（全国版）2020年中考数学热点专题冲刺4 动态探究问题

热点专题 热点专题 动态探究问题动态探究问题 2019 的中考中的动态问题是失分点 总结如下 常见的动点问题分类 求最值问题 动点构成特殊图 形问题 一 求最值问题一 求最值问题 初中利用轴对称性质实现 搬点移线 求几何图形中一些线段和最小值问题 利用轴对称的性质解决几何 图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个 1 两点之间线段最短 2 三角形两边之和大于第三边 3 垂线段最短 求线段和的最小值问题可 以归结为 一个动点的最值问题 两个动点的最值问题 二 动点构成特殊图形二 动点构成特殊图形 问题背景是特殊图形 考查问题也是特殊图形 所以要把握好一般与特殊的关系 分析过程中 特别要关 注图形的特性 特殊角 特殊图形的性质 图形的特殊位置 分析图形变化过程中变量和其他量之间的关 系 或是找到变化中的不变量 建立方程或函数关系解决 小结小结 在变化中找到不变的性质是解决数学 动点 探究题的基本思路 这也是动态几何数学问题中最核心的数 学本质 考向考向 1 1 动点与最值动点与最值 1 2019 聊城 如图 在 rt abo 中 oba 90 a 4 4 点 c 在边 ab 上 且 点 d 为 ob ac cb 1 3 的中点 点 p 为边 oa 上的动点 当点 p 在 oa 上移动时 使四边形 pdbc 周长最小的点 p 的坐标为 a 2 2 b c d 3 3 5 2 5 2 8 3 8 3 答案 c 解析 由题可知 a 4 4 d 2 0 c 4 3 点 d 关于 ao 的对称点 d 0 2 设 ld c y kx b 将 d 0 2 c 4 3 代入 可得 y x 2 与 y x 联立 得 x y p 故选 c 1 4 8 3 8 3 8 3 8 3 2 2019 威海 如图 在平面直角坐标系中 点 a b 在反比例函数的图像上运动 且始 0 k yk x 终保持线段的长度不变 m 为线段 ab 的中点 连接 om 则线段 om 的长度的最小值是 用4 2ab 含 k 的代数式表示 x y m o a b 答案 解析 过点 a 作 x 轴 ac 过点 b 作 y 轴 bd 垂足为 c d ac 与 bd 相交于点 f 28k 连接 of 当点 o f m 在同一直线上时 om 最短 即 om 垂直平分 ab 设点 a 坐标为 a a 4 则点 b 坐 标为 a 4 a 点 f 坐标为 a a 由题意可知 afb 为等腰直角三角形 ab af bf 4 4 2 点 a 在反比例函数 y 的图象上 a a 4 k 解得 a 42k 在 rt ocf 中 of a 22 cfoc 22 42 k 2 228k om of fm 2 22 228k 28k x y c d m o a b 3 3 2019 巴中 如图 在菱形 abcd 中 连接 bd ac 交于点 o 过点 o 作 oh bc 于点 h 以点 o 为圆心 oh 为半径的半圆交 ac 于点 m 1 求证 dc 是o 的切线 2 若 ac 4mc 且 ac 8 求图中阴影部分的面积 a 3 在 的条件下 p 是线段 bd 上的一动点 当 pd 为何值时 ph pm 的值最小 并求出最小值 解 1 过点 o 作 og cd 于点 g 菱形 abcd 中 ac 是对角线 ac 平分 bcd oh bc oh og oh 是o 的半径 a og 等于o 的半径 a cd 是o 的切线 a 2 ac 4mc ac 8 oc 2mc 4 mc om 2 oh om 2 在 rt ohc 中 oh 2 oc 4 hc tan hoc 22 ocoh 2 33 hc oh hoc 60 s阴影 s och s扇形 ohm 2 1602 2360 ch oh p 2 3 2 3 3 作点 m 关于 bd 的对称点 n 连接 hn 交 bd 于点 p 此时 ph pm 的值最小 on om oh moh 60 mnh 30 mnh hcm hn hc 即 ph pm 的最小值为 2 32 3 在 rt npo 中 op ontan30 2 3 3 在 rt cod 中 od octan30 pd op od 4 3 3 2 3 4 4 2019 2019 益阳 益阳 如图 在半面直角坐标系 xoy 中 矩形 abcd 的边 ab 4 bc 6 若不改变矩形 abcd 的形 状和大小 当形顶点 a 在 x 轴的正半轴上左右移动时 矩形的另一个顶点 d 始终在 y 轴的正半上随之上下 移动 1 当 oad 30 时 求点 c 的坐标 2 设 ad 的中点为 m 连接 om mc 当四边形 omcd 的面积为时 求 oa 的长 2 21 3 当点 a 移动到某一位置时 点 c 到点 o 的距离有最大值 请直接写出最大值 并求此时 cos oad 的值 解 1 如图 1 过点 c 作 ce y 轴 垂足为 e 矩形 abcd 中 cd ad cde ado 90 又 oad ado 90 cde oad 30 在 rt ced 中 ce cd 2 de 2 1 3224 2222 cecd 在 rt oad 中 oad 30 od ad 3 点 c 的坐标为 2 2 1 323 2 m 为 ad 的中点 dm 3 6 dcm s 又 2 21 omcd s四边形 2 9 odm s 9 oad s 设 oa x od y 则 9 2 1 36 22 xy yx xyyx2 22 即 x y 将 x y 代入得 0 2 yx36 22 yx18 2 x 解得 不合题意 舍去 oa 的长为 23 x23 23 3 oc 的最大值为 8 理由如下 如图 2 m 为 ad 的中点 om 3 5 22 dmcdcm oc om cm 8 当 o m c 三点在同一直线时 oc 有最大值 8 连接 oc 则此时 oc 与 ad 的交点为 m 过点 o 作 on ad 垂足为 n cdm onm 90 cmd omn cmd omn 即 om cm mn dm on cd 3 534 mnon 解得 5 9 mn 5 12 on 5 6 mnaman 在 rt oan 中 5 56 22 anonoa 5 5 cos oa an oad 5 5 2019 2019 衡阳 如图 在等边衡阳 如图 在等边 abc 中 中 ab 6cm 动点 p 从点 a 出发以 cm s 的速度沿 ab 匀速运动 动 点 q 同时从点 c 出发以同样的速度沿 bc 延长线方向匀速运动 当点 p 到达点 b 时 点 p q 同时停止运 动 设运动时间为 t s 过点 p 作 pe ac 于 e 连接 pq 交 ac 边于 d 以 cq ce 为边作平行四边形 cqfe 1 当 t 为何值时 bpq 为直角三角形 2 是否存在某一时刻 t 使点 f 在 abc 的平分线上 若存在 求出 t 的值 若不存在 请说明理由 3 求 de 的长 4 取线段 bc 的中点 m 连接 pm 将 bpm 沿直线 pm 翻折 得 b pm 连接 ab 当 t 为何值时 ab 的值最小 并求出最小值 解 1 abc 为等边三角形 等边三角形 b 60 60 bp pq 2bp bq 即 2 6 t 6 t 解得 解得 t 2 当 t 为 2 时 bpq 为直角三角形 2 存在 作射线 bf pe ac ae 0 5t 四边形 cqfe 是平行四边形 fq ec 6 0 5t bf 平分 abc fbq bqf 90 bq 2fq bq 6 t 6 t 2 6 0 5t 解得 t 3 3 过点 p 作 pg cq 交 ac 于点 g 则 apg 是等边三角形 bp pq eg ag 1 2 pg cq pgd qcd pdg qdc pg pa cg t pgd qcd gd gc de ac 3 1 2 1 2 4 连接 am abc 为等边三角形 等边三角形 点 m 是 bc 的中点 bm 3 由勾股定理 得 am 3 3 由折叠 得 bm 3 当 a b m 在同一直线上时 ab 的值最小 此时 ab 3 3 3 过点 b 作 b h ap 于点 h 则 cos30 即 ah ab 3 2 2 3 33 t 解得 t 9 3 3 t 为 9 3时 ab 的值最小 最小值为 3 3 33 h b m f d e q a b c p 考向考向 2 2 动点与图形存在性问题动点与图形存在性问题 1 1 2019 自贡 如图 已知直线 ab 与抛物线 y ax2 2x c 相交于点 a 1 0 和点 b 2 3 两点 1 求抛物线 c 函数解析式 2 若点 m 是位于直线 ab 上方抛物线上的一动点 以 ma mb 为相邻的两 边作平行四边形 manb 当平行四边形 manb 的面积最大时 求此时平行四边形 manb 的面积 s 及点 m 的坐标 3 在抛物线 c 的对称轴上是否存在顶点 f 使抛物线 c 上任意一点 p 到 f 的距离等于到直线 y 的距离 17 4 若存在 求出定点 f 的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 将 a 1 0 和 b 2 3 代入抛物线解析式得 解得 a 2 c 0 4a 4 c 3 a 1 c 3 抛物线解析式为 y x2 2x 3 2 过 m 作 mh y 轴 交 ab 于 h 设直线 ab 为 y kx b 将 a b 坐标代入得 解得 k b 0 2k b 3 k 1 b 1 直线 ab 的解析式为 y x 1 设 m 为 m m2 2m 3 则 h m m 1 mh ym yh m2 2m 3 m 1 m2 m 2 s abm s amh s bmh mh xb xa m2 m 2 2 1 m2 m 3 m 2 1 2 1 2 3 2 3 2 1 2 27 8 四边形 manb 是以 ma mb 为相邻的两边的平行四边形 abm ban s四边形 manb 2 s abm 3 m 2 1 2 27 4 a 3 0 且开口向下 当 m 时 s四边形 manb的最大值为 1 2 27 4 此时 m 坐标为 1 2 15 4 3 存在 理由如下 过 p 作直线 y 的垂线 垂足为 t 17 4 抛物线为 y x2 2x 3 x 1 2 4 抛物线的对称轴为直线 x 1 顶点坐标为 1 4 当 p 为顶点 即 p 1 4 时 设 f 点坐标为 1 t 此时 pf 4 t pt 4 17 4 1 4 p 到 f 的距离等于到直线 y 的距离 4 t 即 t 17 4 1 4 15 4 f 为 1 设 p 点为 a a2 2a 3 由勾股定理 pf2 a 1 2 a2 2a 3 2 15 4 15 4 a4 4a3 a2 5a 又 pt2 a2 2a 3 2 a4 4a3 a2 5a pf2 pt2 即 pf pt 当 f 为 1 13 2 25 16 17 4 13 2 25 16 15 4 时 抛物线 c 上任意一点 p 到 f 的距离等于到直线 y 的距离 17 4 2 2 2019 2019 凉山州 凉山州 如图 抛物线 y ax2 bx c 的图象过点 a 1 0 b 3 0 c 0 3 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线的对称轴上是否存在一点 p 使得 pac 的周长最小 若存在 请求出点 p 的坐标及 pac 的周长 若不存在 请说明理由 3 在 2 的条件下 在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 m 不与 c 点重合 使得 s pam s pac 若存 在 请求出点 m 的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 由题知 解得 抛物线的解析式为 y x2 2x 3 3 039 0 c cba cba 3 2 1 c b a 2 存在 连接 bc 交抛物线对称轴于点 p 此时 pac 的周长最小 设 bc y kx 3 则 3k 3 0 解得 k 1 bc y x 3 由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线 x 1 当 x 1 时 y x 3 2 p 1 2 在 rt oac 中 ac 在 rt obc 中 bc 3 点 p 在线段 ab 的垂直平分线上 22 31 10 22 33 2 pa pb pac 的周长 ac pc pa ac pc pb ac bc 3 综上 存在符合条件的点 p 其坐标102 为 1 2 此时 pac 的周长为 3 102 3 存在 由题知 ab 4 s pac s abc s pab 4 3 4 2 2 2 1 2 1 设 ap y mx n 则 解得 ap y x 1 2 0 nm nm 1 1 n m 过点 c 作 ap 的平行线交 x 轴上方的抛物线于 m 易得 cm y x 3 由解得 m 1 4 32 3 2 xxy xy 3 0 1 1 y x 4 1 2 2 y x 设抛物线对称轴交 x 轴于点 e 1 0 则 s pac 2 2 2 s pac 过点 e 作 ap 的平行线交 x 轴上方的抛物线于 m 设 em y x t 则 1 t 0 2 1 t 1 em y x 1 由解得 舍 32 1 2 xxy xy 2 171 2 171 1 1 y x 2 171 2 171 2 2 y x m 2 171 2 171 综上 存在符合条件的点 m 其坐标为 1 4 或 2 171 2 171 考向考向 3 3 动点与函数图像问题动点与函数图像问题 1 2019 广元 如图 点 p 是菱形 abcd 边上的动点 它从点 a 出发沿 a b c d 路径匀速运动到点 d 设 pad 的面积为 y p 点的运动时间为 x 则 y 关于 x 的函数图象大致为 答案 a 解析 点 p 在整个运动过程中 pad 的底边 ad 始终不变 故面积的变化取决于 ad 边上高线的变化 当点 p 在 ab 上运动时 高线均匀变大 故面积也均匀变大 当点 p 在 bc 上运动时 由于 bc ad 平行线 间距离处处相等 故高线不变 面积也不发生改变 当点 p 在 cd 上运动时 高线又会均匀变小 故面 积也会均匀变小 故选 a 2 2019 衡阳 如图 在直角三角形 abc 中 c 90 ac bc e 是 ab 的中点 过点 e 作 ac 和 bc 的 垂线 垂足分别为点 d 和点 f 四边形 cdef 沿着 ca 方向匀速运动 点 c 与点 a 重合时停止运动 设运动 时间为 t 运动过程中四边形 cdef 与 abc 的重叠部分面积为 s 则 s 关于 t 的函数图象大致为 f d e c a b 答案 c 解析 由题意知 四边形 cdef 在运动过程中 与 abc 的重叠部分面积是由矩形到五边形 再到三角形 最后点 c 与点 a 重合时停止运动 呈现出的图象是曲线 故选 c 3 2019 菏泽 如图 正方形 abcd 的边长为 2cm 动点 p q 同时从点 a 出发 在正方形的边上 分别 按 a d c a b c 的方向 都以 1cm s 的速度运动 到达点 c 运动终止 连接 pq 设运动时间为 xs apq 的面积为 ycm2 则下列图象中能大致表示 y 与 x 的函数关系的是 答案 a 解析 当 0 x 2 时 正方形的边长为 2cm y s apqaq apx2 1 2 1 2 当 2 x 4 时 y s apq s正方形 abcd s cp q s a