湖南省长沙一中、师大附中、株洲二中等六校2016届高三联考 数学理

HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 1 湖南省湖南省 20162016 届高三六校联考试题届高三六校联考试题 数学 理科 数学 理科 一 选择题选择题 本大题共本大题共 12 个小题个小题 每小题每小题 5 分分 共共 60 分分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 已知集合 2 650 3 Ax xxBx yxAB A B C D 1 1 3 3 5 3 5 2 命题 若都是偶数 则也是偶数 的逆否命题是 x yxy A 若不是偶数 则与都不是偶数xy xy B 若是偶数 则与不都是偶数xy xy C 若是偶数 则与都不是偶数xy xy D 若不是偶数 则与不都是偶数xy xy 3 若执行右边的程序框图 输出的值为 6 则判断框中应填入的条件是 S A B C D 32 k 65 k 64 k 31 k 4 下列函数中在上为减函数的是 3 4 4 A B C D 2 2cos1yx tanyx cos 2 2 yx sin2cos2yxx 5 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查 为此将他们随机编号为 1 2 960 分 组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9 抽到的 32 人中 编号落入区间的 1 450 HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 2 人做问卷 编号落入区间的人做问卷 其余的人做问卷 则抽到的人中 做问卷A 451 750BC 的人数为 B A 15 B 7 C 9 D 10 6 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B C D 3 10 3 6 8 3 7 若的展开式中的常数项为 则的值为 23 1 2 1 xx x a 2 0 31 a xdx A 6 B 20 C 8 D 24 8 若函数图像上存在点 x y 满足约束条件 则实数 m 的最大值为 A 1 B 3 2 C 2 D 1 2 9 已知数列的通项公式 其前项和为 将数列的前 4 项抽去其中一项后 n a5 n an n n S n a 剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前 3 项 记的前项和为 若存在 使对 n b n bn n T mN 任意 总有恒成立 则实数的取值范围是 nN nn ST A B C D 2 3 3 2 10 已知两个不相等的非零向量 两组向量和均由 2 个和 3 个 a b 12345 x xx xx 12345 y yyyya 排成一列而成 记表示所有可能取值中的最小值 b 1122334455min Sx yxyx yxyx y S AAAAAS 则下列正确的是 A B 22 min 22Saa bb A 22 min 23Sab HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 3 C 若 则与无关 D 有 5 个不同的值ab min SaS 11 设 若对任意的正实数 都存在以为三边长 22 axxyybp xy cxy x y a b c 的三角形 则实数的取值范围是 p A B C D 以上均不正确 1 3 1 2 1 7 2 2 12 已知分别为椭圆的左 右顶点 不同两点在椭圆上 且 A B 22 22 1 0 xy Cab ab P QC 关于轴对称 设直线的斜率分别为 则当取最小值时 x AP BQ m n 21 lnln 2 ba mn abmn 椭圆的离心率为 C A B C D 3 3 2 3 1 2 2 2 第第 卷 共卷 共 9090 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把答案填在答题卡中对应题号分 把答案填在答题卡中对应题号 后的横线上 后的横线上 13 已知复数 则 2 1 i z i z 14 在中 的面积为 4 则的长为 ABC 2 5 2 BCACABC AB 15 已知圆与圆相交 222 4250 xyxya 222 210 2210160 xybxbybb 于两点 且满足 则 1122 A x yB xy 2222 1122 xyxy b 16 给出下列命题 1 设与是定义在上的两个函数 若恒成立 且 f x g xR 1212 f xf xg xg x 为奇函数 则也是奇函数 f x g x 2 若 都有成立 且函数在上递增 则 12 x xR 1212 f xf xg xg x f xR 在上也递增 f xg x R HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 4 3 已知 函数 若函数在上的最大值比最小值多 0 1aa 1 1 x ax f x ax x f x 0 2 5 2 则实数的取值集合为 a 1 2 4 存在不同的实数 使得关于的方程的根的个数为 2 个 4 个 5kx 222 1 10 xxk 个 8 个 则所有正确命题的序号为 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 8 小题 其中有小题 其中有 3 道选做题选做一道 共道选做题选做一道 共 70 分分 解答应写出文解答应写出文 字说明 证明过程或演算步骤字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列的前项和为 常数 且对一切正整数都成立 n an n S0 11nn a aSS n 1 求数列的通项公式 n a 2 设 当为何值时 数列的前项和最大 1 0 100a n 1 lg n a n 18 本小题满分 12 分 如图 在多面体中 平面 且为等边三角形 ABCDEDB ABC AEDBABC 与平面所成角的正弦值为 1 2AEBD CDABCDE 6 4 1 若是线段的中点 证明 平面 FCDEF DBC 2 求二面角的平面角的余弦值 DECB 19 本小题满分 12 分 某学校有 120 名教师 且年龄都在 20 岁到 60 岁之间 各年龄段人数按 分组 其频率分布直方图如图所示 学校要求每名教师都要参 20 3030 4040 5050 60 加两项培训 培训结束后进行结业考试 已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如AB HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 5 下表示 假设两项培训是相互独立的 结业考试成绩也互不影响 年龄分组项培训成绩优秀人数A项培训成绩优秀人数B 20 30 3018 30 40 3624 40 50 129 50 60 43 1 若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为 40 的样本 求从年龄段抽取的人数 20 30 2 求全校教师的平均年龄 3 随机从年龄段和内各抽取 1 人 设这两人中两项培训结业考试成绩都 20 30 30 40AB 优秀的人数为 求的概率分布和数学期望 XX 20 本小题满分 12 分 已知抛物线方程为 其焦点为 点为坐标原点 过焦点作斜率为 2 2 0 xpy p FOF 的直线与抛物线交于两点 过两点分别作抛物线的两条切线 设两条切线交于 0 k k A B A B 点 M 1 求 OA OB A HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 6 2 设直线与抛物线交于两点 且四边形的面积为 求直线的斜MF C DACBD 2 32 3 pAB 率 k 21 本小题满分 12 分 已知函数 为常数 是自然对数的底数 曲线 ln2 x f xexk k2 718 28e 在点处的切线与轴垂直 yf x 1 1 fy 1 求的单调区间 f x 2 设 对任意 证明 1 ln1 x xx g x e 0 x 2 1 xx xg xee 请考生在请考生在 2222 2323 2424 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 本小题满分 10 分 如图 是的直径 弦的延长线相交于点 垂直于的延长线于点 ABOABDCA EEFBAF 1 求证 DEADFA 2 若 求的长 0 30EBA 3 2EFEAAC AF 23 本小题满分 10 分 已知曲线的极坐标方程是 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为轴的正半轴 C2cos x 建立平面直角坐标系 直线 的参数方程是 为参数 l 3 2 1 2 xtm yt t 1 求曲线的直角坐标方程和直线 的普通方程 Cl 2 设点 若直线 与曲线交于两点 且 求实数的值 0 P mlC A B1PA PB Am 24 本小题满分 10 分 HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 7 函数 125f xxx 1 求函数的定义域 f xA 2 设 当实数时 证明 12Bxx R abBC A 1 24 abab 参考答案参考答案 一 选择题 题号 123456789101112 答案 DDCCDAADDCAD 9 D 解析 由题意知 设等比数列的公比为 则 123 4 2 1bbb n bq 1 2 q 为递增数列 得 4 1 1 8 1 12 m m mm q TT q 48 m T 又 故 若存在 使对任意 总有 9 2 n n n S max45 10 n SSS mN nN 则 得 故选 D nm ST 108 2 10 C 解析 可能的取值有 3 种情况 S 22222222 12 SaabbbSaa ba bbb AA 所以 2 3 Sa ba ba ba bb AAAA 22 1323 2 0 0SSabSSab 321 SSS HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 8 若 若 则与无关 故选 C 2 min 4Sba b Aab min Sa 11 A 解析 因为正实数 则 要使为三边的三角形存在 则 即 x yca a b c abc acb 恒成立 故 令cabac 2121 xyxyxyxy p yxyxyxyx 则 取 xy t yx 2t 故实数的取值范围是 故选 A p 1 3 12 D 解析 设点则 从而 00 P x y 22 00 22 1 xy ab 2 2 b mn a 设 22 22 212 lnlnln 22 babaab mn abmnabba 2 2 b x a 令 则即 1 ln 01 2 f xxx x max 2 211 22 x f xfxf x 2 2 1 2 b a 当且仅当即取等号 取等号的条件一致 此时 2 2 2 ba ab 2ba ab 2 2 1 2 b a 2 2 2 1 1 2 b e a 故选 D 2 2 e 二 填空题 13 2 14 4 或 解析 得 4 2 1 2 2 5sin4 2 ABC SC 2 sin 5 C HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 9 5 cos 5 C 22 2 2 5 2 2 2 5cosABC 或 4AB 4 2 15 解析 相交弦所在直线方程为 5 3 AB 22 214 22 5210160bxb yabb 设其中一圆的圆心为 2 1 C 得 OAOB OCAB 1 OCAB kk A 5 3 b 16 1 2 3 解析 1 为真 令即可 21 xxx 2 为真 不妨设 则即 12 xx 1212 f xf xg xg x 即 211212 f xf xg xg xf xf x 1122 f xg xf xg x 3 为假 作图后如果定势思维很容易漏掉 加大可得正确答案 7 2 1 7 2 2 4 为真 方程与函数图象结合 关于 的方程若一正一负 正大于 1 此时有 2 根 若一零一t 1 此时有 5 根 若判别式 0 此时有 4 根 若两个均为正 则有 8 个根 17 解析 1 取 得 1n 2 11111 22 2 0aSa aa 1 分 若 则 当时 所以 2 分 1 0a 1 0S 2n 1 0 nnn aSS 0 n a 若 则 当时 3 分 1 0a 1 2 a 2n 11 22 2 2 nnnn aSaS 上述两个式子相减得 所以数列是等比数 1 2 nn aa n a 列 4 分 综上 若 则 1 0a 0 n a 若 则 6 分 1 0a 2n n a HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 10 2 当 且时 令 所以 1 0a 100 1 lg n n b a 2lg2 n bn 8 分 所以 为单调递减的等差数列 公差为 n blg2 10 分 则 1236 6 100100 lglglg10 264 bbbb 当时 7n 7 7 100100 lglglg10 2128 n bb 故数列的前 6 项的和最 1 lg n a 大 12 分 18 解析 1 证明 取的中点为 连接 则可证平面 四边形为平行四BCMFMAM BCDAEFM 边形 所以 所以平面 6 分 EFAMEF DBC 2 解 取的中点 连结 则平面 即是与平面ABO OC ODOC ABDCDO CD 所成角 设 则有 得 取的中点为 ABDE 6 4 OC CD ABx 2 3 6 2 4 4 x x 2AB DEG HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 11 以为原点 为轴 为轴 为轴 建立如图空间直角坐标系 则OOCxOByOGz 由 1 知 平面 又 3 1 3 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1 1 22 CBDEF BF DEC 取平面的一个法向量 又 31 1 22 BF DEC 3 1 2 n 设平面的一个法向量 由 3 1 1 3 1 0 CECB BCE 1 my z 由此得平面的一个法向量 面积0 0m CEm CB AABCE 1 3 2 3 m 所以二面角的平面角的余弦值 6 cos 4 m n m n m n A DECB 为 12 分 6 4 19 解析 1 由频率分布直方图知 2 分0 35 4014 2 425 0 35 35 0 445 0 15 55 0 135 分 3 在年龄段内的教师人数为 人 从该年龄段任取 1 人 20 30120 0 3542 由表知 此人项培训结业考试成绩优秀的概率为 A 305 427 项培训结业考试成绩优秀的概率为 B 183 427 此人 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为 6AB 5315 7749 分 在年龄段内的教师人数为 人 从该年龄段任取 1 人 由表知 此人 30 40120 0 448 HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 12 项培训结业考试成绩优秀的概率为 项培训结业考试成绩优秀的概率为 A 363 484 B 241 482 此人 两项培训结业考试成绩都优秀的概率AB 为 8 分 313 428 由题设知的可能取值为 0 1 2 X 15385153153177 0 1 1 1 1 1 498196498498392 P XP X 10 分 15345 2 498392 P X 的概率分布为X X012 P 85 196 177 392 45 392 的数字期望为X 8517745267 012 196392392392 EX 12 分 20 解析 1 设直线方程为 AB 1122 2 p ykxA x yB x y 联立直线与抛物线方程 得 AB 2 2 2 xpy p ykx 22 20 xpxp 则 5 分 12 2 12 2xxpk x xp A 2 1212 3 4 OA OBx xy yp AAA HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 13 2 由 知 2 2xpy x y p 直线在两点处的切线的斜率分别为 A B 12 xx pp 的方程为 的方程为 AM 1 11 x yyxx p BM 2 22 x yyxx p 解得交点 8 分 2 p M pk 知直线与相互垂直 1 MF k k MFAB 由弦长公式知 222222 12 11442 1 ABkxxkp kpp k A 用代得 10 分 1 k k 2 1 2 1 CDp k 四边形的面积 依题意 得的最小值为 ACBD 222 2 132 2 2 3 Spkp k 2 2 1 k k 10 3 根据的图象和性质得 或 即或 12 分 1 0 f xxx x 2 3k 2 1 3 k 3k 3 3 k 21 解析 1 因为 由已知得 1 ln2 x xk x f x e 1 2 1 0 k f e 1 2 k 所以 2 分 1 ln1 x x x f x e 设 则 在上恒成立 即在上是减函 1 ln1k xx x 2 11 0k x xx 0 k x 0 数 由知 当时 从而 当时 从而 1 0k 01x 0k x 0f x 1x 0k x 0f x HLLYBQ 整理 供 高中试卷网 http sj fjjy org 14 综上可知 的单调递增区间是 单调递减区间是 5 f x 0 1 1 分 2 因为 要证原式成立即证成立 0 x 2 1 1 x g xe ex 现证明 对任意恒成立 2 0 1xg xe 当时 由 1 知成立 1x 2 01g xe 当时 且由 1 知 01x 1 x e 0g x 1ln 1ln x xxx g xxxx e 设 则 1ln 0 1 F xxxx x ln2 F xx 当时 当时 所以当时 取得最大值 2 0 xe 0F x 2 1 xe 0F x 2 xe F x 所以 即时 22 1F ee 2 1g xF xe 01x 2 1g xe 综上所述 对任意 9 分 2 0 1xg xe 令 则恒成立 所以在上递增 1 0 x G xexx 10 x G xe G x 0 恒成立 即 即 0 0G xG 10 x ex 11 0 1 x ex 当时 有 当时 由 式 1x 2 1 0