2.基本不等式求最值

高考数学考点高考数学考点 不等式不等式 1 均值不等式求最值均值不等式求最值 一一 知识要点 知识要点 1 基本不等式及相关概念 1 均值不等式 2 ab ab 成立条件 0 0 ab 等号成立条件 当且仅当 a b 时 两边相等 2 算数平均数 值 与几何平均数 值 设 则 a b 的算数平均值为 几何平均值为 因0 0ab 2 ab ab 此 均值不等式可描述为 两个正数的算数平均值大于或等于它们的 几何平均值 均值不等式也称为基本不等式 注意 均值不等式可以推广为 n 个正数的情形 2n 1 1 n n n aa aa n 2 均值不等式及相关变形 1 已知 那么 当且仅当 a b 时 等号成立 ab AA 22 2abab 2 a b 同号 2 ba ab a b 异号 2 ba ab 1 2x x 0 x 1 2x x 0 x 高考数学考点高考数学考点 不等式不等式 2 3 22 2 11 22 abab ab ab 0 0ab 4 22 2 22 abab ab ab AA 5 则 等号当且仅当 a b 时成立 a b A 114 abab 3 最值原理 1 两个正数的和为定值时 它们的积有最大值 即若 且0 0ab 为定值 则 等号当且仅当 a b 时成立 abM M 2 4 M ab 即为定值时 abM M 2 max 4 M ab 2 两个正数的积为定值时 它们的和有最小值 即若 且0 0ab 为定值 则 等号当且仅当 a b 时成立 abP P 2abP 即为定值时 abP P min 2abP 二二 解题思路解题思路 1 运用均值不等式求最值时 请注意 各项或因式符号相同 一般均为正值 和或积为定值 各项或因式可以相等 即 一正 二定 三相等 此三个条 件缺一不可 2 常用技巧 高考数学考点高考数学考点 不等式不等式 3 拆项 添项 配凑 此法常用于求分式型函数的最值问题中 如函数 22 710 1 5 1 4 11 xxxx f x xx 常量代换 此法常用于 已知 a b x y 均为正数 求的最小值 axbym 11 xy 和 已知 a b x y 均为正数 求的最小值 两类题型 1 ab xy xy 例如 求的最小值 x y A26 xy 11 xy 求的最小值 x y A 23 1 xy xy 提示 法一本例中的常量代换方法 法二考虑三角代换 三 求解步骤求解步骤 将待求最值的表达式变形为两项的和或者两项的乘积的形式 根据均值不等式把变形后的代数式放缩为一个定值 写出等号成立的条件 求出最值 四四 高考题演练高考题演练 1 天津高考 已知 则当 a 时 取得最小值 2 0abb 1 2 a ab 提示 1 2 福建高考 若 则的取值范围是 提示 2221 xy xy 高考数学考点高考数学考点 不等式不等式 4 A B C D 0 2 2 0 2 2 3 四川高考 已知函数在 x 3 时取得最小值 4 0 0 a f xxxa x 则 a 提示 3 4 重庆高考 已知 则的最小值是 0 0 228xyxyxy 2xy 提示 4 A B C D 34 9 2 11 2 5 陕西高考 设 则下列不等式中正确的是 提示 50ab A B 2 ab abab 2 ab aabb C D 2 ab aabb 2 ab abab 6 四川高考 设 则的最小值0abc 22 11 21025 aacc aba ab 是 提示 6 A B C D 242 55 7 浙江高考 设 若则的最大值是 x y A 22 41 xyxy 2xy 提示 7 8 湖南高考 设 且 则的最小值为 x y A0 xy 22 22 11 4 xy yx 提示 8 9 浙江高考 设 且满足则的最大值是 x y A 22 1 xyxy xy 提示 9 高考数学考点高考数学考点 不等式不等式 5 参考答案参考答案 提示 1 常量代换 12 21 24444444 aaaaaabababa abababaabaaba 当且仅当且 即时 原式取得最小值 4 ab ab 0 a 2 2ba a 提示 2 故 进而选 D 1222 222 2 xyxyx y 1 2 2 x y 提示 3 当且仅当时 等号成立 42 44 aa f xxxa xx 4 a x x 则 且 x 3 取最小值 所以 a 36 2 4ax 提示 4 十字相乘得 1 12 9xy 1 21 2 1 21 6xyxy 进而选 B 提示 5 不等式基本性质及均值不等式 或赋值法 可得 B 提示 6 当且仅当时 等号成立 所以 1144 babbaba 2ab 高考数学考点高考数学考点 不等式不等式 6 2222 2 114 2102521025 aaccaacc aba aba 当且仅当时 等号成立 222 22 44 25 5 a aca aa 5ac 当且仅当时 等号成立 2 2 4 24a a 2a 所以当 原式取最小值 4 故选 B 22 2 25 abc 提示 7 配方法 2222 3 4 2 31 2 21 2 xyxyxyxyxyxy 因 所以 2 2 22 2 xy x yxy 222 3282 102 10 2 1 2 2 22555 xy xyxyxy 提示