3 竞赛辅导：集 合.doc

竞赛专题：集 合一、知识要点集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。1 有限集合所含元素个数的几个简单性质（容斥原理） 设表示集合所含元素的个数,（1）, 当时，（2）2.有关集合的问题主要有3类：（1）判断问题 判断元素和集合的相属关系，判断两个集合之间的关系（2）运算问题 综合方程，函数，不等式等知识考查集合的并集、交集与补集运算（3）计数问题 计算集合中元素的个数问题是数学竞赛中的热点问题，通常需要利用集合的性质、运算法则，以及容斥原理、抽屉原理、对应原理等知识的综合解决.二、典型例题元素与集合的关系1 设|,，求证：（1）()；（2）2 设为满足下列条件的有理数的集合：若，则+，；对任一个有理数，三个关系，0有且仅有一个成立。证明：是由全体正有理数组成的集合。两个集合之间的关系及运算在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。3 设函数，集合，。(1)证明： (2)当时，求。(3)当只有一个元素时，求证：4.已知集合：问（1） 当取何值时，为含有两个元素的集合？（2） 当取何值时，为含有三个元素的集合？5设且15，都是1，2，3，真子集，且=1，2，3，。证明：或者中必有两个不同数的和为完全平方数。6为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列，若，则（1） 证明：三个集合中至少有两个相等。（2） 三个集合中是否可能有两个集无公共元素？7.设集合，求和（其中x表示不超过实数x之值的最大整数）有限集元素的个数（容斥原理）8.设，的子集且满足条件：当时，则中元素个数最多是 . 9. 已知对任意实数，函数都有定义，且.如果，求证A是无限集.10.设S为集合1，2，3，50的具有下列性质的子集，S中任意两个不同元素之和不被7整除，求|S|的最大值（|S|表示S中元素的个数）11.开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？12.计算不超过120的合数的个数13.已知集合，求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任两个元素的差的绝对值大于1.集合或元素的配对问题有关集合中元素个数的问题，有时需要利用对应与映射的方法，将集合中的元素两两配对，从而解决问题.14. 设集合，现对M的任一非空子集X，令表示X中最大数与最小数之和，那么，所有这样的的算术平均值为 .15. 设集合，若X是的子集，把X中所有数之和称为X的“容量”（规定空集的容量为0）.若X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集.求证：的奇子集与偶子集个数相等.三、能力测试1.设集合，则在下列关系中，成立的是BCD 2已知，且，设，则 （A）M （B）N （C）P （D）3.集合，求当时，和同时成立？4设M=1,2,3,1995，A是M的子集且满足条件: 当xA时,15xA，则A中元素的个数最多是_.5若非空集合,则能使AAB成立的a的取值范围是_.6若为单元素集合，则实数的值为_.7设，则集合A中被7除余2且不能被57整除的数的个数为_.8. 设集合，集合，求证9.设集合10.向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数是对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？11.设集合，集合A中的元素都是自然数且，并满足，有中的所有元素之和等于224，求集合A12.已知集合，对，将A中所有元素的和记为.若可将分为互不相交的两个子集A，B，且.求k 的所有值.13集合为A的非空子集族，并且当求n的最大值.课后练习答案1-4 C C B A5解：由于1995=15133，所以，只要n133，就有15n1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数. 由于这时己取出了159=135, 15133=1995. 故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995133+8=1870个数, 这说明所求数1870。另一方面，把k与15k配对，（k不是15的倍数，且1k133）共得1338=125对，每对数中至多能取1个数为A的元素，这说明所求数1870，综上可知应填18706解：A=时，有1种可能；A为一元集时，B必须含有其余2元，共有6种可能；A为二元集时，B必须含有另一元.共有12种可能；A为三元集时，B可为其任一子集.共8种可能.故共有1+6+12+8=27个.7解：由A非空知2a+13a-5，故a6. 由AAB知AB. 即32a+1且3a-522, 解之，得1a9. 于是知6a98解：由.若，则A有无数个元，若，则A为空集，只有当即时，A为单元素集或.所以9解：被7除余2的数可写为7k+2. 由1007k+2600.知14k85. 又若某个k使7k+2能被57整除，则可设7k+2=57n. 即. 即n-2应为7的倍数. 设n=7m+2代入，得k=57m+16. 1457m+1685. m=0,1.于是所求的个数为85-(14-1)-2=7010证明：（1）(2)设A=c，即二次方程f(x)-x=0有惟一解c，即c为 f(x)-x=0的重根. f(x)-x=(x-c)2 即f(x)=(x-c)2+x,于是f(f(x)=(f(x)-c)2+f(x),f(f(x)-x=(f(x)-c)2+f(x)-x=(x-c)2+x-c2+(x-c)2=0故f(f(x)=x也只有惟一解x=c，即B=c. 所以A=B11解：由得设 由数形结合得:解得：例题答案：1分析：如果集合|具有性质，那么判断对象是否是集合的元素的基本方法就是检验是否具有性质。解：（1）,且,故；（2）假设，则存在，使即 (*)由于与具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立。由此，。2解：由若，,则可知，若，则（1） 由可设，且0，0，则| (|)故,由,0()+。（2）2。若2，则中的负数全为偶数，不然的话，当（）（）时，1（），与矛盾。于是，由知中必有正奇数。设，我们取适当正整数，使，则负奇数。前后矛盾。3证明：设任意的，0,由知，或之一成立。再由，若，则；若，则。总之，。取=1，则1。再由，2=1+1，3=1+2，可知全体正整数都属于。设，由，又由前证知，所以。因此，含有全体正有理数。再由知，0及全体负有理数不属于。即是由全体正有理数组成的集合。4解：（1）设任意，则.而故,所以.（2） 因，所以 解得故 。由得解得 。5证明：（1）若，则所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。否则，设中的最小正元素为，不妨设，设为中最小的非负元素，不妨设则。若0,则0，与的取法矛盾。所以=0。任取因0,故0。所以，同理。所以=。（3） 可能。例如=奇数，=偶数显然满足条件，和与都无公共元素。6解：=。与分别为方程组（） （）的解集。由（）解得（）=（0，1）=（，）；由（）解得（）=（1，0），（，）（1） 使恰有两个元素的情况只有两种可能： 由解得=0；由解得=1。故=0或1时，恰有两个元素。（2） 使恰有三个元素的情况是：= 解得，故当时，恰有三个元素。7证明：由题设，1，2，3，的任何元素必属于且只属于它的真子集之一。 假设结论不真，则存在如题设的1，2，3，的真子集，使得无论是还是中的任两个不同的数的和都不是完全平方数。 不妨设1，则3，否则1+3=，与假设矛盾，所以3。同样6，所以6，这时10，即10。因15，而15或者在中，或者在中，但当15时，因1，1+15=，矛盾；当15时，因10，于是有10+15=，仍然矛盾。因此假设不真。即结论成立。9. 解： 由题设，易知：与这两个数中至少有一个不属于A.由于，所以取134，135，1995时，一定不属于A；同理，当取9，10，133时，与不能同时属于A，这时至少有个数不属于A，这样；另一方面可取：.所以最大值为1870.10. 分析：必须找出无穷多个，使. 解：在中：令，可得，所以.故，这样必有一个非0的实数，使，即.由已知条件：，即：.同理：均是A 的元素. 所以A是无限集.13. 解：设为集合的具有题设性质的子集个数，则的具有题设性质的子集可分为两类：第一类不含，这样的子集有个；第二类子集含有，这类子集或为的相应子集或与的并，共有个，于是得：.显然，. ，.分析：对于集合M的一个任意的子集，我们不妨令：，则必存在一个子集，这时，其算术平均数为1001.解：将M中非空子集进行配对，对每个非空集合，则.如果，那么.对于，则必有.综上：的算术平均值为1001.15. 分析：如果能够建立起的奇子集与偶子集之间的一一对应关系，则可以说明二者个数相等.证明：对于的任一个偶子集B，令，于是A为的奇子集.其中“”是差集，即表示把B中的元素1去掉，剩下的元素组成的集合；反之，对的任一个奇子集A，取，则得的任一个偶子集B.这说明在的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应关系，于是可知的奇子集与偶子集个数相等.评析：运用对应的观点是证明集合或元素数量相等的一种常用的方形如4k+1的数的数可分三类：，其中只有形如12l+5的数是形如3k-1的数.【解】首先考虑至多含三个元素的A的非空子集族，它们共有个，这说明下证