甘肃省天水一中2013届高三数学下学期五月第二次检测试题 理（天水一中二模含解析）

1 20132013 高考五月第二次考试数学高考五月第二次考试数学 理科理科 试题试题 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知 1 1 m ni i 其中 m nR i为虚数单位 则m ni A 1 2i B 2 i C 1 2i D 2 i 答案 B 解析 因为 1 1 m ni i 所以 11 11mniimnn i 即 所以 12 2 101 mnm mnii nn 解得所以 2 设集合 1 0 1 M 2 aaN 则使 M N N 成立的a的值是 A 1 B 0 C 1 D 1 或 1 答案 C 解析 因为 M N N 所以N M 所以 2 1 1 1 a a a 所以 3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量x 吨 与相应的生 产能耗 y 吨 的几组对应数据 x 3456 y 2 5 t 44 5 根据上表提供的数据 求出 y 关于x的线性回归方程为 0 70 35yx 那么表中t的值为 A 3 B 3 15 C 3 5 D 4 5 答案 A 解析 易知 345 692 54 4 511 4244 tt xy 把点 x y 代入回归方 程为 0 70 35yx 得 11 0 7 4 50 35 4 t 解得 t 3 4 有下列说法 1 pq 为真是 pq 为真的充分不必要条件 2 pq 为假是 pq 为真的充分不必要条件 3 pq 为真是 p 为假 的必要不充分条件 4 p 为真是 pq 为假的必要不充分条件 其中正确的 个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 1 pq 为真是 pq 为真的充分不必要条件 正确 2 pq 2 为假是 pq 为真的充分不必要条件 错误 3 pq 为真是 p 为假的必 要不充分条件 正确 4 p 为真是 pq 为假的必要不充分条件 错误 因 此正确的个数为 2 5 在等差数列 n a 中 2616 aaa 为一个确定的常数 n S 为其前n项和 则下列各个 和中也为确定的常数的是 A 17 S B 10 S C 8 S D 15 S 答案 D 解析 易知 2616118 321373aaaadada 为常数 所以 8 a 为常数 所 以 115 8 158 1515 2 15 22 aaa Sa 为常数 因此选 D 6 阅读右面程序框图 则输出结果s的值为 A 2 1 B 2 3 C 3 D 3 答案 D 解析 第一次循环 3 sin 12 2013 32 n SSnnn 此时满足条件 再 次循环 第二次循环 sin3 13 2013 3 n SSnnn 此时满足条件 再次循环 第三次循环 sin3 14 2013 3 n SSnnn 此时满足条件 再次循环 第四次循环 3 sin 15 2013 32 n SSnnn 此时满足条件 再次循环 开始 s 0 n 1 是 否 nn 1 输出s 结束 3102 n 3 s ssin n 3 第五次循环 sin0 16 2013 3 n SSnnn 此时满足条件 再次循环 第六次循环 sin0 17 2013 3 n SSnnn 此时满足条件 再次循环 第七次循环 3 sin 18 2013 32 n SSnnn 此时满足条件 再次循环 易知 S 的值是循环出现的 周期为 6 所以 第 2013 次循环 sin3 12014 2013 3 n SSnnn 此时不满足条件 结 束循环 因此选 D 7 如图 等腰梯形 ABCD 中 AB 2DC 2 DAB 60 E 为 AB 的中点 将 ADE 与 BEC 分别沿 ED EC 向上折起 使 A B 重合于点 P 则三棱锥 P DCE 的外接球的体积为 A 4 3 27 B 6 2 C 6 8 D 6 24 答案 C 解析 易知 三棱锥 P DCE 为正三棱锥 棱长为 1 把此正 三棱锥放到正方体内 正方体的棱长为 2 2 正方体的外接球就是正三棱锥的外接球 又 正方体的对角线就是外接球的直径 所以三棱锥 P DCE 的外接球的半径为 126 3 224 所以外接球的体积为 3 466 348 8 若 2 1 nx x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 3 14 则展开式中常数项是 A 10 B 10 C 45 D 45 答案 D 解析 5 2 2 2 1 1 r nrn r r rr nn CxC x x 所以展开式的第三项系数为 2 22 1 nn CC 第五项系数为 4 44 1 nn CC 所以 2 4 3 14 n n C C 解得 n 10 由 5 2008 2 rr 得 所以展开式中常数项是 8 8 10 145C 9 过点 A 2 1 作曲线 f x x 3 x 的切线的条数最多是 4 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 A 解析 设切点为 00 xy 2 00 31kfxx 所以切线方程为 32 0000 31yxxxxx 把点 A 2 1 代入得 32 0000 1312xxxx 整理得 32 000 2630 xxx 即 2 00 3210 xx 次方程有三个解 所以过点 A 2 1 作曲线 f x x 3 x 的切线的 条数最多是三条 10 已知点G是 ABC 的重心 ACABAG R 若 0 120 A 2 ACAB 则 AG 的最小值是 A 3 3 B 2 2 C 3 2 D 4 3 答案 C 解析 因为点G是 ABC 的重心 所以 11 33 AGABAC 又 0 120 A 2 ACAB 所以 0 cos1202 4AB ACABACABAC 所以 所以 22 222 0 112114 cos120 999999 AGABACAB ACABAC 144 2 999 AB AC 所以 AG 的最小值是3 2 11 已知两条直线 1 l y m 和 2 l y 8 21m m 0 1 l 与函数 2 logyx 的图像从左至 右相交于点 A B 2 l 与函数 2 logyx 的图像从左至右相交于 C D 记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a b 当 m 变化时 b a的最小值为 A 16 2 B 8 2 C 8 4 D 4 4 答案 B 解析 在同一坐标系中作出 y m y 8 21m m 0 2 logyx 图像如下图 由 2 log x m 得 12 2 2 mm xx 2 log x 8 21m 得 8 21 8 21 34 2 2 m m xx 5 依照题意得 8 21 8 21 8 21 8 21 22 22 22 22 m m m mm m m m b ab a 8 21 8 21 2 22 m m m m 814111 43 1 212222 2 mm m m min 8 2 b a 12 跳格游戏 如图 人从格子外只能进入第 1 个格子 在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格 那么人从格外跳到第 8 个格子的方法种数为 A 8 种 B 13 种 C 21 种 D 34 种 答案 C 解析 人从格外跳到第 1 格的方法显然只有 1 种 人从格外跳到第 2 格的方法也只有 1 种 从格外到第 1 格 再从第 1 格到第 2 格 人从格外跳到第 3 格的方法有 2 种 从格外到 第 1 格 从第 1 格到第 2 格 再从第 2 格到第 3 格 从格外到第 1 格 再从第 1 格到第 3 格 由此分析 可设跳到第 n 格的方法数为 n a 则到达第 n 格的方法有两类 向前跳 1 格到达 第 n 格 方法数为 1n a 向前跳 2 格到达第 n 格 方法数为 2n a 则由加法原理知 12nnn aaa 由数列的递推关系不难求得该数列的前 8 项分别为 1 1 2 3 5 8 13 21 这里 前面已求得 123 1 1 2aaa 所以人从格外跳到第 8 格的方法种数为 21 种 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做 答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 若圆 4 22 yx 与圆 062 22 yyxC 相交 x 8 21 y m 2 logyx ym 1 O AB C D 12345678 6 于 BA 则公共弦AB的长为 答案 2 3 解析 公共弦所在的直线方程为2 20y 圆 22 4xy 的圆心到公共弦的距离为 02 1 2 d 所以公共弦AB的长为 22 2 212 3AB 14 三视图如右的几何体的体积为 答案 1 解析 由三视图知 原几何体为四棱锥 四棱锥的底面是直角梯形 上下底边长分别为 2 和 1 高为 1 四棱锥的高为 2 所以该几何体的体积为 11 121 21 32 V 15 已知双曲线过点 4 渐近线方程为 y x 圆 C 经过双曲线的一个顶点和一 47 3 4 3 个焦点且圆心在双曲线上 则圆心到该双曲线的中心的距离是 答案 3 16 解析 由题意易得双曲线的方程为 22 1 916 xy 顶点为 3 0 焦点为 5 0 又圆心在双曲线上 所以圆 C 应过左顶点 左焦点或右顶点 右焦点 即圆心 的横坐标为 4 设圆心的纵坐标为 m 则 2 16 1 916 m 所以 2 16 7112 99 m 所求的 距离为 211216 4 93 16 已知在区间 a b 上 f x 0 f x 0 对 x 轴上的任意两点 x1 0 x2 0 a x1 x2 b 都有 f 若 S1 f x x1 x2 2 f x1 f x2 2 b a dx S2 b a S3 f a b a f a f b 2 则 S1 S2 S3 的大小关系为 答案 S1 S2 S3 解析 易知 函数 f x 在区间 a b 上单调递减且为上凸函数 根据定积分的几何意 义知 S1 为 f x 的图象与直线 x a x b 及 x 轴围成的曲边梯形的面积 而 S2 为梯形的 面积 S3 为矩形的面积 所以结合题意并画出图形可得 S1 S2 S3 7 三 解答题 解答应写文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 设 R 2 cos cossin cos 2 xxxxxf 满足 0 3 ff 1 求函数 xf 的单调递增区间 2 设 ABC 三内角 CBA 所对边分别为 cba 且 ca c cba bca 2 222 222 求 xf 在 B 0 上的值域 18 本题满分 12 分 因金融危机 某公司的出口额下降 为此有关专家提出两种促进出 口的方案 每种方案都需要分两年实施 若实施方案一 预计第一年可以使出口额恢复到 危机前的 1 0 倍 0 9 倍 0 8 倍的概率分别为 0 3 0 3 0 4 第二年可以使出口 额为第一年的 1 25 倍 1 0 倍的概率分别是 0 5 0 5 若实施方案二 预计第一年可 以使出口额恢复到危机前的 1 2 倍 l 0 倍 0 8 倍的概率分别为 0 2 0 3 0 5 第二年可以使出口额为第一年的 1 2 倍 1 0 倍的概率分别是 0 4 0 6 实施每种方 案第一年与第二年相互独立 令 i i 1 2 表示方案i实施两年后出口额达到危机前的 倍数 写出 1 2 的分布列 实施哪种方案 两年后出口额超过危机前出口额的概率更大 不管哪种方案 如果实施两年后出口额达不到 恰好达到 超过危机前出口额 预 计利润分别为 10 万元 15 万元 20 万元 问实施哪种方案的平均利润更大 19 本题满分 12 分 如图 在多面体 ABCDE 中 DBABC 平面 AEDB ABC 且 是边长为 2 的等边三 角形 1AE CD 与平面 ABDE 所成角的正弦值为 6 4 1 在线段 DC 上是否存在一点 F 使得EF DBC 面 若存 在 求线段 DF 的长度 若不存在 说明理由 第 19 题题 8 2 求二面角D ECB 的平面角的余弦值 20 本小题满分 12 分 已知 ABCD A 2 0 B 2 0 且 AD 2 求 ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程 过 A 作直线交以 A B 为焦点的椭圆于 M N 两点 且 MN 2 3 8 MN 的中点到 Y 轴的 距离为3 4 求椭圆的方程 21 本小题满分 12 分 设函数 2 ln 1 f xxbx 其中 0b 当 1 2 b 时 判断函数 f x 在定义域上的单调性 求函数 f x 的极值点 证明对任意的正整数n 不等式 23 111 ln 1 nnn 成立 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答是 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂 黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 AD 是 O 的直径 AB 是 O 的切线 M N 是圆上两 点 直线 MN 交 AD 的延长线于点 C 交 O 的切线于 B BM MN NC 1 求 AB 的长和 O 的半径 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中 圆锥曲线C的参数方程为 sin3 cos2 y x 为参数 定点 3 0 A 21 F F 是圆锥曲线C的左 右焦点 以原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 求经过点 1 F 且平行于直线 2 AF 的 直线l的极坐标方程 在 I 的条件下 设直线l与圆锥曲线C交于 FE 两点 求弦EF的长 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设函数 212 xxxf 求不等式 2 xf 的解集 9 若 Rx ttxf 2 11 2 恒成立 求实数t的取值范围 2013 高考五月第二次考试数学 理科 答案 1 12 BCABD DCDAB CC 13 2 3 14 1 15 3 16 16 S1 S2 S3 17 解 1 xxxxxxxf2cos2sin 2 1 sincoscossin 22 0 2 3 3 ff 6 2sin 2 xxf 的单调减区间为 6 5 3 Zkkk 6 分 2 ca c cba bca 2 222 222 由余弦定理可变形为 ca c Cab Bac 2cos2 cos2 由正弦定理为 2 1 cos B 3 B 3 0 x 26 2 6 x 2 1 xf 12 分 18 1 的所有取值为 0 8 0 9 1 0 1 125 1 25 其分布列为 1 0 80 91 01 1251 25 P0 20 150 350 150 15 2 分 2 的所有取值为 0 8 0 96 1 0 1 2 1 44 其分布列为 2 0 80 961 01 21 44 P0 30 20 180 240 08 4 分 设实施方案一 方案二两年后超过危机前出口额的概率为 1 P 2 P 则 12 0 150 150 3 0 240 080 32PP 实施方案二两年后超过危机前出口额的概率更大 6 分 方案一 方案二的预计利润为 1 2 则 10 1 101520 P0 350 350 3 8 分 2 101520 P0 50 180 32 10 分 1 14 75E 2 14 1E 实施方案一的平均利润更大 12 分 19 解 取 AB 的中点 G 连结 CG 则CG AB 又DB ABC 平面 可得DB CG 所以 ABDECG面 所以 6 sin 4 CG CDG CD CG 3 故 CD 2 2 22 2DBCDCB 2 分 取 CD 的中点为 F BC 的中点为 H 因为 1 2 FHBD 1 2 AEBD 所以AEFH为平行四边 形 得 EFAH 4 分 AHBC AH AHBD 平面BCD EF DBC 面 存在 F 为 CD 中点 DF 2时 使得EFDBC 面 6 分 如图建立空间直角坐标系 则 1 3 0 C 0 0 0 B 2 0 1 E 0 0 2D 从而BE 2 0 1 EC 1 3 1 2 0 1 DE 设 1 nx y z 为平面BCE的法向量 则 1 1 20 30 nBExz nECxyz 可以取 1 3 1 2 3 n 8 分 设 2 nx y z 为平面CDE的法向量 11 则 1 1 20 30 nDExz nECxyz 取 2 1 3 2 n 10 分 因此 12 46 cos 48 6 3 n n 11 分 故二面角D ECB 的余弦值为 6 4 12 分 20 解 设 E x y D x0 y0 ABCD 是平行四边形 AEADAB2 4 0 x0 2 y0 2 x 2 y x0 6 y0 2x 4 2y yy xx yy xx 2 22 2 426 0 0 0 0 又 4 2 222 4 2 2 22 2 0 2 0 yxyxAD 即 1 22 yx ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程为 1 22 yx 设过 A 的直线方程为 2 xky 以 A B 为焦点的椭圆的焦距 2C 4 则 C 2 设椭圆方程为 1 2 2 2 2 b y a x 即 1 4 2 2 2 2 a y a x 将 2 xky 代入 得 1 4 2 2 22 2 2 a xk a x 即 0444 4 2422222222 aakaxkaxkaa 设 M x1 y1 N x2 y2 则 4 44 4 4 222 2422 21 222 22 21 kaa aaka xx kaa ka xx MN 中点到 Y 轴的距离为3 4 且 MN 过点 A 而点 A 在 Y 轴的左侧 MN 中点也在 Y 轴的 左侧 12 82 3 4 4 2 222 222 22 aka kaa ka 3 8 3 8 2 2121 a xxxx 8 3 4 3 8 4 22 21 2 21 2 21 axxxxxx 2 3 8 MN 2 3 8 1 21 2 xxk 9 128 3 4 3 32 9 64 1 22 ak 即 160321212 2222 kkaa 16032 82 1212 222 kaa 8 649 2 2 a k 82 8 649 2 2 2 a a a 064809 24 aa 0 89 8 22 aa 2 ca 8 2 a 448 222 cab 所求椭圆方程为 1 48 22 yx 21 由 得当 1 2 b 时函数 f x 无极值点 4 分 1 2 b 时 2 1 2 2 0 1 x fx x 有两个相同的解 1 2 x 13 1 1 2 x 时 0fx 1 2 x 时 0fx 1 2 b 函数 f x 在 1 上无极值点 5 分 当 1 2 b 时 0fx 有两个不同解 1 112 2 b x 2 112 2 b x 0b 时 1 1x 2 1x 即 12 1 1 xx 0b 时 fx f x 随x的变化情况如下表 x 2 1 x 2 x 2 x fx 0 f x 极小值 由此表可知 0b 时 f x 有唯一极小值点 2 112 2 b x 7 分 当 1 0 2 b 时 1 1x 12