导数研究函数性质

1 导数与导函数的概念 1 设函数 y f x 在区间 a b 上有定义 x0 a b 若 x 无限趋近于 0 时 比值 无限趋近于一个常数 A 则称 f x 在 x x0处可导 并 y x f x0 x f x0 x 称该常数 A 为函数 f x 在 x x0处的导数 derivative 记作 f x0 2 若 f x 对于区间 a b 内任一点都可导 则 f x 在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化 因而也是自变量 x 的函数 该函数称为 f x 的导函数 记作 f x 2 导数的几何意义 函数 y f x 在点 x0处的导数的几何意义 就是曲线 y f x 在点 P x0 f x0 处的 切线的斜率 k 即 k f x0 3 基本初等函数的导数公式 基本初等函数导函数 f x C C 为常数 f x 0 f x x 为常数 f x x 1 f x sin x f x cos x f x cos x f x sin x f x ex f x ex f x ax a 0 a 1 f x axln a f x ln x f x 1 x f x logax a 0 a 1 f x 1 xln a 4 导数的运算法则 若 f x g x 存在 则有 1 f x g x f x g x 2 f x g x f x g x f x g x 3 g x 0 f x g x f x g x f x g x g2 x 5 复合函数的导数 若 y f u u ax b 则 y x y u u x 即 y x y u a 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x0 与 f x0 表示的意义相同 2 求 f x0 时 可先求 f x0 再求 f x0 3 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 4 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 5 函数 f x sin x 的导数是 f x cos x 1 教材改编 f x 是函数 f x x3 2x 1 的导函数 则 f 1 的值为 1 3 2 如图所示为函数 y f x y g x 的导函数的图象 那么 y f x y g x 的 图象可能是 3 设函数 f x 的导数为 f x 且 f x f sin x cos x 则 f 2 4 4 已知点 P 在曲线 y 上 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角 则 的 4 ex 1 取值范围是 5 2015 陕西 设曲线 y ex在点 0 1 处的切线与曲线 y x 0 上点 P 处的切 1 x 线垂直 则 P 的坐标为 题型一题型一 导数的运算导数的运算 例 1 求下列函数的导数 1 y 3x2 4x 2x 1 2 y x2sin x 3 y 3xex 2x e 4 y ln x x2 1 5 y ln 2x 5 思维升华 1 求导之前 应利用代数 三角恒等式等变形对函数进行化简 然 后求导 这样可以减少运算量 提高运算速度 减少差错 遇到函数的商的形 式时 如能化简则化简 这样可避免使用商的求导法则 减少运算量 2 复合 函数求导时 先确定复合关系 由外向内逐层求导 必要时可换元 1 f x x 2 016 ln x 若 f x0 2 017 则 x0 2 若函数 f x ax4 bx2 c 满足 f 1 2 则 f 1 题型二题型二 导数的几何意义导数的几何意义 命题点 1 已知切点的切线方程问题 例 2 1 函数 f x 的图象在点 1 2 处的切线方程为 ln x 2x x 2 曲线 y e 2x 1 在点 0 2 处的切线与直线 y 0 和 y x 围成的三角形的面积 为 命题点 2 未知切点的切线方程问题 例 3 1 与直线 2x y 4 0 平行的抛物线 y x2的切线方程是 2 已知函数 f x xln x 若直线 l 过点 0 1 并且与曲线 y f x 相切 则直 线 l 的方程为 命题点 3 和切线有关的参数问题 例 4 已知 f x ln x g x x2 mx m0 那么函数 y f x 在这个区间内单调递增 如果 f x 0 右侧 f x 0 那么 f x0 是极大值 2 如果在 x0附近的左侧 f x 0 那么 f x0 是极小值 3 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数 f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数 f x 在 a b 上单调递增 则 f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大 值 若函数 f x 在 a b 上单调递减 则 f a 为函数的最大值 f b 为函数的最 小值 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若函数 f x 在 a b 内单调递增 那么一定有 f x 0 2 如果函数 f x 在某个区间内恒有 f x 0 则 f x 在此区间内没有单调性 3 函数的极大值不一定比极小值大 4 对可导函数 f x f x0 0 是 x0点为极值点的充要条件 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 1 函数 f x x2 2ln x 的单调递减区间是 2 已知定义在实数集 R 上的函数 f x 满足 f 1 3 且 f x 的导数 f x 在 R 上 恒有 f x 2 x R 则不等式 f x 2x 1 的解集为 3 函数 f x x3 3x2 1 在 x 处取得极小值 4 教材改编 如图是 f x 的导函数 f x 的图象 则 f x 的极小值点的个数为 5 设 1 x 2 则 2 的大小关系是 用 ln x x ln x x ln x2 x2 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 4 解不等式 f x 0 1 若函数 y f x 的导函数是奇函数 求 a 的值 2 求函数 y f x 的单调区间 思维升华 1 研究含参数的函数的单调性 要依据参数对不等式解集的影响进 行分类讨论 2 划分函数的单调区间时 要在函数定义域内讨论 还要确定导数为 0 的点和 函数的间断点 3 个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性 如 f x x3 f x 3x2 0 f x 0 在 x 0 时取到 f x 在 R 上是增函数 讨论函数 f x a 1 ln x ax2 1 的单调性 题型三题型三 利用函数单调性求参数利用函数单调性求参数 例 3 设函数 f x x3 x2 bx c 曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为 1 3 a 2 y 1 1 求 b c 的值 2 若 a 0 求函数 f x 的单调区间 3 设函数 g x f x 2x 且 g x 在区间 2 1 内存在单调递减区间 求实 数 a 的取值范围 引申探究 在本例 3 3 中 1 若 g x 在 2 1 内为减函数 如何求解 2 若 g x 的单调减区间为 2 1 求 a 的值 3 若 g x 在 2 1 上不单调 求 a 的取值范围 思维升华 已知函数单调性 求参数范围的两个方法 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单 调区间的子集 2 转化为不等式的恒成立问题 即 若函数单调递增 则 f x 0 若函数单 调递减 则 f x 0 来求解 已知函数 f x exln x aex a R 1 若 f x 在点 1 f 1 处的切线与直线 y x 1 垂直 求 a 的值 1 e 2 若 f x 在 0 上是单调函数 求实数 a 的取值范围 5 分类讨论思想研究函数的单调性 典例 14 分 已知函数 f x ln x g x f x ax2 bx 其中函数 g x 的图象在点 1 g 1 处的切线平行于 x 轴 1 确定 a 与 b 的关系 2 若 a 0 试讨论函数 g x 的单调性 温馨提醒 1 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论 常见的分类讨论标 准有以下几种可能 方程 f x 0 是否有根 若 f x 0 有根 求出根 后是否在定义域内 若根在定义域内且有两个 比较根的大小是常见的分类 方法 2 本题求解先分 a 0 或 a 0 两种情况 再比较和 1 的大小 1 2a 方法与技巧 1 已知函数解析式求单调区间 实质上是求 f x 0 f x 当 1 2 x 2 0 时 f x 的最小值为 1 则 a 的值等于 题型三题型三 函数极值和最值的综合问题函数极值和最值的综合问题 例 5 已知函数 f x a 0 的导函数 y f x 的两个零点为 3 和 0 ax2 bx c ex 1 求 f x 的单调区间 2 若 f x 的极小值为 e3 求 f x 在区间 5 上的最大值 思维升华 求函数在无穷区间 或开区间 上的最值 不仅要研究其极值情况 还要研究其单调性 并通过单调性和极值情况 画出函数的大致图象 然后借 助图象观察得到函数的最值 已知函数 f x x3 ax2 4 在 x 2 处取得极值 若 m n 1 1 则 f m f n 的最小值是 3 利用导数求函数的最值问题 典例 14 分 已知函数 f x ln x ax a R 1 求函数 f x 的单调区间 2 当 a 0 时 求函数 f x 在 1 2 上的最小值 用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用 以下几步答题 第一步 求导数 求函数 f x 的导数 f x 第二步 求极值 求 f x 在给定区间上的单调性和极值 第三步 求端点值 求 f x 在给定区间上的端点值 第四步 求最值 将 f x 的各极值与 f x 的端点值进行比较 确定 f x 的最大值 与最小值 第五步 反思 反思回顾 查看关键点 易错点和解题规范 温馨提醒 1 本题考查求函数的单调区间 求函数在给定区间 1 2 上的最值 属常规题型 2 本题的难点是分类讨论 考生在分类时易出现不全面 不准确的情况 3 思维不流畅 答题不规范 是解答中的突出问题 方法与技巧 1 如果在区间 a b 上函数 y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有 最大值和最小值 2 求闭区间上可导函数的最值时 对函数的极值是极大值还是极小值可不作 判断 直接与端点的函数值比较即可 3 当连续函数的极值点只有一个时 相应的极值必为函数的最值 4 求极值 最值时 要求步骤规范 表格齐全 含参数时 要讨论参数的大 小 失误与防范 1 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯 可使问题直观且有条理 减少失分的可能 2 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才 能下结论 3 函数在给定闭区间上存在极值 一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值 3 导数与函数的综合问题导数与函数的综合问题 题型一题型一 用导数解决与不等式有关的问题用导数解决与不等式有关的问题 命题点 1 解不等式 例 1 设 f x 是定义在 R 上的奇函数 且 f 2 0 当 x 0 时 有0 的解集是 命题点 2 证明不等式 例 2 证明 当 x 0 1 时 x sin x x 2 2 命题点 3 不等式恒成立问题 例 3 已知定义在正实数集上的函数 f x x2 2ax g x 3a2ln x b 其中 1 2 a 0 设两曲线 y f x y g x 有公共点 且在该点处的切线相同 1 用 a 表示 b 并求 b 的最大值 2 求证 f x g x x 0 思维升华 1 利用导数解不等式 一般可构造函数 利用已知条件确定函数单 调性解不等式 2 证明不等式 f x g x 可构造函数 F x f x g x 利用导数求 F x 的值域 得到 F x 0 即可 3 利用导数研究不等式恒成立问题 首先要构造函数 利用导数研究函数的单 调性 求出最值 进而得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 也 可分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 已知函数 f x ln x a x 若 f x x2在 1 上恒成立 求 a 的取值范围 题型二题型二 利用导数解决函数零点问题利用导数解决函数零点问题 例 4 2014 课标全国 已知函数 f x x3 3x2 ax 2 曲线 y f x 在点 0 2 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 2 1 求 a 2 证明 当 k 1 时 曲线 y f x 与直线 y kx 2 只有一个交点 思维升华 研究方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最 小值 变化趋势等 根据题目要求 画出函数图象的走势规律 标明函数极 最 值 的位置 通过数形结合的思想去分析问题 可以使问题的求解有一个清晰 直 观的整体展现 已知函数 f x x2 xsin x cos x 的图象与直线 y b 有两个不同交 点 求 b 的取值范围 题型三题型三 利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题 例 5 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量 y 单位 千克 与 销售价格 x 单位 元 千克 满足关系式 y 10 x 6 2 其中 3 x0 为使耗电量最小 则速度应定为 1 3 39 2 典例 14 分 设 f x xln x g x x3 x2 3 a x 1 如果存在 x1 x2 0 2 使得 g x1 g x2 M 成立 求满足上述条件的最大 整数 M 2 如果对于任意的 s t 2 都有 f s g t 成立 求实数 a 的取值范围 1 2 方法与技巧 1 用导数方法证明不等式