高中数学确定角的范围“七法”学法指导

用心 爱心 专心 高中数学确定角的范围高中数学确定角的范围 七法七法 三角函数的求值问题是高考考查的热点 而求值问题的关键是确定角的范围 也只有 确定了角的范围 才能判断三角函数值的符号 进而正确求值 本文给出确定角的范围的 七种方法 供大家参考 一 根据所给角的范围确定一 根据所给角的范围确定 例例 1 已知的范围 2 33 4 求 解 解 设 则 n m2 nm nm 2 比较两边系数得 解得 所以 1nm 2nm 2 3 n 2 1 m 2 3 2 1 2 而 6 2 33 4 可得 且 评析 本题通过待定系数 结合整体思想 用整体表示 根据 与 2 不等式性质 正确求出的范围 若通过已知条件分别求 的范围 然后再求 2 的范围 这样所求得的范围比实际范围要大 则产生错解 2 2 二 根据三角函数值确定二 根据三角函数值确定 例例 2 已知 且 求的值 0 2 1 cossin 2cos 解 解 由 可得 可知 不能是锐角或直角 所以 2 1 cossin 4 3 2sin 2 由条件易得 4 7 2cos 2 3 2 4 3 2 cos sin 故 即 可知 评析 如图所示 若 则 若 则 0 2 0 2cossin1 4 3 2 若 则 若 则1cossin 4 3 0cossin1 2 3 sin cos 1 若 则 若 2 4 7 2 3 0cossin1 2 4 7 则cos 1 利用上述结论可快速断定本题中 的范围 sin0 y 0 1 1 0 1 O 1 x 2 2 用心 爱心 专心 三 根据三角函数的单调性确定三 根据三角函数的单调性确定 例例 3 已知 且 求 的值 2 0 2 3 coscos 2 1 sinsin 解 解 由条件知两式平方相加得 所以 2 3 coscos 2 1 sinsin 1 cos 211 因 所以 又 知 cos 2 1 2 0 22 0 2 1 sinsin 所以 即 由上可得 sinsin 0 2 3 评析 本题根据已知条件 得 若到此为止 则产生错解 22 因此应进一步利用正弦函数在区间上的单调性得 从而将 的 3 范围缩小为 0 问题就迎刃而解了 2 四 结合三角形中角的范围确定四 结合三角形中角的范围确定 例例 4 在锐角 ABC 中 a b c 分别是内角 A B C 所对应的边 若 C 2B 则 的范围是 b c A 0 2 B 2 C D 1 2233 解 解 因 C 2B 由正弦定理知 所以把求的范围转化为Bcos2 Bsin B2sin Bsin Csin b c b c 求 2cosB 的范围 进而转化为求 B 的范围 由 ABC 为锐角三角形 知 而 且 060 可知 得 2 1 Bcos0Bcos21Asin4 在 ABC 中 0 C1 的两根为 tan tan 且 01a3ax4x 2 求的值 22 2 tan 解 解 由韦达定理可得1a3tantana4tantan 3 4 1a3 1 a4 tantan1 tantan tan 2 1 2 tan2 2 tan 3 4 2 tan1 2 tan2 2 或 解得 又 a 1 故 tan tan 同为负值 可知 0 2 即 0 22 0 可得2 2 tan0 2 tan 故 评析 本题根据 a 1 结合韦达定理判断两根 tan tan 的符号 从而得到 的准确范围 若不注意对角的范围挖掘 易得出两个答案 从而造成错解 七 利用数形结合确定角的范围七 利用数形结合确定角的范围 例例 7 若 则 2 0tancossin A B C D 6 0 46 34 23 分析 分析 的范围是由已知三角方程确定 但解这个方程又超出了高中数学的范围 因 此可利用 所在的范围内 有这样的 值使得方程成立的这一原理 通过估值选出正确 答案 或利用数形结合的方法解决 解 解 设 在 0 内画出它们的xtan x g 4 xsin 2xcosxsin x f 2 图象 如图所示 用心 爱心 专心 显然交点 P 的横坐标 则 3 x 4 xP 再令 2 31 3 cos 3 sin 3 f 3 g 可见 2 3