高三数学第一轮复习章节测试8-4 北师大版

用心 爱心 专心 1 第第 8 8 章章 第第 4 4 节节 一 选择题 1 平面 垂直于平面 为不重合的平面 成立的一个充分条件是 A 存在一条直线 l l l B 存在一个平面 C 存在一个平面 D 存在一条直线 l l l 分析 本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识 由充分条件的含义可知本题就是要 从四个选项中寻求使平面 平面 成立的一个条件 答案 D 解析 对于选项 A l l 对于选项 B 对于 选项 C 当 成立时 平面 的关系是不确定的 对于选项 D 当 l l 成立时 说明在 内必存在一条直线 m 满足 m 从而有 成立 2 在正四面体 P ABC 中 D E F 分别是 AB BC CA 的中点 下面四个结论中不成立的是 A BC 平面 PDF B DF 平面 PAE C 平面 PDF 平面 ABC D 平面 PAE 平面 ABC 答案 C 解析 D F 分别为 AB CA 中点 DF BC BC 面 PDF 故 A 正确 又 P ABC 为正四面体 P 在底面 ABC 内的射影 O 在 AE 上 PO 面 ABC PO DF 又 E 为 BC 中点 AE BC AE DF 又 PO AE O DF 面 PAE 故 B 正确 又 PO 面 PAE PO 面 ABC 面 PAE 面 ABC 故 D 正确 四个结论中不成立的是 C 3 定点 A 和 B 都在平面 内 定点 P PB C 是 内异于 A 和 B 的动点 且 PC AC 那么 动点 C 在平面 内的轨迹是 A 一条线段 但要去掉两个点 B 一个圆 但要去掉两个点 C 一个椭圆 但要去掉两个点 D 半圆 但要去掉两个点 答案 B 解析 连接 BC PB AC PB 又 PC AC AC BC 用心 爱心 专心 2 C 在以 AB 为直径的圆上 故选 B 4 设四面体 ABCD 各棱长均相等 E F 分别为 AC AD 的中点 如右图 则 BEF 在该四面体的面 ABC 的上射影是下图中的 答案 B 解析 取 BC 中点 G 连接 AG DG 可证 AD 在面 ABC 的上射影为 AG 则 F 在面 ABC 上的射 影在 AG 上 5 如图 1 所示 在正方形 SG1G2G3 中 E F 分别是边 G1G2 G2G3 的中点 D 是 EF 中点 现沿 SE SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体 如图 2 所示 使 G1 G2 G3 三点重合于 点 G 这样 下面结论成立的是 A SG 平面 EFG B SD 平面 EFG C GF 平面 SEF D GD 平面 SEF 答案 A 解析 1 直接法 在图 1 中 SG1 G1E SG3 G3F 在图 2 中 SG GE SG GF SG 平面 EFG 2 排除法 GF 即 G3F 不垂直于 SF 可以否定 C GSD 中 GS a 正方形边长 GD a SD a 2 4 32 4 SG2 SD2 GD2 SDG 90 从而否定 B 和 D 6 文 教材改编题 直线与平面 内无数条直线垂直 是 直线与平面 垂直的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 答案 B 解析 由直线与平面垂直的定义知 为必要不充分条件 理 如图所示 过正方形 ABCD 的顶点 A 引 PA 平面 ABCD 若 PA AB 则平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 用心 爱心 专心 3 答案 B 解析 过 P 作 PQ AB 则 PQ 为面 ABP 与面 CDP 的交线 AP AB AP PQ 又 CD AD 且 CD AP CD DP 即 DP PQ 所以 DPA 为所求的二面角的平面角 显然 DPA 45 故选 B 7 设 m n 是两条不同的直线 是三个不同的平面 给出下列四个命题 若 m n 则 m n 若 m 则 m 若 m n 则 m n 若 a 则 其中正确命题的序号是 A 和 B 和 C 和 D 和 答案 A 8 文 a b 为不重合的直线 为不重合的平面 给出下列 4 个命题 a 且 a b b a 且 a b b a 且 a b b a 且 a 其中正确命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 A 解析 Error Error b 或 b Error Error b 或 b Error Error a 或 a 理 棱长都为 2 的直平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中 BAD 60 则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成角的正弦值为 A B C D 1 2 2 2 3 4 3 8 答案 C 解析 过点 A1 作直线 A1M D1C1 交 C1D1 延长线于点 M 可得 A1M 平面 DD1C1C A1CM 就是直线 A1C 与面 DD1C1C 所成的角 由于所有棱长均为 2 及 A1D1C1 120 得 A1M A1D1sin60 3 又 A1C 4 AC12 CC12 23 2 22 sin A1CM 故应选 C A1M A1C 3 4 二 填空题 9 在 ABC 中 ACB 90 AB 8 ABC 60 PC 平面 ABC PC 4 M 是 AB 上一个 动点 则 PM 的最小值为 用心 爱心 专心 4 答案 2 7 解析 如图 PC 平面 ABC MC 面 ABC PC MC 故 PM PC2 MC2MC2 16 又 MC 的最小值为 2 4 43 83 PM 的最小值为 2 7 10 已 知 P 是 ABC 所在平面 外一点 O 是点 P 在平面 内的射影 1 若 P 到 ABC 的三个顶点的距离相等 则 O 是 ABC 的 2 若平面 PAB PBC PCA 与平面 所成的角相等 且 O 在 ABC 的内部 则 O 是 ABC 的 3 若 PA PB PC 两两垂直 则 O 是 ABC 的 答案 1 外心 2 内心 3 垂心 11 如图 三棱柱 ABC A1B1C1 侧棱 AA1 底面 ABC 底面是 ABC 为直角 的等腰直角三角形 AC 2a BB1 3a D 是 A1C1 的中点 点 F 在线段 AA1 上 当 AF 时 CF 平面 B1DF 答案 a 或 2a 解析 由题意易知 B1D 平面 ACC1A 所以 B1D CF 欲使 CF 平面 B1DF 只需 CF DF 即可 令 CF DF 设 AF x 则 A1F 3a x 由 Rt CAF Rt FA1D 得 即 AC A1F AF A1D 2a 3a x x a 整理得 x2 3ax 2a2 0 解得 x a 或 x 2a 三 解答题 12 如图 在四棱锥 S ABCD 中 侧棱 SA SB SC SD 底面 ABCD 是菱 形 AC 与 BD 交于 O 点 1 求证 AC 平面 SBD 2 若 E 为 BC 的中点 点 P 在侧面 SCD 内及其边界上运动 并保持 PE AC 试写出动点 P 的轨迹 并证明你的结论 分析 本题考查了线线垂直和线面垂直关系的判定方法 旨在对推理论证能力 空间想象 力和探究能力的考查 第 1 问要证线面垂直 根据线面垂直的判定定理 只要证明直线和 平面内两条相交直线垂直即可 第 2 问要探究保持线线垂直的动点的轨迹 只要找出与 AC 垂直且过 E 点的平面即可得到动点 P 的轨迹 解析 1 底面 ABCD 是菱形 O 为中心 AC BD 又 SA SC AC SO 而 SO BD O AC 平面 SBD 2 取棱 SC 的中点 M CD 的中点 N 连接 MN 则动点 P 的轨迹即是线段 MN 证明如下 连接 EM EN E 是 BC 的中点 M 是 SC 的中点 EM SB 同理 EN BD AC 平面 SBD AC SB AC EM 同理 AC EN 又 EM EN E AC 平面 EMN 因此 当 P 点在线段 MN 上运动时 总有 AC PE P 点不在线段 MN 上时 不可能有 AC PE 用心 爱心 专心 5 点评 由于 考试说明 中对立体几何部分整体要求的下降 故高考对立体几何考查的难 度不会太高 但在空间位置关系的证明上 还是会一如既往地重点考查 并且在方式上会寻 求突破和创新 变传统证明为判断型 探究型问题 增加了难度 体现了能力立意 复习中 需引起足够重视 13 2010 江苏卷 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 90 1 求证 PC BC 2 求点 A 到平面 PBC 的距离 解析 本小题主要考查直线与平面 平面与平面的位置关系 考查几何 体体积的计算 考查考生的空间想象能力 推理论证能力和运算能力 1 因为 PD 平面 ABCD BC 平面 ABCD 所以 PD BC 由 BCD 90 得 BC DC 又 PD DC D PD 平面 PCD DC 平面 PCD 所以 BC 平面 PCD 因为 PC 平面 PCD 所以 PC BC 2 连接 AC 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 因为 AB DC BCD 90 所以 ABC 90 从而由 AB 2 BC 1 得 ABC 的面积 S ABC 1 由 PD 平面 ABCD 及 PD 1 得三棱锥 P ABC 的体积 V S ABC PD 1 3 1 3 因为 PD 平面 ABCD DC 平面 ABCD 所以 PD DC 又 PD DC 1 所以 PC PD2 DC22 由 PC BC BC 1 得 PBC 的面积 S PBC 2 2 由 V S PBCh h 得 h 1 3 1 3 2 2 1 32 因此 点 A 到平面 PBC 的距离为 2 14 已知 正方体 ABCD A1B1C1D1 中 如图 1 求证 B1D BC1 2 求证 B1D 平面 ACD1 3 若 B1D 与平面 ACD1 交于 O 求证 DO OB1 1 2 分析 存在正方体 长方体为载体的证明 垂直关系的问题中可以优先考虑三垂线定理的 应用 证明 1 ABCD A1B1C1D1 为正方体 DC 面 BCC1B1 B1D 在面 BCC1B1 内的射影为 B1C BCC1B1 为正方形 BC1 B1C BC1 B1D 即 B1D BC1 三垂线定理 2 1 中证明了体对角线 B1D 与面对角线 BC1 垂直 同理可证 B1D AD1 B1D AC 用心 爱心 专心 6 B1D 平面 ACD1 3 设 AC 与 BD 的交点为 O 则平面 BB1D1D 与平面 ACD1 的交线为 O D1 则 O D1 与 B1D 的交点即为 O BD B1D1 OO D OD1B1 DO OB1 O D B1D1 1 2 DO OB1 1 2 15 如图 1 等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB AD ABC 60 E 是 BC 的中点 将 ABE 沿 A E 折起后如图 2 使二面角 B AE C 成直二面角 设 F 是 CD 的中点 P 是棱 BC 的中点 1 求证 AE BD 2 求证 平面 PEF 平面 AECD 3 判断 DE 能否垂直于平面 ABC 并说明理由 解析 1 证明 设 AE 中点为 M 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB AD ABC 60 E 是 BC 的中点 ABE 与 ADE 都是等边三角形 BM AE DM AE BM DM M BM DM 平面 BDM AE 平面 BDM BD 平面 BDM AE