【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用3．2导数在函数单调性、极值中的应用教学案 理 新人教A版

1 3 23 2 导数在函数单调性 极值中的应用导数在函数单调性 极值中的应用 考考纲纲要要求求 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区 间 其中多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极 小值 其中多项式函数一般不超过三次 1 函数的单调性与导数 2 函数的极值与导数 1 函数的极小值 若函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 且f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数的极 小值点 f a 叫做函数的极小值 2 函数的极大值 若函数y f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 且f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数的极 大值点 f b 叫做函 数的极大值 和 统称为极值 1 2012 陕西高考 设函数f x ln x 则 2 x A x 为f x 的极大值点 1 2 B x 为f x 的极小值点 1 2 C x 2 为f x 的极大值点 D x 2 为f x 的极小值点 2 若函数y a x3 x 的递减区间为 则a的取值范围是 3 3 3 3 A a 0 B 1 a 0 C a 1 D 0 a 1 3 函数y xsin x cos x在 3 内的单调增区间为 A B 3 2 3 2 5 2 C D 2 5 2 3 4 已知f x x3 ax在 1 上是单调增函数 则a的最大值是 5 已知函数f x ax3 bx2 c 其导函数f x 的图象如图所示 则函数f x 的极 小值是 2 一 利用导数研究函数的单调性 例 1 已知a R R 函数f x x2 ax ex x R R e 为自然对数的底数 1 当a 2 时 求函数f x 的单调递增区间 2 函数f x 是否为 R R 上的单调函数 若是 求出a的取值范围 若不是 请说明理 由 方法提炼方法提炼 1 导数法求函数单调区间的一般流程 求定义域求导数f x 求f x 0在 定义域内的根 用求得的根划 分定义区间 确定f x 在各个 开区间内的符号 得相应开区间 上的单调性 提醒 当f x 不含参数时 也可通过解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单 调递增 或递减 区间 2 导数法证明函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 1 求f x 2 确认f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 f x 0 时为增函数 f x 0 时为减函数 3 已知函数的单调性 求参数的取值范围 应用条件f x 0 或f x 0 x a b 转化为不等式恒成立问题求解 提醒 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0 是f x 在 a b 内 单调递增的充分不必要条件 请做演练巩固提升 1 5 二 函数的极值与导数 例 2 1 已知实数a 0 函数f x ax x 2 2 x R R 有极大值 32 1 求函数f x 的单调区间 2 求实数a的值 例 2 2 已知函数f x x3 mx2 nx 2 的图象过点 1 6 且函数g x f x 6x的图象关于y轴对称 1 求m n的值及函数y f x 的单调区间 2 若a 0 求函数y f x 在区间 a 1 a 1 内的极值 方法提炼方法提炼 利用导数研究函数的极值的一般流程 请做演练巩固提升 3 4 书写不规范而致误 典例 设函数f x x ex 1 x2 求函数f x 的单调增区间 1 2 错解 错解 f x ex 1 xex x ex 1 x 1 令f x 0 得 x 1 或x 0 3 所以函数f x 的单调增区间为 1 0 错因 错因 结论书写不正确 也就是说不能用符号 连接 应为 1 和 0 正解 正解 因为f x x ex 1 x2 1 2 所以f x ex 1 xex x ex 1 x 1 令f x 0 即 ex 1 x 1 0 得x 1 或x 0 所以函数f x 的单调增区间为 1 和 0 答题指导 1 利用导数求解函数的单调区间是高考的热点内容 这类问题求解并不难 即只需由f x 0 或f x 0 求其解即得 但在求解时会因书写不规范而导致失 分 2 对于含有两个或两个以上的单调增区间 或单调减区间 中间用 或 和 连 接 而不能用符号 连接 1 2012 辽宁高考 函数y x2 ln x的单调递减区间为 1 2 A 1 1 B 0 1 C 1 D 0 2 2012 重庆高考 设函数f x 在 R R 上可导 其导函数为f x 且函数f x 在 x 2 处取得极小值 则函数y xf x 的图象可能是 3 函数f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 既有极大值又有极小值 则a的取值范围是 4 函数f x x3 3x2 1 在x 处取得极小值 5 设f x 其中a为正实数 ex 1 ax2 1 当a 时 求f x 的极值点 4 3 2 若f x 为 R R 上的单调函数 求a的取值范围 4 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 单调递增 单调递减 2 1 都小 f x 0 f x 0 2 都大 f x 0 f x 0 极大值 极小值 基础自测基础自测 1 D 解析 解析 由f x 0 可得x 2 2 x2 1 x 1 x 1 2 x 当 0 x 2 时 f x 0 f x 单调递减 当x 2 时 f x 0 f x 单调递 增 故x 2 为f x 的极小值点 2 A 解析 解析 y a 3x2 1 3a x 3 3 x 3 3 当 x 时 3 3 3 3 0 x 3 3 x 3 3 要使y 0 必须取a 0 3 B 解析 解析 y xsin x cos x y xcos x 当x 3 时 要使y xcos x 0 只要 cos x 0 结合选项知 只有 B 满足 4 3 解析 解析 f x x3 ax在 1 上是单调增函数 f x 3x2 a 0 在 1 上恒成立 即a 3x2在 1 上恒成立 而当x 1 时 3x2 min 3 12 3 a 3 故amax 3 5 c 解析 解析 由f x 的图象知 x 0 是f x 的极小值点 f x 极小值 f 0 c 考点探究突破考点探究突破 例 1 解 1 当a 2 时 f x x2 2x ex f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex 令f x 0 即 x2 2 ex 0 ex 0 x2 2 0 解得 x 22 函数f x 的单调递增区间是 22 2 若函数f x 在 R R 上单调递减 则f x 0 对x R R 都成立 即 x2 a 2 x a ex 0 对x R R 都成立 ex 0 x2 a 2 x a 0 对x R R 都成立 a 2 2 4a 0 即a2 4 0 这是不可能的 故函数f x 不可能在 R R 上单调递减 若函数f x 在 R R 上单调递增 则f x 0 对x R R 都成立 即 x2 a 2 x a ex 0 对x R R 都成立 ex 0 x2 a 2 x a 0 对x R R 都成立 而 a 2 2 4a a2 4 0 故函数f x 不可能在 R R 上单调递增 5 综上可知 函数f x 不可能是 R R 上的单调函数 例 2 1 解 1 f x ax3 4ax2 4ax f x 3ax2 8ax 4a 令f x 0 得 3ax2 8ax 4a 0 a 0 3x2 8x 4 0 x 或x 2 2 3 a 0 当x 或x 2 时 f x 0 2 3 函数f x 的单调递增区间为和 2 2 3 当x 时 f x 0 2 3 2 函数f x 的单调递减区间为 2 3 2 2 当x 时 f x 0 2 3 当x 时 f x 0 2 3 2 当x 2 时 f x 0 f x 在x 时取得极大值 2 3 即a 2 32 a 27 2 3 2 3 2 例 2 2 解 1 由函数f x 的图象过点 1 6 得m n 3 由f x x3 mx2 nx 2 得f x 3x2 2mx n 则g x f x 6x 3x2 2m 6 x n 而g x 的图象关于y轴对称 所以 0 2m 6 2 3 所以m 3 代入 得n 0 于是f x 3x2 6x 3x x 2 由f x 0 得x 2 或x 0 故f x 的单调递增区间是 0 和 2 由f x 0 得 0 x 2 故f x 的单调递减区间是 0 2 2 由 1 得f x 3x x 2 令f x 0 得x 0 或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 0 0 0 2 2 2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 由此可得 当 0 a 1 时 f x 在 a 1 a 1 内有极大值f 0 2 无极小值 当a 1 时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 当 1 a 3 时 f x 在 a 1 a 1 内有极小值f 2 6 无极大值 当a 3 时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 6 综上得 当 0 a 1 时 f x 有极大值 2 无极小值 当 1 a 3 时 f x 有极小值 6 无极大值 当a 1 或a 3 时 f x 无极值 演练巩固提升演练巩固提升 1 B 解析 解析 对函数y x2 ln x求导 得y x x 0 1 2 1 x x2 1 x 令Error 解得x 0 1 因此函数y x2 ln x的单调递减区间为 0 1 故选 B 1 2 2 C 解析 解析 由题意可得f 2 0 而且当x 2 时 f x 0 此时 xf x 0 当x 2 时 f x 0 此时若x 2 0 xf x 0 若 x 0 xf x 0 所以函数y xf x 的图象可能是 C 3 a 2 或a 1 解析 解析 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 f x 3x2 6ax 3 a 2 令 3x2 6ax 3 a 2 0 即x2 2ax a 2 0 函数f x 有极大值和极小值 方程x2 2ax a 2 0 有两个不相等的实根 即 4a2 4a 8 0 a 2 或a 1 4 2 解析 解析 f x x3 3x2 1 f x 3x2 6x 令f x 0 解得x 0 或x 2 令f x 0 解得 0 x 2 所以函数f x 在 0 2 上单调递减 在 2 上单调递增 故f x 在x 2 处取得极小值 5 解 对f x 求导得f x ex 1 ax2 2ax 1 ax2 2 1 当a