【三维设计】（江苏专版）2013高中数学二轮专题 第三部分 专题3配套专题检测

1 三维设计三维设计 江苏专版 江苏专版 20132013 高中数学二轮专题高中数学二轮专题 第三部分第三部分 专题专题 3 3 配套专题检测配套专题检测 1 定义集合运算A B z z xy x y z A y B 设集合A 0 1 B 2 3 则集合A B的所有元素之和为 解析 当x 0 时 z 0 当x 1 y 2 时 z 6 当x 1 y 3 时 z 12 故所 有元素之和为 18 答案 18 2 若实数t满足f t t 则称t是函数f x 的一个次不动点 设函数f x ln x与函数g x ex 其中 e 为自然对数的底数 的所有次不动点之和为m 则m 解析 在同一直角坐标系中画出函数y ln x y ex与y x的图象 如图 由图可知函数y ln x与y x的图象有惟一的交点 设为 t t 又函数y ex与y x的图象也有惟一的交点 其坐标为 t t 所以函数f x ln x与g x ex的次不动点互为相反数 所以 m 0 答案 0 3 规定记号 表示一种运算 即a b a b a b R 若 1 k 3 则 ab 函数f x k x的值域是 解析 由 1 k 3 得 1 k 3 解得k 1 所以f x 1 x x 0 f x 1 kx 在 0 内是增函数 故f x 1 即f x 的值域为 1 答案 1 4 计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的记数制 采用数字 0 9 和字母A F共 16 个记数符号 这些符号与十进制的数的对应关系如下表 十六进制 0123456789ABCDEF 十进制 0123456789101112131415 例如 用十六进制表示 E D 1B 则A B 解析 A 10 B 11 又A B 10 11 110 16 6 14 在 16 进制中 A B 6E 答案 6E 5 设 是R上的一个运算 A是R的非空子集 若对任意a b A有a b A 则称 A对运算 封闭 下列数集对加法 减法 乘法和除法 除数不等于零 四则运算都封闭的 是 自然数集 整数集 有理数集 无理数集 2 解析 中 1 2 1 不是自然数 即自然数集不满足条件 中 1 2 0 5 不是整 数 即整数集不满足条件 中有理数集满足条件 中 2 不是无理数 即无理 22 数集不满足条件 答案 6 设集合A x x2 x 2 和B x x 2 其中符号 x 表示不大于x的最大整 数 则A B 解析 x AB 其中真命题的是 填序号 解析 如图 1 题目中定义的 距离 AB x1 x2 y1 y2 实际上 AB 的几何意义是 AP PB 对于命题 如图 2 当C在线段AB上时 有 AC 表示 3 AE CE CB 表示 CD DB 而 AB 表示 AP PB 由图可知 AP AE CD PB CE DB AC CB AB 故 正确 对于 如图 3 不妨令C 为原点 A 0 1 B 2 0 经验证知 AC 2 1 CB 2 4 AB 2 2 1 2 9 显然 不正确 对于 也可以取上面的特例情 况 AC CB 1 2 3 AB 3 故 不成立 答案 9 将函数y x 的图象绕坐标原点逆时针旋转 为锐 x2 2x 33 0 2 角 若所得曲线仍是一个函数的图象 则 的最大值为 解析 作出函数y x 0 2 的图象 圆 x 1 2 y 2 4 的 x2 2x 333 一部分 落在x轴及其上方 考虑圆 x 1 2 y 2 4 在点 0 0 处的切线y kx 由 3 2 k 的最大值为切线y kx逆时针旋转到与y轴重合时所转过的角 k 3 k2 1 3 3 的最大值为 3 答案 3 10 在平面直角坐标系中 设三角形ABC的顶点分别为A 0 a B b 0 C c 0 点P 0 p 在线段AO上 异于端点 设a b c p均为非零实数 直线BP CP分别交 AC AB于点E F 一同学已正确算得OE的方程 x y 0 则OF的方程 1 b 1 c 1 p 1 a x y 0 1 p 1 a 解析 画草图 由对称性可猜想填 事实上 由截距式可得直线AB 1 直 1 c 1 b x b y a 线CP 1 两式相减得x y 0 显然直线AB与CP的交点F满足此方 x c y p 1 c 1 b 1 p 1 a 程 又原点O也满足此方程 故为所求直线OF的方程 答案 1 c 1 b 11 对于函数f1 x f2 x h x 如果存在实数a b使得h x a f1 x b f2 x 那么称h x 为f1 x f2 x 的生成函数 1 下面给出两组函数 h x 是否分别为f1 x f2 x 的生成函数 并说明理由 第一组 f1 x sin x f2 x cos x h x sin x 3 第二组 f1 x x2 x f2 x x2 x 1 h x x2 x 1 4 2 设f1 x log2x f2 x logx a 2 b 1 生成函数h x 若不等式h 4x 1 2 th 2x 0 f2 x x 0 取a 0 b 0 生成函数h x 图象的最低点坐 1 x 标为 2 8 若对于任意正实数x1 x2且x1 x2 1 试问是否存在最大的常数m 使h x1 h x2 m恒成立 如果存在 求出这个m的值 如果不存在 请说明理由 解 1 设asin x bcos x sin x 3 即asin x bcos x sin x cos x 1 2 3 2 取a b 所以h x 是f1 x f2 x 的生成函数 1 2 3 2 设a x2 x b x2 x 1 x2 x 1 即 a b x2 a b x b x2 x 1 则Error 该方程组无解 所以h x 不是f1 x f2 x 的生成函数 2 h x 2f1 x f2 x 2log2x logx log2x 1 2 h 4x th 2x 0 即 log2 4x tlog22x 0 也即 2 log2x t 1 log2x 0 因为x 2 4 所以 1 log2x 2 3 则t 1 2 log2x 1 log2x 1 1 log2x 函数y 1 在 2 4 上单调递增 1 1 log2x ymax 故t0 b x 则h x ax 2 b xab Error 解得Error 所以h x 2x x 0 8 x 假设存在最大的常数m 使h x1 h x2 m恒成立 于是设u h x1 h x2 4 x1 4 x1 x2 4 x2 5 4x1x2 16 64 x1x2 x1 x2 x2 x1 4x1x2 16 4x1x2 16 4x1x2 64 x1x2 x2 1 x2 2 x1x2 64 x1x2 x1 x2 2 2x1x2 x1x2 80 x1x2 32 令t x1x2 则t x1x2 2 x1 x2 2 1 4 即t 0 1 4 设u 4t 32 t 80 t 0 1 4 设 0 t10 所以u 4t 32 在t 上单调递减 1 16 80 t 0 1 4 u u 289 故存在最大的常数m 289 1 4 12 设f x 是定义在区间 1 上的函数 其导函数为f x 如果存在实数a 和函数h x 其中h x 对任意的x 1 都有h x 0 使得f x h x x2 ax 1 则称函数f x 具有性质P a 1 设函数f x ln x x 1 其中b为实数 b 2 x 1 求证 函数f x 具有性质P b 求函数f x 的单调区间 2 已知函数g x 具有性质P 2 给定x1 x2 1 x11 1 若 g g 1 时 h x 0 1 x x 1 2 所以函数f x 具有性质P b 当b 2 时 由x 1 得x2 bx 1 x2 2x 1 x 1 2 0 所以f x 0 从而函数f x 在区间 1 上单调递增 当b 2 时 解方程x2 bx 1 0 得 6 x1 x2 b b2 4 2 b b2 4 2 因为x1 1 b b2 4 2 所以当x 1 x2 时 f x 0 当x x2时 f x 0 从而函数f x 在区间 1 x2 上单调递减 在区间 x2 上单调递增 综上所述 当b 2 时 函数f x 的单调递增区间为 1 当b 2 时 函数f x 的单调递减区间为 单调增区间为 1 b b2 4 2 b b2 4 2 2 由题设知 g x 的导函数g x h x x2 2x 1 其中函数h x 0 对于任意 的x 1 都成立 所以 当x 1 时 g x h x x 1 2 0 从而g x 在区间 1 上单调递增 当m 0 1 时 有 mx1 1 m x2 mx1 1 m x