概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结平面向量

概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结平面向量平面向量 一 向量有关概念一 向量有关概念 1 向量的概念向量的概念 既有大小又有方向的量 注意向量和数量的区别 向量常用有向 线段来表示 注意不能说向量就是有向线段不能说向量就是有向线段 为什么 向量可以平移 如 如 已知 A 1 2 B 4 2 则把向量按向量 1 3 平移后得到的向量是AB a 答 3 0 2 零向量零向量 长度为 0 的向量叫零向量 记作 注意零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的 0 3 单位向量单位向量 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与共线的单位向量是AB AB AB 4 相等向量相等向量 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量 相等向量有传递性 5 平行向量 也叫共线向量 平行向量 也叫共线向量 方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量 ab 记作 规定零向量和任何向量平行规定零向量和任何向量平行 ab 提醒提醒 相等向量一定是共线向量 但共线向量不一定相等 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念 两个向量平行包含两个向量 共线 但两条直线平行不包含两条直线重合 平行向量无传递性平行向量无传递性 因为有 0 三点共线共线 ABC AB AC 6 相反向量相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量 的相反向量是 如如aa 下列命题 1 若 则 2 两个向量相等的充要条件是它们的起点ab ab 相同 终点相同 3 若 则是平行四边形 4 若是平行四边ABDC ABCDABCD 形 则 5 若 则 6 若 则 其中正确的是ABDC ab bc ac ab bc ac 答 4 5 二 向量的表示方法二 向量的表示方法 1 几何表示法 用带箭头的有向线段表示 如 注意起点在前 终点在后 AB 2 符号表示法 用一个小写的英文字母来表示 如 等 abc 3 坐标表示法 在平面内建立直角坐标系 以与轴 轴方向相同的两个单位向量 xyi 为基底 则平面内的任一向量可表示为 称为向量的ja axiy jx y x ya 坐标 叫做向量的坐标表示 如果向量的起点在原点向量的起点在原点 那么向量的坐标a x ya 与向量的终点坐标相同 三 平面向量的基本定理三 平面向量的基本定理 如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对该平 面内的任一向量 a 有且只有一对实数 使 a e1 e2 如如 1 2 1 2 1 1 若 则 1 1 ab 1 1 1 2 c c 答 13 22 ab 2 2 下列向量组中 能作为平面内所有向量基底的是 A B 12 0 0 1 2 ee 12 1 2 5 7 ee C D 12 3 5 6 10 ee 12 13 2 3 24 ee 答 B 3 3 已知分别是的边上的中线 且 则可用向 AD BE ABC BC AC ADa BEb BC 量表示为 a b 答 24 33 ab 4 4 已知中 点在边上 且 则ABC DBC DBCD2 ACsABrCD 的值是 sr 答 0 四 实数与向量的积四 实数与向量的积 实数与向量的积是一个向量 记作 它的长度和方向规 a a 定如下 当 0 时 的方向与的方向相同 当0 当 P 12 点在线段 P P 的延长线上时 1 当 P 点在线段 P P 的延长线上时 12 21 若点 P 分有向线段所成的比为 则点 P 分有向线段所成的比10 12 PP 21 P P 为 如如 1 若点分所成的比为 则分所成的比为 PAB 3 4 ABP 答 7 3 3 3 线段的定比分点公式 线段的定比分点公式 设 分有向线段所成的 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 比为 则 特别地 当 1 时 就得到线段 P P 的中点公式 12 12 1 1 xx x yy y 12 在使用定比分点的坐标公式时 应明确 的意义 12 12 2 2 xx x yy y x y 11 x y 22 xy 即分别为分点 起点 终点的坐标 在具体计算时应根据题设条件 灵活地确定起点 分点和终点 并根据这些点确定对应的定比 如如 1 1 若 M 3 2 N 6 1 且 则点 P 的坐标为 1 M PM N 3 答 7 6 3 2 2 已知 直线与线段交于 且 则等 0 3 2 A aBa 1 2 yax ABM2AMMB a 于 答 或 十一 平移公式十一 平移公式 如果点按向量平移至 则 曲 P x y ah k P x y xxh yyk 线按向量平移得曲线 注意注意 1 1 函数按向量平移 0f x y ah k 0f xh yk 与平常 左加右减 有何联系 2 2 向量平移具有坐标不变性 可别忘了啊 如如 1 1 按向量把平移到 则按向量把点平移到点 a 2 3 1 2 a 7 2 答 2 2 函数的图象按向量平移后 所得函数的解析式是 xy2sin a12cos xy 则 a 答 1 4 1212 向量中一些常用的结论 向量中一些常用的结论 1 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量 要注意运用 2 特别地 当同向或有同向或有 ababab a b 0 abab 当反向或有反向或有 当不共线不共线 abab a b 0 abab abab a b 这些和实数比较类似 ababab 3 在中 若 则其重心的坐标为ABC 112233 A x yB xyC xy 如如 123123 33 xxxyyy G 若 ABC 的三边的中点分别为 2 1 3 4 1 1 则 ABC 的重 心的坐标为 答 2 4 3 3 为的重心 特别地为 1 3 PGPAPBPC GABC 0PAPBPCP 的重心 ABC 为的垂心 PA PBPB PCPC PAP ABC 向量所在直线过的内心 是的角平分线所在直 0 ACAB ABAC ABC BAC 线 的内心 0AB PCBC PACA PBP ABC 3 若 P 分有向线段所成的比为 点为平面内的任一点 则 12 PP M 特别地为的中点 12 1 MPMP MP P 12 PP 12