大学物理04第四章气体动理论

第四章第四章 气体动理论气体动理论 一 基本要求一 基本要求 1 理解平衡态的概念 2 了解气体分子热运动图像和理想气体分子的微观模型 能从宏观和统计 意义上理解压强 温度 内能等概念 3 初步掌握气体动理论的研究方法 了解系统的宏观性质是微观运动的统 计表现 4 理解麦克斯韦速率分布律 速率分布函数和速率分布曲线的物理意义 理解气体分子运动的最概然速率 平均速率 方均根速率的意义 了解玻尔兹 曼能量分布律 5 理解能量按自由度均分定理及内能的概念 会用能量均分定理计算理想 气体的内能 6 了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的意义及其简单的计算 二 基本内容二 基本内容 1 平衡态平衡态 在不受外界影响的条件下 一个系统的宏观性质不随时间改变的状态 2 理想气体状态方程理想气体状态方程 在平衡态下 理想气体各参量之间满足关系式 pVvRT 或 nkTp 式中 为气体摩尔数 为摩尔气体常量 为玻尔vR 11 8 31RJ molK k 兹曼常量 231 1 38 10kJ K 3 理想气体压强的微观公式理想气体压强的微观公式 2 12 33 t pnmn v 4 温度及其微观统计意义温度及其微观统计意义 温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质 在微观统计 上 3 2 t kT 5 能量均分定理能量均分定理 在平衡态下 分子热运动的每个自由度的平均动能都相等 且等于 2 kT 以 表示分子热运动的总自由度 则一个分子的总平均动能为i 2 t i kT 6 速率分布函数速率分布函数 dN f Nd v v 麦克斯韦速率分布函数 2 3 2 2 2 4 2 mkT m fe kT v vv 7 三种速率三种速率 最概然速率 22 1 41 p molmol kTRTRT mMM v 平均速率 88 1 60 molmol kTRTRT mMM v 方均根速率 2 33 1 73 molmol kTRTRT mMM v 8 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 平衡态下某状态区间 粒子能量为 的粒子数正比于 重力场中粒 kT e 子数密度按高度的分布 温度均匀 kTmgh enn 0 9 范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程 采用相互作用的刚性球分子模型 对于气体1mol RTbV V a p m m 2 10 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程 2 11 22nd n 11 输运过程输运过程 内摩擦 dS dz du df z0 11 33 mn vv 热传导 dSdt dz dT dQ z0 1 3 v c v 扩散 dSdt dz d DdM z0 1 3 D v 三 习题选解三 习题选解 4 1 一根铜棒的两端分别与冰水混合物和沸水接触 经过足够长的时间 后 系统也可以达到一个宏观性质不随时间变化的状态 它是否是一个平衡态 为什么 答答 这不是一个热力学平衡态 平衡态是指热力学系统在不受外界影响的条件下 系统的宏观性质不随时 间变化的状态 所谓的没有外界影响 指外界对系统既不做功又不传热 两端分别与冰水混和物和沸水接触的铜棒 在和沸水接触的一端 铜棒不 断吸收热量 而在和冰水混合物接触的一端 铜棒不断的释放热量 铜棒和外 界以传热的方式进行能量交换 因而它不是一个热力学平衡态 4 2 在一个容积为的容器中贮有氢气 当温度为时 压强为 3 10dm7 C 由于容器漏气 当温度升为 压强仍为 求漏掉氢气的质50atm17 C 50atm 量 解 解 设时的参量为 时的参量为7 C 111 TnP17 C 222 TnP 因 由理想气体的状态方程得 21 PP nkTP 2211 kTnkTn 代入得KTKT290 280 21 036 1 1 2 2 1 T T n n 再由 得 111 kTnP 327 23 5 1 1 1 10311 1 2801038 1 10013 1 50 m kT P n 同理可得 327 2 10265 1 mn 将氢分子质量与相乘 可得不同温度下容器内氢气的密度 2 H mn 32727 11 353 4 1066 1 210311 1 2 mkgmn H 32727 22 200 4 1066 1 210265 1 2 mkgmn H 漏掉氢气的质量 23 12 0 153 1 101 53 10mVkg 4 3 如图所示 两个相同的容器装着氢 气 以一光滑水平玻璃管相连 管中用一滴水 银做活塞 当左边容器的温度为 而右边0 C 容器的温度为时 水银滴刚好在管中央20 C 维持平衡 试问 题 4 3 图 1 当右边容器的温度由升到时 水银是否会移动 怎样移动 0 C 10 C 2 如果左边温度升到 而右边升到 水银滴是否会移动 10 C 30 C 3 如果要使水银滴在温度变化时不移动 则左右两边容器的温度变化应遵从 什么规律 解解 1 可假设水银柱不移动 这样左边容器从升到时 压强C 0C 10 会增大 所以水银将向右侧移动 2 同样假设水银滴不移动 左右两侧体积不变 以表示左右两侧未 0 p 升温前的压强 表示升温后左侧压强 表示升温后右侧压强 则 1 p 2 p 01 273 10273 pp 02 20273 30273 pp 可以看出 21 pp 水银滴左侧的压强大于右侧的压强 水银滴将向右侧移动 3 依条件 273 01 p T p 左 29320273 002 pp T p 右 由 21 pp 293 273 右 左 T T 4 4 对一定量的气体来说 当温度不变时 气体压强随体积的减小而增 大 当体积不变时 压强随温度的升高而增大 从宏观来看 这两种变化同样 使压强增大 从微观来看它们有何区别 解 解 从分子运动论的观点来看 气体作用在器壁上的压强决定于单位体积 内的分子数和每个分子的平均平动动能的乘积 或者说 是大量气体分子与器 壁频繁进行动量交换的结果 用公式表示就是 2 21 32 pnm v 当温度不变时 每个分子的平均平动动能没有发生改变 但体积的减少会 使单位体积内的分子数增加 即分子数密度 n 增大 或者说 气体分子与器壁 进行的动量交换更加频繁 这样就使容器气体压强增大 当体积不变时 随着 温度的升高 每个分子的平均平动动能增加 即气体分子每次碰撞时与器壁交 换的动量数值增加 所以也会使气体压强增大 从微观上看 它们的图像是不 一样的 4 5 每秒钟有个氢分子 质量为 以的 23 1 0 10 27 3 3 10kg 31 1 0 10 m s 速度沿着与器壁法线成角的方向撞在面积为的器壁上 求氢分45 42 2 0 10 m 子作用在器壁上的压强 解 解 如图所示与器壁碰撞后 每一个分 子的动量改变为 2cos45m v 每秒总的动量改变为 2cos45nm v 压强 2cos45nm p A v 题 4 5 图 23273 4 2 2 1 0 103 3 101 0 10 2 2 0 10 3 2 3 10 Pa 4 6 道耳顿 Dalton s Law 定律指出 当不起化学作用的气体在一容器中 混合时 在给定温度下每一成分气体所作用的压强和该气体单独充满整个容器 时的压强相同 并且总压强等于各成分气体的分压强之和 试根据气体动理论 并利用式 4 5 导出道耳顿定律 解 解 气体动理论给出的压强公式为 22 1212 3323 pnmnmn vv 设几种气体混合贮在同一容器中 单位体积内所含各种气体的分子数分别为 则单位体积内混合气体的总分子数为 12 n n 12 nnn 又混合气体的温度相同 根据能量均分定理 不同成份的气体分子平均动能相 等 即 12 3 2 kT 混合气体的压强为 12 2 3 pnn 1 122 22 33 nn 12 pp 其中 kTnkTnnp 1111 2 3 3 2 3 2 kTnkTnnp 2222 2 3 3 2 3 2 即每一成分气体单独充满整个容器时的压强 并且总压强等于各 12 p p 成分气体的压强之和 这就是道耳顿分压定律 4 7 1 具有活塞的容器中盛有一定量的气体 如果压缩气体并对其进 行加热 使它的温度升到 体积减小一半 求气体压强变化多少 27 C 177 C 2 此时气体分子的平均平动动能变化多少 分子的方均根速率变化多少 解解 1 由理想气体状态方程 1 11 2 22 T Vp T Vp 12 2 1 VV 1 27327300TK 2 273 177450TK 有 11 1 2 2 1 12 3 300 450 2pp T T V V pp 2 由题意 11 2 3 kT 22 2 3 kT 11 1 2 12 5 1 300 450 T T 温度为时 方均根速率为 1 T 2 1 1 3 mol RT M v 温度为时 方均根速率为 2 T 2 2 2 3 mol RT M v 所以 2 22 2 1 1 1 51 22 T T v v 4 8 1 试计算在什么温度时氢分子的方均根速率等于从地球表面逃逸 的速率 对氧分子作同样的计算 2 试问在月球表面上 计算结果是否相同 假设月球表面的重力加速度 为 0 16g 3 在地球的上层大气中 温度约为左右 你认为该处是否有很多1000K 氢气 有很多氧气 解解 1 第二宇宙速率 分子的方均根速 131 2 11 211 2 10km sm s v 率 氢分子的摩尔质量 由题意 2 2 3 H RT M v 2 3 2 10 H Mkg 2 2 vv 2 2 3 23 24 2 2 10 11 2 10 1 0 10 33 8 31 H H M TK R v 氧分子摩尔质量为 有 2 3 32 10 O Mkg 2 2 3 23 25 2 32 10 11 2 10 1 6 10 33 8 31 O O M TK R v 2 月球表面逃逸速率 1122 1 6 2 6 67 107 36 10 2 1 738 10 GM m s R 月 月 v 31 2 38 10 m s 有 2 3 3 22 2 10 2 38 10 4 5 10 3 8 31 H TK 2 3 3 23 32 10 2 38 10 7 2 10 3 8 31 O TK 3 地球大气层中 不会有很多氢气 会有较多氧气 4 9 水蒸气分解为同温度的氢气和氧气 即 当不计振 222 1 H OH O 2 动自由度时 求此过程中内能增加的百分比 解 解 设初始水蒸气的分子总数为 由 0 N 222 1 H OH O 2 分解后将有个分子和个分子 0 N 2 H 2 0 N 2 O 刚性双原子分子可用三个平动自由度 和两个转动自由度 完3 t2 r 整的描述其运动 刚性三原子分子则需要用三个平动自由度 和三个转动3 t 自由度 描述其运动 由能量均分原理知一个分子的平均能量为3 r kTrt 2 1 温度为时水蒸气的总能量为T kTNkTNE 000 3 33 2 1 若分解为氢气和氧气后 气体温度值为 这时气体总能量为氢分子能量和氧T 分子能量之和 用表示有 E kTNkT N kTNE 0 0 0 4 15 23 2 1 2 23 2 1 能量增加的百分比为 25 4 1 3 3 4 15 0 00 0 0 kTN kTNkTN E EE 4 10 一个能量为的宇宙射线粒子 射入氖管中 氖管中 12 10 eV0 01mol 如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收而变成热运动能量 氖气温度 能升高几度 解解 氖气共有个原子 其中为阿伏加德罗常数 氖为惰0 01mol A N01 0 A N 性气体 氖气分子以单原子形式存在 若气体温度为 每一个氖分子的平均T 能量为 相应的总能量为 若射线能量被每个氖分子平均吸收 kT 2 3 kTNA 2 3 01 0 3 0 01 2 A ENk T 1219 6 2323 101 6 10 1 28 10 K 3 0 01 6 02 101 5 1 38 10 0 01 2 A E T Nk 4 11 一容器被中间隔板分成相等的两半 一半装有氦气 温度为 250K 另一半装有氧气 温度为 两者压强相等 求去掉隔板两种气体混合后310K 的温度 解解 隔板未去掉前 容器两侧压强和体积相等设为和 再设氦分子摩pV 尔数为 氧气分子摩尔数为 由理想气体方程有 1 v 2 v 11 pVv RT 222 pVv RT 1 1 pV v RT 2 2 pV v RT 氦气为单原子分子 氧气为双原子分子 由能量均分定理 每一个分子的 平均能量为 kTsrt 2 2 1 其中 为平动自由度 为转动自由度 为振动自由度 trs 对于氦气 有 3 0 0 trs 3 2 He kT 对于双原子分子 在常温下 不足以激发原子的振动 可作为2 3 rt 刚性双原子考虑 这时 因而有0s 2 5 2 O kT 初始状态的总能量为 1122 35 22 AA Ev NkTv NkT 其中为阿伏加德罗常数 A N 若去掉隔板后两种气体混合温度为 其总能量为T 12 35 22 AA Ev NkTv NkT 去掉隔板的过程不会对系统有任何外界的影响 能量守恒有EE 112212 3535 2222 AAAA v NkTv NkTv NkTv NkT 将和代入有 1 v 2 v kTN RT pV kTN RT pV kTN RT pV kTN RT pV AAAA 2 5 2 3 2 5 2 3 21 2 2 1 1 化简后得 853 21 T T T T 1 2 21 88 310 250 284 353 3105 250 TT TK TT 4 12 已知是速率分布函数 说明以下各式的物理意义 f v 1 2 其中是分子数密度 3 fdvv nfdvvn 2 1 fd v v vvv 4 其中为最概然速率 5 0 p fd v vv p v 2 p fd v vvv 答答 1 是速率在到之间的分子数与总分子数的 dN fd N vvvd vv 比 2 是单位体积内 速率在到之间的分子数 dN nfd V vvvd vv 3 是速率介于到之间分子的平均速率 2 2 1 1 dN fd N v v v v v vvv 1 v 2 v 4 是分子速率在 0 到之间的分子数与总分子数 0 0 p p dN fd N v v vv p v 的比值 即速率小于最概然速率的分子与总分子数的比例 5 是速率大于的分子速率平方的平均值 2 2 p p dN fd N v v v vvv p v 方均值 4 13 导体中自由电子的运动可以看作类似于气体分子的运动 故称电子 气 设导体中共有个自由电子 电子运动的最大速率为 其速率分布函N p v 数为 2 4 0 0 F F A N f vvv v vv 1 求常量 A 2 证明电子的平均动能 2 33 1 55 2 FF m v 解 解 速率分布函数 2 4 0 0 F F A N f vvv v vv 1 由速率分布函数的物理意义有 23 00 44 1 3 F F AA fdd NN v vvvvv 求得 3 3 4 F N A v 2 平均动能 2 22 3 00 1143 224 F F N mfdmd N v v vvvvv v 4 2 3 0 33 1 25 2 F F F mdm v v vv v 4 14 有个粒子 其速率分布函数为 N 0 0 00 0 0 2 0 2 a fa v vv v vvvv vv 1 做速率分布曲线并求常量 a 2 分别求速率大于和小于的粒子数 0 v 0 v 3 求粒子的平均速率 解解 1 速率分布曲线如图所示 由归一化条件 0 1fd vv 00 0 2 0 0 1 a dad vv v v vv v 有 00 1 1 2 aa vv 0 2 3 a v 题 4 14 图 2 若总分子数为 则速率大于的分子数为N 0 v 0 00 2 1 0 22 33 NNfdNdN v vv vvv v 速率小于的分子数为 0 v 00 2 00 0 a NNfdNd vv v vvv v 2 0 2 0 2 11 323 NN v v 3 平均速率为 00 0 2 2 2 00 00 22 33 fddd vv v vv vvvvvv vv 00 0 32 2 22 0 00 2 93 vv v vv vv 22 0000 2 0 2111 4 939 vvvv v 4 15 设氢气的温度为 求速率为到之间的分300K 1 3000m s 1 3010m s 子数与速率在到之间的分子数之比 1 n 1 1500m s 1 1510m s 2 n 解解 麦克斯韦速率分布率是 2 3 2 22 4 2 m kT m dNNed kT v vv 2 1 2 2 3 2 22 11 1 3 22 22 22 4 2 4 2 m kT m kT m Ne N kT Nm Ne kT v v vv vv 2 22 11 21 2 22 exp 2 m kT vv vv vv 由题意 1 12 10m s vv 1 1 3000m s v 1 2 1500m s v 氢气分子质量为 2727 2 1 67 103 34 10mkgkg 代入数据有 27 0 1500 3000 3001038 1 2 30001500 1034 3 exp 2 23 2227 2 1 N N 4 16 1 混合气体处于平衡态时 各种气体的麦克斯韦速率分布与其 它气体是否存在无关 请说明这一点 2 证明 由个粒子组成的一团气体 不管其速率具体分布如何 它的方N 均根速率不会小于平均速率 2 vv 答答 1 热平衡时各种气体的温度都相同 每种气体的温度都等于混合气 体的温度 而各种气体混合后其分子质量不变 气体的麦克斯韦速率分布只与 气体的温度和分子质量有关 而与气体的体积和压强无关 所以各种气体单独 存在时的速率分布与混合时的速率分布相同 2 设个粒子组成气体的速率分布函数为 即处于区间N F v 区间内粒子数与粒子总数之比为 d vvvN N N Fd N vv 由归一化条件有 0 1Fd vv 22 0 Fd vvvv 0 Fd vvvv 利用定积分的性质 dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a 2 2 2 令 fF vv gF vvv 则有 2 22 000 FFdFdFd vvvvvvvvv 2 2 000 FdFdFd vvvvvvvv 即 22 vv 2 vv 即方均根速率不会小于平均速率 4 17 设地球大气是等温的 温度为 海平面上的气压为5tC 今测得某山顶的气压 求山高 已知空气的平 0 750pmmHg 590pmmHg 均相对分子量为 28 97 解解 分子数密度随重力势能的分布为 0 mgz kT n zn e 其中为海平面上的分子数密度 0 n 压强 00 mgzmgz kTkT pnkTn kTep e 3 0 3 8 31 278750 lnln1 95 10 28 97 109 8590 pkT zmm mgp 4 18 令表示气体分子的平动能 试根据麦克斯韦速率分布律证 2 1 2 m v 明 平动能在区间内分子数占总分子数的比率为 d dekTdf kT 2123 2 根据上式求分子平动能的最概然值及平均平动能 解解 麦克斯韦速率分布率是 2 3 2 22 4 2 m kT m fded kT v vvvv 令 2 1 2 m v 则 2 m v 1 2 121 22 ddd mm v 代入麦克斯韦速率分布公式 d m e mkT m df kT 2 12 2 4 2 3 dekT kT 2 3 2 最概然值可由求出 也可由求出 0 f0 ln f 0 11 2 1 ln kT f kT p 2 1 平均动能 3 2 00 23 2 kT fdkTedkT 4 19 日冕的温度为 求其中电子的方均根速率 宇宙空间温度 6 2 10 K 为 其中气体主要是氢原子 求那里的氢原子的方均根速率 1994 年曾2 7K 用激光冷却的方法使一群原子达到的低温 求这些原子的方Na 11 2 4 10K Na 均根速率 解 解 1 日冕的温度为 其中电子的方均根速率为K 6 102 261 1 3 1 739 53 10 e kTkT m s mm v 2 宇宙空间的温度为 其中氢原子的方均根速率为K7 2 221 2 3 1 732 59 10 H kTkT m s mm v 3 在的温度下 原子的方均根速率为K 11 104 2 Na 241 3 3 1 731 61 10 a N kTkT m s mm v 4 20 的范德瓦尔斯常量 2 N 662 1 39 10amatm mol 写出氮气的范德瓦尔斯方程 若将的氮气 631 39 10bmmol 20mol20mol 不断压缩 它将接近多大的体积 假设此时氮分子是紧密排列的 试估算氮分 子的线度大小 此时由于气体分子间的引力所产生的内压强大约是多少大气压 解解 范德瓦耳斯方程是1mol RTbV V a p m m 2 其中是气体摩尔体积 若的气体体积为 有 摩尔气体的范 m VnmolV n V Vm n 德瓦耳斯方程为 或 RTb n V V an p 2 2 nRTnbV V an p 2 2 RTV V p20 103920 201039 1 6 26 2 RTV V p20 108 7 1056 5 4 4 2 当 p 643 20 39 107 8 10Vnbm 当分子密排时 约为 1 摩尔气体内所有分子体积总和的 4 倍 设分子直b 径为 有 d 3 2 3 4 4 d Nb A 其中为阿伏加德罗常数 A N 6 1 10 3 3 23 33 39 10 3 1 10 22 3 14 6 02 10 A b dm N 此时内压强 226 22262 1 39 10 914 39 10 in n an aa patm Vnbb 4 21 试证 当每摩尔气体的体积增大时 范德瓦耳斯方程就趋近于理想 气体状态方程 解解 由范氏气体压强公式有 22 1 1 m m mmm V a V b V RT V a bV RT p 2 1 1 m m V a V b V nRT 2 1 limlim lim 1 mmm VVV m m nRTa p b VV V 2 1 limlim 1 mm VV m m nRTanRT b VVV V 当趋于无穷大时 即 m V V nRT p nRTpV 即当气体摩尔体积增大时 范德瓦耳斯方程趋近于理想气体方程 4 22 氮分子的有效直径为 求它在标准状态下的平均自由程 10 3 8 10m 和连续两次碰撞间的平均时间间隔 解解 分子平均自由程 2 2 kT d p 标准状态是指压强为一个大气压 温度为的状态pC 0 23 8 1025 1 38 10273 5 8 10 23 14 3 8 10 1 013 10 mm 氮分子的分子量为 28 在标准状态下平均速率为 11 3 88 8 31 273 454 3 14 28 10 mol RT m sm s M v 两次碰撞的平均时间间隔为 8 10 5 8 10 1 28 10 454 Ts v 4 23 在标准状态下分子的平均自由程 求分子 2 CO 8 6 29 10 m 2 CO 的平均碰撞频率以及分子的有效直径 2 CO 解解 的分子量为 44 标准状态时 分子的平均速率为 2 CO273TK 2 CO 11 3 88 8 3 273 362 3 11 44 10 mol RT m sm s M v 分子的平均碰撞频率为 91 8 362 5 76 10 6 29 10 zss 次 v 再由 2 2 kT d p 23 11 10 22 85 1 38 10273 3 7 10 223 14 6 29 101 013 10 kT dmm p 4 24 一氢分子 直径为 以方均根速率从炉中 10 1 0 10m 逸出而进入冷的氩气室 室内氩气密度为每立方米原子 KT4000 25 100 4 氩原子直径 试问 10 3 0 10m 1 氢分子的速率为多大 2 把氩原子和氢分子都看成球体 则在相互碰撞使他们中心靠的最近的距 离为多少 3 最初阶段 氢分子每秒内受到的碰撞次数为多少 解解 1 氢分子的摩尔质量为在时方均根速率 31 2 10 kg mol 4000TK 为 231 3 33 8 3 4000 7 06 10 2 10 H mol RT m s M v 2 氢分子和氩原子的中心最短距离为 1010 10 1 0 103 0