2014届高考数学（理）总复习配套课时检测：4-2《导数的应用》1（新人教A版）

4 24 2 导数的应用导数的应用 一一 一 选择题 1 函数 f x x 3 ex的单调递增区间是 A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 解析 f x x 3 ex x 3 ex x 2 ex 令f x 0 解得x 2 答案 D 2 2012 年兰州一中月考 已知函数f x x3 ax2 a 6 x 1 有极大值和极小值 则实数a的取值范围是 A 1 2 B 3 6 C 3 6 D 1 2 解析 f x 3x2 2ax a 6 因为函数有极大值和极小值 所以f x 0 有 两个不相等的实数根 所以 4a2 4 3 a 6 0 解得a6 答案 B 3 2011 年辽宁 函数f x 的定义域为 R R f 1 2 对任意x R R f x 2 则 f x 2x 4 的解集为 A 1 1 B 1 C 1 D 解析 f x 2x 4 即f x 2x 4 0 构造F x f x 2x 4 F x f x 2 0 F x 在 R R 上为增函数 而F 1 f 1 2x 1 4 0 x 1 F x F 1 x 1 答案 B 4 2012 年天津模拟 定义在 R R 上的函数y f x 满足f 3 x f x x 3 2 f x 0 若x13 则有 A f x1 f x2 B f x1 f x2 C f x1 f x2 D 不确定 解析 由f x 时 f x 0 函数f x 为减函数 x 3 2 3 2 当x0 函数f x 为增函数 3 2 x1 x2 3 且x1 x2 x1 或x2 x1 3 2 3 2 3 2 当x1 时 x2 3 x1 3 2 3 2 3 2 则f x2 x1 时 f x1 f x2 故选 A 3 2 答案 A 5 2012 年重庆 设函数f x 在 R R 上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f x 的图象如图所示 则下列结论中一定成立的是 A 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 B 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 C 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 D 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 解析 当x0 1 x f x 0 f x 0 即f x 在 2 上是增函数 当 2 x0 1 x f x 0 f x 0 即f x 在 2 1 上是减函数 当 1 x 2 时 1 x0 f x 2 时 1 x 0 1 x f x 0 即f x 在 2 上是增函数 综上 f 2 为极大值 f 2 为极小值 答案 D 6 2012 年荆州中学月考 对于 R R 上可导的任意函数f x 若满足 x 1 f x 0 则必有 A f 0 f 2 2f 1 解析 不等式 x 1 f x 0 等价于Error 或Error 可知f x 在 1 上递减 1 上递增 或者f x 为常数函数 因此f 0 f 2 2f 1 答案 C 二 填空题 7 2011 年广东 函数f x x3 3x2 1 在x 处取得极小值 解析 由题意得f x 3x2 6x 3x x 2 当x0 当 0 x 2 时 f x 2 时 f x 0 故当x 2 时取得极小值 答案 2 8 2012 年洛阳调研 若f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 有极大值和极小值 则a的取 值范围 解析 f x 3x2 6ax 3 a 2 由已知条件 0 即 36a2 36 a 2 0 解得a2 答案 1 2 9 若函数 f x 2x2 lnx在其定义域内的一个子区间 k 1 k 1 内不是单调函 数 则实数k的取值范围是 解析 求导 可求得 f x 的递增区间为 递减区间为 函数 f x 1 2 0 1 2 2x2 lnx在其定义域内的一个子区间 k 1 k 1 内不是单调函数 则 Error 解得 1 k 3 2 答案 1 k 3 2 三 解答题 10 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在 上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若 不存在试说明理由 解 1 f x 3x2 a 由 0 即 12a 0 解得a 0 因此当f x 在 上单调递增时 a的取值范围是 0 2 若f x 在 1 1 上单调递减 则对于任意x 1 1 不等式f x 3x2 a 0 恒成立 即a 3x2 又x 1 1 则 3x20 知 ax2 2ax 1 0 在 R R 上恒成立 因此 4a2 4a 4a a 1 0 由此并结合a 0 知 0 a 1 12 2012 年山西大同市高三学情调研 已知函数f x ln x a x2 x 在x 0 处 取得极值 1 求实数a的值 2 若关于x的方程f x x b在区间 0 2 上恰有两个不同的实数根 求实数b 5 2 的取值范围 解 1 f x 2x 1 1 x a 又 y f x 在x 0 处取极值 f 0 1 0 1 a 得a 1 2 由 1 f x ln x 1 x2 x 令g x f x x b 5 2 ln x 1 x2 x b x 1 3 2 g x 2x 1 x 1 3 2 4x 5 x 1 2 x 1 列表 x 1 1 1 1 g x 0 g x 极大 当x 1 时 g x 取极大值也是最大值 由题设y g x 在 0 2 上有两个不同的零点 Error 即Error 得 ln3 1 b1 B f x x2 b 2 x 1 b 1 C f x ln x D f x x 2 设f x 2ln x ax2 a R R 求f x 的极值 3 设g x 2ln x ax2 x e为自然对数的底数 当a 0 时 讨论函数g x e a 1 2 是否存在不动点 若存在求出a的范围 若不存在说明理由 解 1 C 2 f x 2ax x 0 2 x 2 2ax2 x 当a 0 时 f x 0 f x 在 0 上是增函数 无极值 2 x 当a0 恒成立 f x 在 0 上是增函数 无极值 当a 0 时 f x 0 得x 列表如下 1 a X 0 1 a 1 a 1 a f x 0 f x 增极大值减 当x 时 f x 有极大值 f ln a 1 1 a 1 a 综上 当a 0 时无极值 当a 0 时f x 有极大值 f ln a 1 1 a 3 假设存在不动点 则方程g x x有解 即 2 ln x ax2 0 有解 e a 1 2 设h x 2ln x ax2 a 0 由 2 可知h x 极大值 ln e a 1 2 a 1 ln a e a 1 2 e a 1 2 下面判断h x 极大值是否大于 0