角的平面 截该球面得MM 0 60 圆 若该球面的半径为 4 圆的面积为 4 则圆的面积为NM N A A 7 B B 9 C C 11 D D 13 答案 D 12 设向量 满足 则的最大a r b r c r 1ab rr 1 2 a b r r g 60ac bc rr rr c r 值等于 A A 2 B B c c D D 132 答案 A 绝密 启用前 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 必修必修 选修选修 II II 第第 卷卷 注意事项 注意事项 1 答题前 考生先在答题卡上用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考证号填写 清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码卜的准考证号 姓名和科目 2 第 卷共 2 页 请用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答 在试题卷上作答无效 3 第 卷共 l0 小题 共 90 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 注意 在试注意 在试 卷上作答无效卷上作答无效 13 的二项展开式中 的系数与的系数之差为 20 1 x x 9 x 答案 0 14 已知 则 2 5 sin 5 tan2 答案 4 3 15 已知 分别为双曲线 的左 右焦点 点 点的坐标为 1 F 2 FC 22 1 927 xy AC M 2 0 为的平分线 则 AM 12 F AF 2 AF 答案 6 16 己知点 分别在正方体的棱 上 且EF 1111 ABCDABC D 1 BB 1 CC 则面与面所成的二面角的正切值等于 11 2 2B EEB CFFC AEFABC 答案 2 3 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 17 本小题满分本小题满分 l0l0 分分 注意 在试题卷上作答无效注意 在试题卷上作答无效 的内角 的对边分别为 已知 求 ABCVABCabc90AC C 命题意图 本题主要考查正弦定理 三角形内角和定理 诱导公式 辅助角公式 考查考 生对基础知识 基本技能的掌握情况 18 18 本小题满分本小题满分 l2l2 分分 注意 在试题卷上作答无效注意 在试题卷上作答无效 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率为 0 5 购买乙种保险但不购买甲种 保险的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 I 求该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 l 种的概率 表示该地的 l00 位车主中 甲 乙两种保险都不购买的车主数 求的期望 XX 命题意图 本题主要考查独立事件的概率 对立事件的概率 互斥事件的概率及二项分布 的数学期望 考查考生分析问题 解决问题的能力 19 19 本小题满分本小题满分 l2l2 分分 注意 在试题卷上作答无效注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥中 侧面为等边三角形 SABCD ABCDBCCD SAB 2 1ABBCCDSD 证明 平面 SD SAB 求与平面所成角的大小 ABSBC 命题意图 以四棱锥为载体考查线面垂 直证明和线面角的计算 注重与平面几何 的综合 解法一 取中点 连结 ABEDE 则四边形为矩形 BCDE 连结 则 2DECB SESEAB 3SE 又 故 所以为直1SD 222 EDSESD DSE 角 3 分 由 得ABDE ABSE DESEE I 平面 所以 AB SDEABSD 与两条相交直线 都垂直 SDABSE 所以平面 6 分SD SAB 另解 由已知易求得 于是 可知 同理1 5 2SDADSA 2 22 SASDAD SDSA 可得 又 所以平面 6 分SDSB SASBS ISD SAB 由平面知 平面平面 AB SDEABCD SDE 作 垂足为 则平面 ABCD SFDE FSF 3 2 SDSE SF DE 作 垂足为 则 FGBC G1FGDC 连结 则 SGSGBC 又 故平面 平面平面 9 分 BCFG SGFGG IBC SFGSBC SFG 作 为垂足 则平面 FHSG HFH SBC 即到平面的距离为 3 7 SFFG FH SG FSBC 21 7 由于 所以平面 到平面的距离也为 EDBC EDSBCESBCd 21 7 设与平面所成的角为 则 12 分ABSBC 21 sin 7 d EB 21 arcsin 7 解法二 以为原点 射线为轴的正半轴 建立CCDx 如图所示的空间直角坐标系 Cxyz 设 则 1 0 0 D 2 2 0 A 0 2 0 B 又设 则 S x y z0 0 0 xyz 2 2 2 1 ASxyz BSx yz DSxy z uuruu ruu u r 由得 ASBS uuruu r 222222 2 2 2 xyzxyz 故 1x 由得 1DS uu u r 22 1yz 又由得 2BS uu r 222 2 4xyz 即 故 3 分 22 410yzy 13 22 yz 于是 13333313 1 1 1 0 22222222 SASBSDS uuruu ruu u r 0 0DS ASDS BS uu u r uuruu u r uu r 故 又 DSAS DSBS ASBSS I 所以平面 6 分SD SAB 设平面的法向量 SBC am n p r 则 0 0aBS aCB a BSa CB ruu r ruur r uu rr uur 又 33 1 0 2 0 22 BSCB uu ruur 故 9 分 33 0 22 20 mnp n 取得 又2p 3 0 2 a r 2 0 0 AB uu u r 21 cos 7 AB a AB a ABa uu u r r uu u r r uu u rr 故与平面所成的角为 12 分ABSBC 21 arcsin 7 点评 立体几何一直以来都是让广大考生又喜又忧的题目 为之而喜是因为只要能建立直 角坐标系 基本上可以处理立体几何绝大多数的问题 为之而忧就是对于不规则的图形来讲 建系的难度较大 问题不能得到很好的解决 今年的立几问题建系就存在这样的问题 很多 考生由于建系问题导致立几的完成情况不是很好 20 20 本小题满分本小题满分 l2l2 分分 注意 在试题卷上作答无效注意 在试题卷上作答无效 设数列满足且 n a 1 0a 1 11 1 11 nn aa 求的通项公式 n a