曲线经典例题

例例 1 1 已知椭圆已知椭圆的一个焦点为 的一个焦点为 0 0 2 2 求 求的值的值 063 22 mymxm 例例 2 2 已知椭圆的中心在原点 且经过点已知椭圆的中心在原点 且经过点 求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程 03 Pba3 例例 3 3 的底边的底边 和和两边上中线长之和为两边上中线长之和为 3030 求此三角形重 求此三角形重ABC 16 BCACAB 心心的轨迹和顶点的轨迹和顶点的轨迹 的轨迹 GA 例例 4 4 已知已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上 点点在以坐标轴为对称轴的椭圆上 点到两焦点的距离分别为到两焦点的距离分别为PP 和和 过 过点作焦点所在轴的垂线 它恰好过椭圆的一个焦点 求椭圆点作焦点所在轴的垂线 它恰好过椭圆的一个焦点 求椭圆 3 54 3 52 P 方程 方程 例例 5 5 已知椭圆方程已知椭圆方程 长轴端点为 长轴端点为 01 2 2 2 2 ba b y a x 1 A 焦点为 焦点为 是椭圆上一点 是椭圆上一点 2 A 1 F 2 FP 21PA A 求 求 的面积 用的面积 用 表示 表示 21PF F 21PF F ab 例例 6 6 已知动圆已知动圆过定点过定点 且在定圆 且在定圆P 03 A 的内部与其相内切 求动圆圆心的内部与其相内切 求动圆圆心的轨的轨 643 2 2 yxB P 迹方程 迹方程 例例 7 7 已知椭圆已知椭圆 1 1 求过点 求过点且被且被平分平分1 2 2 2 y x 2 1 2 1 PP 的弦所在直线的方程 的弦所在直线的方程 2 2 求斜率为 求斜率为 2 2 的平行弦的中点轨迹方程 的平行弦的中点轨迹方程 3 3 过 过引椭圆的割线 求截得的弦的中点的轨迹方程 引椭圆的割线 求截得的弦的中点的轨迹方程 12 A 4 4 椭圆上有两点 椭圆上有两点 为原点 且有直线为原点 且有直线 斜率满足斜率满足PQOOPOQ 2 1 OQOP kk 求线段求线段中点中点的轨迹方程 的轨迹方程 PQM 例例 8 8 已知椭圆已知椭圆及直线及直线 14 22 yxmxy 1 1 当 当为何值时 直线与椭圆有公共点 为何值时 直线与椭圆有公共点 m 2 2 若直线被椭圆截得的弦长为 若直线被椭圆截得的弦长为 求直线的方程 求直线的方程 5 102 例例 9 9 以椭圆以椭圆的焦点为焦点 过直线的焦点为焦点 过直线1 312 22 yx 上一点上一点作椭圆 要使所作椭圆的长轴最作椭圆 要使所作椭圆的长轴最09 yxl M 短 点短 点应在何处 并求出此时的椭圆方程 应在何处 并求出此时的椭圆方程 M 例例 1010 已知方程已知方程表示椭圆 求表示椭圆 求的取值范围的取值范围 1 35 22 k y k x k 例例 1111 已知已知表示焦点在表示焦点在轴上的椭圆 求轴上的椭圆 求的取的取1cossin 22 yx 0 y 值范围 值范围 例例 1212 求中心在原点 对称轴为坐标轴 且经过求中心在原点 对称轴为坐标轴 且经过和和两点两点 2 3 A 1 32 B 的椭圆方程 的椭圆方程 例例 1313 知圆知圆 从这个圆上任意一点 从这个圆上任意一点向向轴作垂线段 求线段中轴作垂线段 求线段中 1 22 yxPy 点点的轨迹的轨迹 M 例例 1414 已知长轴为已知长轴为 1212 短轴长为 短轴长为 6 6 焦点在 焦点在轴上的椭圆 过它对的左焦点轴上的椭圆 过它对的左焦点x 作倾斜解为作倾斜解为的直线交椭圆于的直线交椭圆于 两点 求弦两点 求弦的长 的长 1 F 3 ABAB 例例 1515 椭圆椭圆上的点上的点到焦点到焦点的距离为的距离为 2 2 为为的中点 则的中点 则1 925 22 yx M 1 FN 1 MF 为坐标原点 的值为为坐标原点 的值为ONO A 4 B 2 C 8 D 2 3 例例 1616 已知椭圆已知椭圆 试确定 试确定的取值范围 使得对于直线的取值范围 使得对于直线1 34 22 yx C m 椭圆 椭圆上有不同的两点关于该直线对称 上有不同的两点关于该直线对称 mxyl 4 C 例例 1717 在面积为在面积为 1 1 的的中 中 建立适当的坐标系 建立适当的坐标系 PMN 2 1 tan M2tan N 求出以求出以 为焦点且过为焦点且过点的椭圆方程 点的椭圆方程 MNP 例例 1818 已知已知是直线是直线 被椭圆被椭圆所截得的线段的中点 求直线所截得的线段的中点 求直线 的的 2 4 Pl1 936 22 yx l 方程 方程 例例 1 若椭圆与双曲线有相同的焦点 01 22 nm n y m x 22 1 xy ab 0 ba F1 F2 P 是两条曲线的一个交点 则 PF1 PF2 的值是 A B C D am am 2 1 22 am am 例例 2 已知双曲线与点 M 5 3 F 为右焦点 若双曲线上有一点 P 使 1 279 22 yx PM 最小 则 P 点的坐标为 PF 2 1 2 渐近线 渐近线 双曲线与直线相约天涯双曲线与直线相约天涯 对于二次曲线 渐近线为双曲线所独有 双曲线的许多特性围绕着渐近 线而展开 双曲线的左 右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交 这一特有的几何 性质不仅很好地界定了双曲线的范围 由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多 所以这一性质被广泛应用于有关解题之中 例例 3 过点 1 3 且渐近线为的双曲线方程是xy 2 1 3 共轭双曲线 共轭双曲线 虚 实易位的孪生弟兄虚 实易位的孪生弟兄 将双曲线的实 虚轴互易 所得双曲线方程为 这两个双曲线就是互 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ba 相共轭的双曲线 它们有相同的焦距而焦点的位置不同 它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围 不一样 它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用 例例 4 4 两共轭双曲线的离心率分别为 证明 1 21 e e 22 12 11 ee 4 等轴双曲线 等轴双曲线 和谐对称和谐对称 与圆同美与圆同美 实 虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线 等轴双曲线的对称性可以与圆为伴 例例 5 5 设 CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦 求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角 通法通法 特法特法 妙法妙法 1 方程法 方程法 为解析几何正名为解析几何正名 解析法的指导思想是函数方程思想 其主要手段是列 解方程 方程组或不等式 例例 6 6 如图 和分别是双曲线的两个焦点 和是以 1 F 2 F 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x AB 为圆心 以为半径的圆与该O 1 FO 双曲线左支的两个交点 且 是等边三角形 则双ABF2 曲线的离心率为 A B C D 35 2 5 31 X Y OF 6 0 M 5 3 P N P N X 3 2 2 转换法 转换法 为解题化归立意为解题化归立意 例例 7 7 直线 过双曲线的右焦点 斜率 k 2 若 与双曲线l1 2 2 2 2 b y a x l 的两个交点分别在左右两支上 则双曲线的离心率 e 的范围是 A e B 1 e C 1 e2355 3 几何法 几何法 使数形结合带上灵性使数形结合带上灵性 例例 8 设为双曲线上的一点 是该双曲线的两P 2 2 1 12 y x 12 FF 个焦 点 若 则的面积为 12 3 2PFPF 12 PFF A B C D 6 31212 324 4 设而不求设而不求 与借舟弃舟同理与借舟弃舟同理 减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求 请看下例 例例 9 9 双曲线的一弦中点为 2 1 则此弦所在的直线方程为 1 22 yx A B C D 12 xy22 xy32 xy32 xy 例例 1010 在双曲线上 是否存在被点 M 1 1 平分的弦 如果存在 求弦所在的直1 2 2 2 y x 线方程 如不存在 请说明理由 5 设参消参 设参消参 换元自如换元自如 地阔天宽地阔天宽 一道难度较大的解析几何综合题 往往牵涉到多个变量 要从中理出头绪 不能不恰当地处理那些非 主要的变量 这就要用到参数法 先设参 再消参 例例 11 11 如图 点为双曲线的左焦点 左准线交轴于点 点 P 是上的一点 已知FClxQl 且线段 PF 的中点在双曲线的左支上 1 FQPQMC 求双曲线的标准方程 C 若过点的直线与双曲线的左右FmC 两支分别交于 两点 设 当ABFAFB 时 求直线的斜率的取值范围 6 mk 双曲线双曲线 1 已知中心在原点 顶点已知中心在原点 顶点 A1 A2在在 x 轴上 离心率轴上 离心率 e 的双曲线过点的双曲线过点 P 6 6 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 求双曲线方程 求双曲线方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 动 动 3 21 直线直线 l 经过经过 A1PA2的重心的重心 G 与双曲线交于不同的两点 与双曲线交于不同的两点 M N 问 问 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 是否存在直线是否存在直线 l 使使 G 平分线段平分线段 MN 证明你的结论 证明你的结论 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 已知双曲线1 2 2 2 y x 问过点 A 1 1 能否作直线l 使l与双曲线交于 P Q 两 点 并且 A 为线段 PQ 的中点 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 3 3 已知点已知点 N 1 2 过点 过点 N 的直线交双曲线的直线交双曲线于于 A B 两点 且两点 且 1 1 2 2 2 y x 2 1 OBOAON X Y OF l A y xO M F P Q B m l 求直线求直线 AB 的方程 的方程 2 若过 若过 N 的直线的直线 l 交双曲线于交双曲线于 C D 两点 且两点 且 那么 那么0 ABCD A B C D 四点是否共圆 为什么 四点是否共圆 为什么 例例 1 1 点M与点F 4 0 的距离比它到直线l x 6 0 的距离 4 2 求点M的轨迹方 程 例例 2 2 斜率为 1 的直线l经过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线相交于点A B 求线段A B 的长 例例 3 3 1 已知抛物线的标准方程是y2 10 x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的焦点是F 0 3 求它的标准方程 3 已知抛物线方程为y mx2 m 0 求它的焦点坐标和准线方程 4 求经过P 4 2 点的抛物线的标准方程 例例 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程 并求对应抛物线的准线方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线 x 2y 4 0 上 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 常用结论 过抛物线 y2 2px 的焦点 F 的弦 AB 长的最小值为 2p 设 A x1 y 1B x2 y2 是抛物线 y2 2px 上的两点 则 AB 过 F 的充要条件是 y1y2 p2 设 A B 是抛物线 y2 2px 上的两点 O 为原点 则 OA OB 的充要条件是直线 AB 恒过定点 2p 0 例例 5 5 过抛物线y2 2px p 0 的顶点O作弦OA OB 与抛物线分别交于A x1 y1 B x2 y2 两点 求证 y1y2 4p2 弦的问题弦的问题 例例 1 A B 是抛物线 y2 2px p 0 上的两点 满足 OA OB O 为坐标原点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头求证 1 A B 两点的横坐标之积 纵坐标之积为定值 2 直线 AB 经过一个定点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 作 OM AB 于 M 求点 M 的轨迹方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例例 2 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2 x 上移动 AB 的中点为 M 求点 M 到 y 轴的最短距离 并求此时点 M 的坐标 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例例 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头设一动直线过定点 A 2 0 且与抛物线 相交于 B C 两点 点 B C 在轴上2 2 xyx 的射影分别为 P 是线段 BC 上的点 且适合 求的重心 Q 的轨迹 11 C B 1 1 CC BB PC BP POA 方程 并说明该轨迹是什么图形 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例例 4 已知抛物线 焦点为 F 一直线 与抛物线交于 A B 两点 且 2 2 0 ypxp l 且 AB 的垂直平分线恒过定点 S 6 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 8 BFAF 求抛物线方程 求面积的最大值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ABS 例例 5 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2 x 上移动 AB 的中点为 M 求点 M 到 y 轴的最短距离 并求此时点 M 的坐标 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 综合类综合类 几何几何 例例 1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P Q 通过点 P 和抛物线顶点的直线交 准线于点 M 如何证明直线 MQ 平行于抛物线的对称轴 例例 2 已知过抛物线的焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A B 两点 0 2 2 ppxy 点 R 是含抛物线顶点 O 的弧 AB 上一点 求 RAB 的最大面积 例例 3 直线过点 与抛物线交于 两点 P 是线段的中 1 l 0 1 Mxy4 2 1 P 2 P 1 P 2 P 点 直线过 P 和抛物线的焦点 F 设直线的斜率为 k 2 l 1 l 1 将直线的斜率与直线的斜率之比表示为 k 的函数 2 l 1 l kf 2 求出的定义域及单调区间 kf 例例 4 如图所示 直线 l 过抛物线的焦点 并且与这抛pxy2 2 物线相交于 A B 两点 求证 对于这抛物线的任何给定的一 条弦 CD 直线 l 不是 CD 的垂直平分线 例例 5 设过抛物线的顶点 O 的两弦 0 2 2 ppxy OA OB 互相垂直 求抛物线顶点 O 在 AB 上射影 N 的轨迹方 程 例例 6 如图所示 直线和相交于点 M 点 1 l 2 l 1 l 2 l 1 lN 以 A B 为端点的曲线段 C 上的任一点到的距离与到点 N 的 2 l 距离相等 若 AMN 为锐角三角形 且 建立适当的坐标系 7 AM3 AN6 BN 求曲线段 C 的方