【黄冈中考】备战2012年中考数学 梯形的押轴题解析汇编一 人教新课标版

用心 爱心 专心1 黄冈中考黄冈中考 备战备战 20122012 年中考数学年中考数学 梯形的押轴题解析梯形的押轴题解析 汇编一汇编一 梯形 16 2011 广西桂林 16 3 分 如图 等腰梯形ABCD中 AB DC BE AD 梯形ABCD 的周长为 26 DE 4 则 BEC的周长为 解题思路 周长即各边长之和 由题知 DE AB AD BE BEC的周长 DE DC EC AB DC EC 梯形ABCD周长 AD BE 答案 18 点评 本题考查了梯形 三角形的周长及平行四边形的对边相等等相关知识 以 及整体求周长 难度中等 1 山东临沂 第 12 题 3 分 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AB CD AD 2 BC 6 B 600 则梯形 ABCD 的周长是 A 12 B 14 C 16 D 18 解题思路 过点 A 作 AE CD 交 BC 于 E 得到平行四边形 CDAE AD CE 2 所以 BE BC CE 4 由 B 600 AB CD AE 得 ABE 是等边三角形 AB AE CD 4 所以梯形 ABCD 的周长 是 2 4 4 6 16 故选 C 解答 选 C 点评 本题考查了等腰梯形的相关知识 解有关等腰梯形的问题 通常都是添作腰的平行线 把梯形分割成平行四边形和三角形来解决 也可以过上底边的顶点作下底的垂线段 把梯形 转化为矩形和直角三角形来研究 添作适当的辅助线是本题的一个特点 也是学生感到较 难的地方之一 本题的难度不大 11 2011 山东潍坊 11 3 分 已知直角梯形 ABCD 中 AD BC BCD 90 BC CD 2AD E F 分别是 BC CD 边的中点 连接 BF DE 交于点 P 连接 CP 并延长交 AB 于点 Q 连接 AF 则下列结论不正确的是 A CP 平分 BCD B 四边形 ABED 为平行四边形 C CQ 将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分 D ABF 为等腰三角形 解题思路 由已知条件易证得 BCF DCE 所以这两个三角形关于 CQ 对称 所以 AD B C 用心 爱心 专心2 CP 平分 BCD A 正确 易知 AD BE AD BE 所以四边形 ABED 是平行四边形 B 选项 正确 由 BCF DCE 所以 BF DE 又因为四边形 ABED 是平行四边形 所以 AB DE 所以 AB BF 所以 ABF 为等腰三角形 利用排除法即可得到 C 不正确 答案 C 点拨 本题考查了全等三角形的判定和性质 平行四边形的判定和性质 灵活运用 三角形全等和平行四边形的性质和判定是解决此题的关键 难度中等 11 2011 四川绵阳 11 3 如图 在等腰梯形ABCD中 AB CD 对角线AC BD相交于 O ABD 30 AC BC AB 8cm 则 COD的面积为 O B C A D A 2 4 3 3 cmB 2 4 3 cm C 2 2 3 3 cmD 2 2 3 cm 解题思路 梯形 ABCD 是等腰梯形 AC BD DAB CBA AD BC ABC BAD ABD BAC 30 AC BC ACB 90 ABC 60 AB 8cm BC AD 4cm 在 Rt BOC 中 BC2 AC2 AB2 即 42 AC2 82 AC 22 84 4 3 S ABC 1 2 AC BC 1 2 4 3 4 8 3 ABD BAC 30 OB OA ABC 60 ABD 30 OBC 30 OB OA 2OC S AOB S OBC 3 1 S AOB 2 3 S ABC 16 3 3 cm2 DC AB COD AOB COD AOB S S 2 2 OC OA 1 4 S COD 1 4 S AOB 1 4 16 3 3 4 3 3 cm2 答案 A 点评 由梯形的上底和下底平行 得出三角形相似 相似三角形的面积的比等于相 似比的平方 所以求其中一个三角形的面积 可以求出与之相似的三角形的面积及两个三 角形的相似比即可 15 2011 四川眉山 15 3 分 如图 梯形 ABCD 中 如果 AB CD AB BC D 60 AC 丄 AD 则 B 解题思路 由 D 60 AC 丄AD 得到 ACD 30 而 AB CD 根据平行线的性质得到 BAC ACD 30 又因为 AB BC 根据等腰三角形的性 用心 爱心 专心3 质得到 BCA BAC 30 最后根据三角形的内角和定理计算出 B 的度数 答案 120 点评 本题考查了梯形的性质 梯形的两底边平行 也考查了等腰三角形的性质 和三角形内角和定理 难度较小 17 2011 年四川省南充市 17 题 6 分 如图 四边形 ABCD 是等腰梯形 AD BC 点 E F 在 BC 上 且 BE CF 连接 DE AF 求证 DE AF F E D CB A 解题思路 证明两条线段相等的问题 通常利用 全等三角形对应边相等 去解决 由 BE CF 很容易得出 BF CE 等腰梯形两腰相等 同一底上两个角相等 易证 DCE ABF 时而得出 DE AF 答案 证明 BE FC BE EF FC EF 即 BF CE 四边形 ABCD 是等腰梯形 AB DC B C 在 DCE 和 ABF 中 DCAB BC CEBF DCE ABF SAS DE AF 点评 等腰梯形两腰相等 同一底上的两个角相等 对角线相等 在解与等腰梯形有关 的问题时 首先应考虑到这些性质 梯形问题应尽量把梯形问题转化为平行四边形和三角 形的问题去解决 19 2011 广东省 19 7 分 如图 直角梯形纸片 ABCD 中 AD BC A 90 C 30 折叠纸片使 BC 经过点 D 点 C 落在点 E 处 BF 是折痕 且 BF CF 8 1 求 BDF 的度数 2 求 AB 的长 用心 爱心 专心4 解题思路 1 由折叠纸片可知 BDF CBF 易知 CBF C 30 所以在 BCD 中可知 BDF 90 2 在 R t BFD 中可求出 BD 43 在 Rt BAD 中就可以求出 AB 答案 1 根据折叠纸片可知 BDF CBF 因为 BF CF 8 所以 CBF C 30 所以 BDF 180 30 60 90 2 在 Rt BFD 中 cos30 8 BDBD BF 所以4 3BD 因为 AD BC 所以 BDC BDA 在 R t BAD 中 sin60 AB BD 所以 AB BD sin60 6 点评 本题主要考查解直角三角形相关内容 解题关键是对正 余弦函数表达式的正确 使用 通过梯形将两个直角三角形整合在一起是本题的特点 难度中等 大部分学生都能 轻松解答 24 本题满分 10 分 2011 山东枣庄 24 10 分 如图 直角梯形 ABCD 中 AD BC A 90 6ABAD DEDC 交 AB 于 E DF 平分 EDC 交 BC 于 F 连结 EF 1 证明 EFCF 2 当tan ADE 3 1 时 求 EF 的长 解题思路 根据题意 要证明EFCF 只要证明 EDF CDF 已知一边 一角 只要在找一边或一角即可 所以过 D 作 DG BC 于 G 先证明 ADE GDC 从而解决第一 问 然后在地一问的基础上 利用勾股定理列出方程解出 EF 答案 解 1 过 D 作 DG BC 于 G 由已知可得 四边形 ABGD 为正方形 DE DC ADE EDG 90 GDC EDG ADE GDC 又 A DGC 且 AD GD ADE GDC DE DC 且 AE GC 在 EDF 和 CDF 中 EDF CDF DE DC DF 为公共边 EDF CDF EF CF 2 tan ADE AD AE 3 1 2AEGC 设EFx 则88BFCFx BE 6 2 4 由勾股定理 得 222 8 4xx 解之 得 5x 即5EF 点评 本题考查了三角形全等的判定方法以及正方形的有关性质 解题的关键是根据条 件作 DG BC 构造正方形 从而三角形全等 也可以根据DEDC 将 ADE 逆时针旋 转 900 构造全等三角形 难度较大 F D B A E C 第 24 题图 用心 爱心 专心5 16 2011 内蒙古呼和浩特 16 3 分 如图所示 在梯形ABCD中 AD BC CE是 BCD的平分线 且 CE AB E为垂足 BE 2AE 若四边形AECD的面积为 1 则梯形ABCD的面积为 解题思路 由CE是 BCD的平分线 且CE AB 可构造全等三角形 这时 可延长CD交 BA的延长线于 F 得BCE FCE 由 BEFE 2BEAE 得 1 4 FAFB 又由AD BC 得 FAD FBC 1 16 FADFBC SS 可设梯形ABCD的面积为 x 得 1 15 FAD Sx 1 11 15 xx 从而求出梯形ABCD的面积 答案 15 7 点评 本题借助梯形为载体 考查了梯形辅助线的添法 考查了三角形的全等与相似 解 一元一次方程等知识 考查了方程思想 转化思想等数学思想方法 试题体现出不 同学生思维层次的差异性 也体现出 多思少算 的命题思路 难度较大 20 2011 山东菏泽 17 2 7 分 如图 在梯形ABCD中 AD BC B 90 C 45 AD 1 BC 4 E为AB中点 EF DC交BC于点F 求EF的长 E B F C A D 第 17 2 题图 解题思路 过点 A 作 AG DC 易证四边形AGCD是平行四边形 从而得 BG 3 进而得出 AG 3 2 再由 E 为 AB 的中点得出 EF 的长 答案 过点 A 作AG DC AD BC 四边形AGCD是平行四边形 GC AD BG BC AD 4 1 3 在 Rt ABG中 AG 2 2BG 3 2 EF DC AG 1 2 EFBE AGAB EF 1 2 AG 3 2 2 点评 在处理梯形问题时 最常见的解题思路是通过添加辅助线将其转化成其它的几何 图形 难度中等 23 2011 四川乐山 23 10 分 选做题 从甲 乙两题中选做一题 如果两题都做 只 以甲题计分 题甲 已知关于 x 的方程 22 2 1 740 xaxaa 的两根为 1 x 2 x 且满足 1212 3320 x xxx 求 2 42 1 4 a aa 的值 题乙 如图 12 在梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC BD 相交于点 O AD 2 BC BD 3 AC 4 1 求证 AC BD A BC D E A BC D E F 用心 爱心 专心6 2 求 AOB 的面积 我选做的是 题 解题思路 题甲 根据一元二次方程根与系数的关系 列式计算出 a 值 再化简代数 式 将 a 值代入化简代数式 或直接代入 计算求值 题乙 1 平移对角线 AC 即过点 D 作 DE AC 构建三角形 BDE 利用勾股定理的逆定理 证得 BDE 是直角三角形 再利用平行关系推出 AC BD 2 由 AD BC 推出 AOD COB 根据对应关系列出比例式 求出 AO BO 的长度 求 得 S AOB 2 BOAO 答案 题甲 将 1212 3320 x xxx 变形得 x1x2 3 x1 x2 2 x1 x2 2 a 1 x1x2 a2 7a 4 a2 7a 4 3 2 2a 2 解得 a1 4 a2 3 将 2 42 1 4 a aa 化简得 2 42 1 4 a aa 2 a a 当 a 4 时 2 a a 2 当 a 3 时 2 a a 5 3 题乙 1 过点 D 作 DE AC 与 BC 的延长线交与点 E 可得 平行四边形 ACED AD 2 BC BD 3 AC 4 BE 5 DE AC 4 BD2 DE2 BE2 即 BDE 是直角三角形 BDE 900 又 DE AC BOC 900 即 AC BD 2 AD BC AOD COB 设 AO x BO y 则 3 2 x x 4 3 2 3 3 y 解得 x 5 8 y 2 又 AC BD S AOB 5 8 2 2 1 5 8 点评 题甲 是对一元二次方程根与系数的关系和分式化简的考查 即两根之和 x1 x2 a b 两根之积 x1x2 a c 运算中不要出现符号错误 分式化简与分式方程转化整 式方程是两个不同的计算过程 很容易混淆 应特别注意 难度中等 题乙 重点考查的是辅助线的添加方法 通过添加辅助线构建新的三角关系 利用勾股定 理的逆定理 相似三角形的性质推理证明 在应用相似三角形的性质推理证明时 常常出 现因找不准对应关系而出错 难度中等 21 2011 年四川省南充市 21 题 8 分 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC AD AB CD 2 C 600 M 是 BC 的中点 1 求证 MDC 是等边三角形 2 将 MDC 绕点 M 旋转 当 MD 即 MD 与 AB 交于一点 E MC 即 MC 同时与 AD 交 于一点 F 时 点 E F 和点 A 构成 AEF 试探究 AEF 的周长是否存在最小值 如果不存在 请说明理由 如果存在 请计算出 AEF 周长的最小值 用心 爱心 专心7 D C M F E D CB A 解题思路 此题边长给出较多 因而可从边长入手 由图形中的特殊的边角关系 利用 全等变换 等量代换寻求周长的最小值 答案 证明 过点 D 作 DP BC 于点 P 过点 A 作 AQ BC 于点 Q C B 60 CP BQ 1 2 AB CP BQ AB 又 ADPQ 是矩形 AD PQ BC 2AD 由已知 点 M 是 BC 的中点 BM CM AD AB CD 即 MDC 中 CM CD C 60 故 MDC 是等边三角形 2 解 AEF 的周长存在最小值 理由如下 连结 AM 由 1 平行四边形 ABMD 是菱形 MAB MAD 和 MC D 是等边三角形 BMA BME AME 60 EMF AMF AME 60 BME AMF 在 BME 与 AMF 中 BM AM EBM FAM 60 BME AMF ASA BE AF ME MF AE AF AE BE AB EMF DMC 60 故 EMF 是等边三角形 EF MF MF 的最小值为点 M 到 AD 的距离为3 即 EF 的最小值是3 AEF 的周长 AE AF EF AB EF AEF 周长的最小值为23 点评 等边三角形的判定方法一般有两种 一是三个角都相等的三角形是等边三角形 二是有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 梯形中常用辅助线把梯形问题转化为三 角形和平行四边形问题去解决 22 2011 浙江衢州 22 10 分 如图 ABC 中 AD 是边 BC 上的中线 过点 A 作 AE BC 过点 D 作 DE AB DE 与 AC AE 分别交于点 O 点 E 连接 EC F E D P QM D C A B C 用心 爱心 专心8 1 求证 AD EC 2 当 BAC Rt 时 求证 四边形 ADCE 是菱形 3 在 2 的条件下 若 AB AO 求 tan OAD 的值 解题思路 1 要证明 AD EC 可以证明四边形 ADCE 为平行四边形或 ABD EDC 即可 2 由 1 要证明四边形 ADCE 是菱形 可以先证明四边形 ADCE 是平行四边形 在证明它 的邻边相等或对角线垂直即可 也可以证明四边形 ADCE 的四条边相等 3 在 2 的条 件下 可以把 OAD 放在 Rt AOD 中 求出 OA OD 即可 也可以把 OAD 转化到与它相等的 角 ACB 求出 tan ACB 的值即可 答案 1 解法 1 证明 DE AB AE BC 四边形 ABDE 为平行四边形 AEBD 又 AD 是 BC 边上的中线 BD CD AE CD 四边形 ADCE 为平行四边形 AD EC 解法 2 证明 DE AB AE BC 四边形 ABDE 是平行四边形 B EDC AB DE 又 AD 是 BC 边上的中线 BD CD ABD EDC SSS AD EC 2 解法 1 证明 BAC Rt AD 是斜边 BC 上的中线 AD BD CD 又 四边形