大学数学经典求极限方法(最全)

实用标准文案 精彩文档 求极限的各种方法求极限的各种方法 1 约去零因子求极限 约去零因子求极限 例例 1 求极限 1 1 lim 4 1 x x x 说明 表明无限接近 但 所以这一零因子可以约去 1 x1与x1 x1 x 解 46 1 1 lim 1 1 1 1 lim 2 1 2 1 xx x xxx xx 2 分子分母同除求极限 分子分母同除求极限 例例 2 求极限 13 lim 3 23 x xx x 说明 型且分子分母都以多项式给出的极限 可通过分子分母同除来求 解 3 1 3 1 lim 13 lim 3 1 1 3 23 x x xx x xx 注 1 一般分子分母同除的最高次方 x 2 nm b a nm nm bxbxb axaxa n n m m m m n n n n x 0 lim 0 1 1 0 1 1 实用标准文案 精彩文档 3 分子 分子 母母 有理化求极限有理化求极限 例例 3 求极限 13 lim 22 xx x 说明 分子或分母有理化求极限 是通过有理化化去无理式 解 13 13 13 lim 13 lim 22 2222 22 xx xxxx xx xx 0 13 2 lim 22 xx x 例例 4 求极限 3 0 sin1tan1 lim x xx x 解 xxx xx x xx xx sin1tan1 sintan lim sin1tan1 lim 3 0 3 0 4 1sintan lim 2 1sintan lim sin1tan1 1 lim 3 0 3 00 x xx x xx xx xxx 注 本题除了使用分子有理化方法外 及时分离极限式中的非零因子分离极限式中的非零因子是 解题的关键 4 应用两个重要极限求极限 应用两个重要极限求极限 两个重要极限是和 第1 sin lim 0 x x x ex nx x x n n x x 1 0 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现 主要考第二个重要极限 例例 5 求极限 x x x x 1 1 lim 说明 第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤 先凑出 再凑 最后凑 X 1 指数部分 解 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1lim 1 2 1lim 1 1 lime xxx x x x x x x x x 例例 6 1 2 已知 求 x x x 2 1 1lim8 2 lim x x ax ax a 实用标准文案 精彩文档 5 用等价无穷小量代换求极限 用等价无穷小量代换求极限 说明 1 常见等价无穷小有 当 时 0 x 1ln arctan arcsin tan sin xxxxxx 1ex abxaxxx b 11 2 1 cos1 2 2 等价无穷小量代换 只能代换极限式中的因式因式 3 此方法在各种求极限的方法中应作为首选应作为首选 例例 7 求极限 0 ln 1 lim 1 cos x xx x 解解 00 2 ln 1 limlim2 1 1 cos 2 xx xxx x x x 例例 8 求极限 x xx x 3 0 tan sin lim 解解 x xx x 3 0 tan sin lim 6 1 3 lim 3 1cos lim sin lim 2 2 2 1 0 2 0 3 0 x x x x x xx xxx 6 用罗必塔法则求极限 用罗必塔法则求极限 例例 9 求极限 2 2 0 sin1ln 2cosln lim x xx x 说明 或型的极限 可通过罗必塔法则来求 0 0 解解 2 2 0 sin1ln 2cosln lim x xx x x x x x x x 2 sin1 2sin 2cos 2sin2 lim 2 0 3 sin1 1 2cos 2 2 2sin lim 2 0 xxx x x 注 许多变动上显的积分表示的极限 常用罗必塔法则求解 例例 10 设函数 f x 连续 且 求极限0 0 f lim 0 0 0 x x x dttxfx dttftx 解解 由于 于是 0 00 x xx utx duufduufdttxf x xx x x x x duufx dtttfdttfx dttxfx dttftx 0 00 0 0 0 0 lim lim 实用标准文案 精彩文档 x x x xxfduuf xxfxxfdttf 0 0 0 lim x x x xxfduuf dttf 0 0 0 lim lim 0 0 0 xf x duuf x dttf x x x 2 1 0 0 0 ff f 7 用对数恒等式求 用对数恒等式求极限极限 lim xg xf 例例 11 极限 x x x 2 0 1ln 1 lim 解解 x x x 2 0 1ln 1 lim 1ln 1ln 2 0 lim x x x e 2 1ln 2 lim 1ln 1ln 2 lim 00 eee x x x x xx 注注 对于型未定式的极限 也可用公式 1 lim xg xf lim xg xf 1 1 lim xgxf e 因为 1 1ln lim ln lim lim xfxgxfxgxg eexf 1 lim xgxf e 例例 12 求极限 3 0 12cos lim1 3 x x x x 解解 1 1 原式 2 cos ln 3 3 0 1 lim x x x e x 2 0 2cos ln 3 lim x x x 2 0 ln 2cosln3 lim x x x 0 1 sin 2cos lim 2 x x x x 0 11sin1 lim 22cos6 x x xx 解解 2 2 原式 2 cos ln 3 3 0 1 lim x x x e x 2 0 2cos ln 3 lim x x x 2 0 cos1 ln 3 lim x x x 1 2 0 cos11 lim 36 x x x 实用标准文案 精彩文档 8 利用 利用 Taylor 公式求极限公式求极限 例例 1313 求极限 0 2 lim 2 0 a x aa xx x 解解 ln 2 ln1 22 2 ln xa x axea axx ln 2 ln1 22 2 xa x axa x ln2 222 xaxaa xx a x xax x aa x xx x 2 2 222 0 2 0 ln ln lim 2 lim 例例 1414 求极限 0 1 1 lim cot x x x x 解解 00 1 11 sincos lim cot lim sin xx xxx x x xxxx 32 32 3 0 1 3 2 lim x xx xxxx x 33 3 0 11 1 2 3 lim 3 x xx x 9 数列极限转化成函数极限求解 数列极限转化成函数极限求解 例例 15 极限 2 1 sinlim n n n n 说明 这是形式的的数列极限 由于数列极限不能使用罗必塔法则 若直 1 接求有一定难度 若转化成函数极限 可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求 解 解 考虑辅助极限 6 1 1sin 11 0 1 1 sin 2 2 2 limlim 1 sinlim eee x x y yy y x xx x x x 实用标准文案 精彩文档 所以 6 1 2 1 sinlim e n n n n 10 n 项和数列极限问题项和数列极限问题 n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 1 用定积分的定义把极限转化为定积分来计算 2 利用两边夹法则求极限 例例 16 极限 222222 1 2 1 1 1 lim nnnn n 说明 用定积分的定义把极限转化为定积分计算 是把看成 0 1 定积 xf 分 1 0 211 limdxxf n n f n f n f n n 解 原式 222 1 1 2 1 1 1 1 11 lim n n nn n n 12 12 ln 2 1 1 1 1 02 dx x 例例 17 极限 nnnn n222 1 2 1 1 1 lim 说明 1 该题遇上一题类似 但是不能凑成 的形式 因而用两边夹法则求解 n n f n f n f n n 211 lim 2 两边夹法则需要放大不等式 常用的方法是都换成最大的或最小的 解 nnnn n222 1 2 1 1 1 lim 因为 1 1 2 1 1 1 22222 n n nnnnnn n 又 nn n n 2 lim1 1 lim 2 n n n 实用标准文案 精彩文档 所以 nnnn n222 1 2 1 1 1 lim 12 单调有界数列的极限问题 单调有界数列的极限问题 例例 18 设数列满足 n x 11 0 sin 1 2 nn xxx n 证明存在 并求该极限 lim n n x 计算 2 1 1 lim n x n n n x x 分析分析 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列 极限的存在 详解详解 因为 则 1 0 x 21 0sin1xx 可推得 则数列有界 1 0sin1 1 2 nn xxn n x 于是 因当 则有 可见数列 1 sin 1 nn nn xx xx 0sinxxx 时 1nn xx 单调减少 故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在 n xlim n n x 设 在两边令 得 解得 即lim n n xl 1 sin