高中数学竞赛讲义-二次函数（1）新人教A版VIP

用心 爱心 专心 1 5 5 二次函数二次函数 1 1 二次函数是最简单的非线性函数之一 而且有着丰富内涵 在中学数学数材中 对二次 函数和二次方程 二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质 都有深入和反复的讨论与 练习 它对近代数学 乃至现代数学 影响深远 为历年来高考数学考试的一项重点考查内 容 历久不衰 以它为核心内容的重点试题 也年年有所变化 不仅如此 在全国及各地的 高中数学竞赛中 有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象 因此 必须透彻熟练地掌 握二次函数的基本性质 学习二次函数的关键是抓住顶点 b 2a 4ac b2 4a 顶点的由来体现了配方法 y ax2 bx c a x b 2a 2 4ac b2 4a 图象的平移归结为顶点的平移 y ax2 y a x h 2 k 函数的对称性 对称轴 x b 2a f b 2a x f b 2a x x R 单调区间 b 2a b 2a 极值 4ac b2 4a 判别式 b2 4ac 与 X 轴的位置关系 相交 相切 相离 等 全都与顶点有关 一 四个二次型 概述 一元 二次函数 y ax2 bx c a 0 a 0 一元 一次函数 y bx c b 0 一元 二次三项式 ax2 bx c a 0 a 0 一次二项式 bx c b 0 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 a 0 一元一次方程 bx c 0 b 0 一元二次不等式 ax2 bx c 0 或 ax2 bx c0 或 bx c0 或 y0 或 ax2 bx c 0 a 0 就是高中一年级重点研究的一元二次不等式 它总揽全局 是 四个 二次型 的灵魂 讨论零值的一元二次函数即一元二次方程是研究 四个二次型 的关键所 在 它直接影响着两大主干 一元二次方程和一元二次不等式的求解 一元二次方程的根可 看作二次函数的零点 一元二次不等式的解集可看作二次函数的正 负值区间 心脏 头脑 用心 爱心 专心 2 关键 主干 一句话 四个二次型 联系密切 把握它们的相互联系 相互转化 相互利 用 便于寻求规律 灵活运用 使学习事半功倍 二 二次函数的解析式 上面提到 四个二次型 的心脏是二次三项式 二次函数是通过其解析式来定义的 要特别注意二次项系数 a 0 二次函数的性质是通过其解析式来研究的 因此 掌握二 次函数首先要会求解析式 进而才能用解析式去解决更多的问题 y ax2 bx c a 0 中有三个字母系数 a b c 确定二次函数的解析式就是确定字母 a b c 的取值 三个未知数的确定需要 3 个独立的条件 其方法是待定系数法 依靠的是 方程思想及解方程组 二次函数有四种待定形式 1 标准式 定义式 f x ax2 bx c a 0 2 顶点式 f x a x h 2 k a 0 3 两根式 零点式 f x a x x1 x x2 a 0 4 三点式 见罗增儒 高中数学竞赛辅导 过三点 A x1 f x1 B x2 f x2 C x3 f x3 的二次函数可设为 f x a1 x x2 x x3 a2 x x1 x x3 a3 x x1 x x2 把 ABC 坐标依次代入 即令 x x1 x2 x3 得 f x1 a1 x1 x2 x1 x3 f x2 a2 x2 x1 x2 x3 f x3 a3 x3 x1 x3 x2 解之 得 a1 f x1 x1 x2 x1 x3 a2 f x2 x2 x1 x2 x3 a3 f x3 x3 x1 x3 x2 从而得二次函数的三点式为 f x f x1 x1 x2 x1 x3 x x2 x x3 f x2 x2 x1 x2 x3 x x1 x x3 f x3 x3 x1 x3 x2 x x1 x x2 根据题目所给的不同条件 灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式 将会得心应 手 例题讲解 元素与集合的关系元素与集合的关系 1 集合A 42 2 xxyy B axaxyy42 2 A B 求实数a的取值 集合 用心 爱心 专心 3 2 考察所有可能的这样抛物线 22 baxxy 它们与坐标轴各有三个不同的交点 对 于每一条这样的抛物线 过其与坐标轴的三个交点作圆 证明 所有这些圆周经过一定 点 3 抛物线cbxxy 2 的顶点位于区域 10 10 yxyxG内部或边界上 求b c的取值范围 4 设x p时 二次函数 xf有最大值 5 二次函数 xg的最小值为 2 且p 0 xf xg 1316 2 xx pg 25 求 xg的解析式和p值 5 已知 0 x 1 xf 0 2 2 a a axx xf的最小值为m 1 用a表示m 2 求m的最大值及此时a的值 6 函数 xf 4 9 433 22 mxx x m 1 m 该函数的最大值是 25 求该函数 取最大值时自变量的值 7 一幢k 2 层楼的公寓有一部电梯 最多能容纳k 1 个人 现有k 1 个学生同时在 第一层楼乘电梯 他们中没有两人是住同一层楼的 电梯只能停一次 停在任意选择的一 层 而对每一个学生而言 自已往下走一层感到一分不满意 而往上走一层感到 2 分不满意 问电梯停在哪一层 可使不满意的总分达到最小 用心 爱心 专心 4 8 已知方程 1 1 222 xaax 其中a 1 证明 方程的正根比 1 小 负根比 1 大 9 若抛物线2 2 axxy与连接两点M 0 1 N 2 3 的线段 包括M N两 点 有两个相异的交点 求a的取值范围 10 设 1 x 2 x 3 x 4 x 2 且 2 x 3 x 4 x 1 x 证明 4321 2 4321 4 xxxxxxxx 11 定义在R上的奇函数 xf 当x 0 时 xf xx2 2 另一个函数y xg的定 义域为 a b 值域为 ab 1 1 其中a b a b 0 在x a b 上 xf xg 问 是否 存在实数m 使集合 2 mxyyxbaxxgyyx 恰含有两个元素 例题答案 1 解 A B分别表示函数42 2 xxy与函数axaxy42 2 的值域 由 3 1 42 22 xxx 3 知A 3 而B受参数a的影响 要进行讨论 a 0 时 xy2 值域是R符合条件A B a 0 时 xf axax42 2 是二次函数 如果a 0 该函数的值域为 a a 1 4 这时A B不成立 如果a 0 时 由 3 a a 1 4 得 用心 爱心 专心 5 3 1 4 0 a a a 0 a 1 综上所述 a的可取值集合为 a 0 a 1 说明 参数a的取值决定了函数 xf axax42 2 的类别及性质 因而对该函数的值域 有影响 为了由A B求出a的允许值范围 必须对参数a分情况讨论 2 证明 设抛物线 22 baxxy 与x轴的交点为 1 x 0 2 x 0 由韦达定理知 2 21 bxx 0 因为b 0 则axxy 2 与坐标轴只有两个不同的交点 故点 1 x 0 2 x 0 在坐标原点的两侧 又因为1 2 21 bxx 由相交弦定理的逆定理知 点 1 x 0 2 x 0 0 2 b 0 1 在同一个圆周上 即过抛物线与坐标轴的三个交 点 1 x 0 2 x 0 0 2 b 的圆一定过定点 0 1 于是所有的这些圆周均经过 一定点 0 1 3 解 抛物线的顶点坐标为 4 4 2 2 bcb 故 1 4 4 0 1 2 0 2 bc b 1 44 02 22 b c b b 上式即为b c的取值范围 4 解 由题设 pf 5 pg 25 pgpf 1316 2 pp 所以 1316 2 pp 30 解得 p 1 p 17 舍去 由于 xf在x 1 时有最大值 5 故 设 xf 0 5 1 2 axa 所以 xg 1316 2 xx xf axaxa 8 8 2 1 2 因 xg的最小值 为 2 故2 1 4 3 4 8 1 4 2 a aaa 所以2 a 从而 xg 10123 2 xx 5 解 1 把 xf改写成 xf 42 2 2 2 aaa x 于是知 xf是顶点为 42 2 2 aaa 开口向上的抛物线 又因为x 0 1 故当 0 2 a 1 即 0 a 2 时 用心 爱心 专心 6 xf的最小值为 42 2 2 aaa f 当 2 a 1 即a 2 时 xf有最小值 2 1 1 a f 于是 2 2 1 20 42 2 a a a aa m 2 当a 2 时 2 1 a 的值小于 0 而当 0 a 2 时 42 2 aa 4 1 1 4 1 2 a 它的最 大值为 4 1 当a 1 时取得 故m的最大值为 4 1 此时a 1 说明 对于某些在给定区间上的二次函数最值问题 往往需要把顶点和区间端点结合起来考 虑 6 分析 限定在区间 m 1 m 上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况 当 x可取任意实数时 二次函数 4 9 433 22 mxx的图象是对称轴为 2 1 x开口向下的 抛物线 2 1 与区间 m 1 m 的位置关系决定了已知函数的单调状况 因此要分区间讨 论 当 2 1 m 1 m 即 2 3 2 1 m时 最大值应是34 2 1 2 mf 由34 2 m 25 m 2 2 22 2 11 m得 不符合 2 3 2 1 m的条件 可见m 2 3 2 1 当 2 1 1 m 即m 2 3 时 函数 xf 4 9 433 22 mxx x m 1 m 是 增函数 可见25 4 15 9 1 2 mmmf 解之得m 2 5 或m 2 23 其中m 2 23 不 合m 2 3 的条件 舍去 可见 1 m 1 2 5 2 3 当 2 1 m 即m 2 1 时 函数 xf 4 9 433 22 mxx是 m 1 m 是减函 数 可见25 4 9 3 2 mmmf 解之得m 2 7 或m 2 13 其中m 2 7 不合m 2 1 的 条件 舍去 由此知m 2 13 综上所述 当x 2 3 或x 2 13 时 函数 xf有最大值 25 说明 由点 2 1 与区间 m 1 m 的位置关系引起的分类讨论是 形 对 数 的引导作 用 本题中虽然只是求函数取最大值时的自变量x的值 没有问m的值 但这个x值与m值 有直接关系 所以要先求m再求x 7 解 设电梯停在第x层 则不满意的总分为S 1 2 x 2 用心 爱心 专心 7 2 1 2 k x 1 54 3 2 1 22 kkxkx 所以当x 6 54 k N时 S最 小 其中 aN表示最接近于a的整数 例如 4 6 3 3 3 NN 32 5 2 2 1 2 或 NN 故当电梯停在 6 54 k N时 不满意总分最小 8 证明 原方程整理后 得 222 122aaxxa 0 令 xf 222 122aaxxa 则 xf是开口向上的抛物线 且01 0 2 af 故此二次函数 xf 0 有一个正根 一个 负根 要证明正根比 1 小 只须证0 1 f 要证明负根比 1 大 只须证 1 f 0 因 为 0 1 122 1 0 1 122 1 222 222 aaaaf aaaaf 从而命题得证 9 解 易知过两点 0 1 2 3 的直线方程为1 xy 而抛物线2 2 axxy与 线段MN有两个交点就是方程2 2 axx1 x在区间 0 2 上有两个有两个不等的实 根 令1 1 2 xaxxf 则 032 2 01 0 04 1 2 2 1 0 2 aff a a 解得a的范围为 2 3 a 1 说明 利用二次函数来研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段 10 证明 令a 2 x 3 x 4 x 432 xxxb 则原不等式为bxax 1 2 1 4 即 2 1 2 1 2 2axbax 0 令 xf 2 2 2 2axbax 则只需证明 1 xf 0 因 164 2 4 22 abbaba 而 424332432 432 111 xxxxxxxxx xxx b a 1 4 3 4 1 4 1 4 1 所以ab 从而 0 xf与x轴有两个不同的交点 易知这两个交 点为 22 22 abbabv abbabu 下证 1 x vu 33 1 axa 3 1 a a x 只需证 a a 3 vu 即va a u 3 由于aababbabv 2 22 3 3 1 3 4 1 22 22 22 aa a b a b a abb a abbabbabu 所以 1 x vu 从而必有 1 xf 0 用心 爱心 专心 8 解法二 只需证明 1 xf 0 而ax a 1 3 因此只需证0 3 0 a faf而 4 baaaf 34 9 4 3 baa a f 由 4 3 b a 可证得0 3 0 a faf 说明 通过构造二次函数 然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题 往往会使问题 简化 11 分析 mxyyx 2 是以y轴为对称轴由y 2 x的图象平移所形成的抛物线 系 对给定的m它表示一条抛物线 条件 2 mxyyxbaxxgyyx 恰含有两个元素的意思是函数y xg x a b 的图象与抛物线mxy 2 恰有两个交点 首先要弄清楚y xg x a b 进而作出它的图象 容易求出奇函数y xf在x 0 时的解析式是 xf xx2 2 即 xf 0 2 0 2 2 2 xxx xxx 函数y xg的定义域为 a b 值域为 ab 1 1 其中a b a b 0 这表明 ab ba 11 可见a b同号 也就是说y xg x a b 的图象在第一或第三 象限内 根据 xf xg x a b 以及 xf的图象可知 函数 xg的图象如所示曲线的一部分 值域与函数的单调状况有关 又与定义域有关 如果只考虑 0 a b 2 或 2 a b 0 两种情况 不能准确地用 a b表示出值 域区间的端点 因此要把区间 0 2 2 0 再分细一些 由图中看出 当a b 0 时 考虑以下三种情况较好 0 a b 1 0 a 1 b 1 a b 2 如果 0 a b 1 那么 a 1 1 但是x 0 1 时 xf 1 这与 xg的值域区间 ab 1 1 的右端点大于 1 矛盾 可见不出现 0 a b 1 的情形 如果 1 a b 2 由图看出 xg是减函数 可见 aaag a bbbg b 2 1 2 1 2 2 整理得 用心 爱心 专心 9 0 1 1 0 1 1 2 2 bbb aaa 考虑到 1 a b 2 的