2019届福建省泉州市泉港一中高三上学期期末质量检测模拟数学(理)试题(解析版)

2019届福建省泉州市泉港一中高三上学期期末质量检测模拟数学（理）试题一、单选题1已知集合，则=( )A0,4 B C0,4 D(0,4)【答案】C【解析】根据集合的补集的概念得到结果即可.【详解】=,根据集合的补集的概念得到故答案为：C.【点睛】本题考查了集合的补集的概念，属于基础题. 与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集（2）看这些元素满足什么限制条件（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性2已知等差数列的首项和公差均不为零，且，成等比数列，则 ( )A B C D【答案】D【解析】由题意得，设等差数列的首项为，公差为，因为构成等比数列，所以，解得，所以 ，故选D.【考点】等差数列的通项公式.3ABC中，点D在AB上，满足若，则( )A B C D【答案】B【解析】利用向量的线性运算，化简即可。【详解】根据向量的线性加法与减法运算，化简得 所以选B【点睛】本题考查了向量的线性运算，用基底表示向量的方法，属于基础题。4已知函数，图象相邻两条对称轴的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，则函数的图象（ ）A关于直线对称 B关于直线对称C关于点对称 D关于点对称【答案】D【解析】由函数y=f（x）的图象与性质求出T、和，写出函数y=f（x）的解析式，再求f（x）的对称轴和对称中心【详解】由函数y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为4，所以=，所以f（x）=sin（x+）；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin（x+）+图象因为得到的图象关于y轴对称，所以+=k+，kZ，即=k+，kZ；又|，所以=，所以f（x）=sin（x+），令x+=k，kZ，解得x=2k，kZ；令k=0时，得f（x）的图象关于点（-，0）对称故选：D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了函数y=Asin（x+）的图象变换，是基础题5已知函数，若函数有两个不同的零点，则的取值范围( )A B C D【答案】B【解析】画出函数y=f（x）与y=2t的图象，由图象可得t的取值范围.【详解】函数画出函数y=f（x）与y=2t的图象，如图所示，函数y=f（x）-2t有2不同的零点，函数y=f（x）与y=2t的图象有2交点，由图象可得2t的取值范围为（-1，1）,所以t的取值范围为.故选：A【点睛】本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用，属于基础题,关键是画出分段函数的图象.6已知定义在R上的函数满足以下三个条件：对于任意的，都有；对于任意的都有函数的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是( )A BC D【答案】B【解析】由可知函数f（x）是周期T=4的周期函数； 由可得函数f（x）在0，2上单调递增；由可得函数f（x）的图象关于直线x=2对称于是f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）即可得出结果.【详解】定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：由对于任意的xR，都有f（x+4）=f（x），可知函数f（x）是周期T=4的周期函数； 对于任意的x1，x2R，且0x1x22，都有f（x1）f（x2），可得函数f（x）在0，2上单调递增；函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，可得函数f（x）的图象关于直线x=2对称f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（1），f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）f（0.5）f（1）f（1.5），f （4.5）f （7）f （6.5）故选：B【点睛】本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题,熟练掌握函数的周期性，单调性，对称性是解题的关键.7已知空间四边形ABCD，BAC，ABAC2，BDCD6，且平面ABC平面BCD，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为( )A60 B36 C24 D12【答案】A【解析】先利用正弦定理求出底面三角形ABC外接圆的半径r，设外接球的半径为R,球心到底面的距离为h,得到关于R和h的方程组，解方程组即得R和外接球的表面积.【详解】由余弦定理得由正弦定理得，所以三角形ABC的外接圆半径为.设外接球的球心为O,半径为R,球心到底面的距离为h,设三角形ABC的外接圆圆心为E,BC的中点为F,过点O作OGDF,连接DO,BE,OE.在直角OBE中， （1）,在直角DOG中， （2）,.所以外接球的表面积为故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查几何体的外接球的表面积的计算，考查空间位置关系，考查正弦定理和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求几何体外接球的半径常用模型法、方程法.8函数的图像大致是 ( )A B C D【答案】C【解析】通过函数的对称性可排除A，再由特殊值可排除BD，故得到正确答案.【详解】根据函数表达式知故函数不是奇函数也不是偶函数，故A不正确；当x趋向于正无穷时，y值趋向于正无穷，故B不正确；当x趋向于0，且小于0时，y值趋向于负无穷，故D不正确。故答案为：C.【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.9平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面平面A1BD，平面平面ABCDl，则直线l与直线A1C1所成的角为( )A30 B45 C60 D90【答案】D【解析】推导出lB1D1，则直线l与直线A1C1所成的角就是直线B1D1和A1C1所成角，从而就能求出直线l与直线A1C1所成的角【详解】平面平面A1BD，平面A1BD平面CB1D1，平面平面CB1D1，平面ABCD平面A1B1C1D1，平面平面ABCD=l，平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1，lB1D1，直线B1D1与直线A1C1 垂直,直线l与直线A1C1所成的角为90故选：D【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10某几何体的三视图如图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为( )A B C D【答案】A【解析】由三视图首先确定几何体的空间结构，然后结合体积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由三视图可知该几何体是由半个圆锥和一个四棱锥组成的组合体，其中棱锥的底面半径，高，其体积，四棱锥底面是一个边长为2的正方形，高，其体积，则组合体的体积.本题选择A选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解11在中，角所对的边分别为，若,则当取最小值时， =（ ）A B C D【答案】C【解析】根据正弦定理角化为边，得到再由余弦定理得到进而得到结果.【详解】由正弦定理得 , , ,当 ，即时取最小值.故答案为：C.【点睛】解三角形的常见思路有：1解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题；2注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等；3正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.12已知函数是定义在上的奇函数，若，为的导函数，对，总有，则的解集为（ ）A B C D【答案】B【解析】首先根据函数图像的平移得到的图像与函数的图像关系，再根据研究单调性，进而求出结果。【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数关于原点对称，又所以是由向左平移1个单位，向上平移2个单位而得到的，所以是关于点，所以有。设则因为对，总有，所以，即在R上单调递增，所以当时，即当时，所以答案选B。【点睛】本题考查了函数的图像平移规律、奇函数的性质、利用导数研究函数的单调性以及抽象函数不等式的求解，解决关键是将函数不等式转化为单调函数值的比较问题，此类问题常常要构造辅助函数，有一定的技巧和灵活性，要注意积累。二、填空题13设变量满足约束条件：，则的最大值是_【答案】【解析】作出可行域，z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得【详解】作出约束条件所对应的可行域（如图ABC），而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为OC或OA=2，故答案为：8【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14直线与圆相交于（其中为实数）,且 （是坐标原点）,则点与点之间距离的最大值为_【答案】 【解析】根据直线和圆的位置关系得出圆心到直线的距离d=，整理得2a2+b2=4，再利用两点间的距离公式，二元换一元构建关于a的函数即可得到结论【详解】AOB=（O是坐标原点），圆心到直线的距离d=,即 整理得2a2+b2=4，则点P（a，b）与点Q（1，0）之间距离d1= 则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最大值为.故答案为 .【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，通过点到线的距离得出两个变量的等量关系，由两点间的距离公式，二元换一元即可构建函数式得出最值.15如图所示，在直三棱柱中，分别是，的中点，给出下列结论：平面；平面平面；其中正确结论的序号是_【答案】【解析】试题分析：由 平面,故正确；由得 平面,又 ,故正确；由平面平面；故确结论的序号是.【考点】1、线面垂直；2、面面平行.【方法点晴】本题考查线面垂直、面面平行，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、空间想象能力、等价转化能力，综合性较强，属于较难题型. 由 平面,故正确；由得 平面,又 ,故正确；由平面平面；故确结论的序号是.16已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球的表面积等于_【答案】【解析】先根据球体的性质判断当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，再将最大体积用球半径表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，则的边长，当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，球表面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题17已知数列为公差不为的等差数列,满足,且成等比数列.() 求的通项公式；() 若数列满足,且求数列的前项和.【答案】() ； () .【解析】()利用等比中项性质和等差数列的通项公式列方程，可解得公差d的值，进而求得等差数列的通项公式；()根据题意，由累加法求出数列的通项公式，再通过裂项相消法求数列的前项和.【详解】() 设等差数列的公差为,依题意得又,解得,所以. ()依题意得,即 (且) 所以 , .对上式也成立,所以,即, 所以.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了累加法求数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，考查了推理能力与计算能力. 形如的数列 均可利用累加法求通项公式.18已知向量，函数. （）若，求的值；（）在中，角对边分别是，且满足，求的取值范围.【答案】() ()【解析】()利用三角恒等变换化简得出，通过配凑角的方法即可得出的值.()由，结合余弦定理即可得出从而，得出B的范围即可求得的取值范围.【详解】() ()由，得 , 从而得 故【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数求值及解三角形，考查了学生的化简运算能力，通过配凑角进行求值是难点.19（本小题满分14分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【解析】试题分析：（1）将圆的方程化为标准方程可得圆的圆心坐标；（2）先设线段的中点的坐标和直线的方程，再由圆的性质可得点满足的方程，进而利用动直线与圆相交可得的取值范围，即可得线段的中点的轨迹的方程；（3）先说明直线的方程和曲线的方程表示的图形，再利用图形可得当直线与曲线只有一个交点时，的取值范围，进而可得存在实数，使得直线与曲线只有一个交点试题解析：（1）圆化为，所以圆的圆心坐标为（2）设线段的中点，由圆的性质可得垂直于直线.设直线的方程为（易知直线的斜率存在），所以，所以，所以，即.因为动直线与圆相交，所以，所以.所以，所以，解得或，又因为，所以.所以满足即的轨迹的方程为.（3）由题意知直线表示过定点，斜率为的直线.结合图形，表示的是一段关于轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧.根据对称性，只需讨论在轴对称下方的圆弧.设，则，而当直线与轨迹相切时，解得.在这里暂取，因为，所以.LxyOC 结合图形，可得对于轴对称下方的圆弧，当或时，直线与轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当或时，直线与轴对称上方的圆弧有且只有一个交点.综上所述，当或时，直线与曲线只有一个交点.【考点】1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系.20如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，点为棱的中点（）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；（）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角【答案】（1）见解析（2）【解析】（）取的中点，连结、，得到故且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（）以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，和平面的法向量，利用向量的夹角公式，求得，进而得到为直线与平面所成的角，即可求解.【详解】（）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.所以，四边形为平行四边形.所以，又平面，平面，所以，平面.（）由题意知为正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，则由题意知，设平面的法向量为，则由得，令，则，所以取，显然可取平面的法向量，由题意：，所以.由于平面，所以在平面内的射影为，所以为直线与平面所成的角，易知在中，从而，所以直线与平面所成的角为.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.21已知函数为常数（）若是函数的一个极值点，求此时函数的单调区间；（）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是； （2）.【解析】（1）求导后根据得到，于是，令可得增区间，令可得减区间（2）由题意得到，故问题等价于：对于任意的，不等式恒成立，即恒成立设，求出函数的值域后可得所求范围【详解】，（1）是函数的一个极值点，令，解得或；令解得，函数的单调递增区间是，单调递减区间是（2），当且仅当时等号成立当时，在上恒成立，在上单调递增，故问题等价于：对于任意的，不等式恒成立，即恒成立设，则，令，则，在上递减，故，在上单调递减，实数的取值范围为【点睛】（1）解答第一问时注意函数的单调性与导函数的符号间的关系，通过解不等式可得所求的单调区间（2）解答第二问的关键在于转化，在求得后，将问题转化为不等式恒成立，通过分离参数后得到恒成立，然后利用单调性求出函数的值域后可得所求范围22选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1： (为参数，实数a0)，曲线C2： (为参数，实数b0)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标