“费马点”与中考试题

1 费马点费马点 与中考试题与中考试题 费尔马 法国业余数学家 拥有业余数学之王的称号 他是解析几何的发明者之一 费马点 就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点 费尔马的结论 对于一个各角 不超过 120 的三角形 费马点是对各边的张角都是 120 的点 对于有一个角超过 120 的三 角形 费马点就是这个内角的顶点 下面简单说明如何找点 P 使它到三个顶点的距离之和 PA PB PC 最小 这就ABC 是所谓的费尔马问题 图 1 解析解析 如图 1 把 APC 绕 A 点逆时针旋转 60 得到 AP C 连接 PP 则 APP 为等边三角形 AP PP P C PC 所以 PA PB PC PP PB P C 点 C 可看成是线段 AC 绕 A 点逆时针旋转 60 而得的定点 BC 为定长 所以当 B P P C 四点在同一直线上时 PA PB PC 最小 这时 BPA 180 APP 180 60 120 APC A P C 180 AP P 180 60 120 BPC 360 BPA APC 360 120 120 120 因此 当的每一个内角都小于 120 时 所求的点 P 对三角形每边的张角都ABC 是 120 可在 AB BC 边上分别作 120 的弓形弧 两弧在三角形内的交点就是 P 点 当有 一内角大于或等于 120 时 所求的 P 点就是钝角的顶点 费尔马问题告诉我们 存在这么一个点到三个定点的距离的和最小 解决问题的方 法是运用旋转变换 本文列举近年 费马点 走进中考试卷的实例 供同学们学习参考 例例 1 1 2008 年广东中考题 已知正方形 ABCD 内一动点 E 到 A B C 三点的距离 之和的最小值为 求此正方形的边长 26 2 图 2 图 3 分析分析 连接 AC 发现点 E 到 A B C 三点的距离之和就是到三个顶点的距ABC 离之和 这实际是费尔马问题的变形 只是背景不同 解解 如图 2 连接 AC 把 AEC 绕点 C 顺时针旋转 60 得到 GFC 连接 EF BG AG 可知 EFC AGC 都是等边三角形 则 EF CE 又 FG AE AE BE CE BE EF FG 图 4 点 B 点 G 为定点 G 为点 A 绕 C 点顺时针旋转 60 所得 线段 BG 即为点 E 到 A B C 三点的距离之和的最小值 此时 E F 两点都在 BG 上 图 3 设正方形的边长为 那么a BO CO GC GO 2 2 a2a 6 2 a BG BO GO 2 2 a 6 2 a 点 E 到 A B C 三点的距离之和的最小值为 26 解得 2 2 2 a 6 2 a26 a 注注 本题旋转 AEB BEC 也都可以 但都必须绕着定点旋转 读者不妨一试 例例 2 2009 年北京中考题 如图 4 在平面直角坐标系中 ABC 三个顶点xOy 的坐标分别为 延长 AC 到点 D 使 CD 过点 D 6 0A 6 0B 0 4 3C 1 2 AC 作 DE AB 交 BC 的延长线于点 E 1 求 D 点的坐标 3 2 作 C 点关于直线 DE 的对称点 F 分别连结 DF EF 若过 B 点的直线 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形 确定此直线的解析式 ykxb 3 设 G 为 y 轴上一点 点 P 从直线与 y 轴的交点出发 先沿 y 轴到达ykxb G 点 再沿 GA 到达 A 点 若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍 试确定 G 点的位置 使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短 分析和解分析和解 1 D 点的坐标 3 过程略 6 3 2 直线 BM 的解析式为 过程略 36 3yx y x E D C BAO y x O D M F E C BA 图 4 3 如何确定点 G 的位置是本题的难点也是关健所在 设 Q 点为 y 轴上一点 P 在 y 轴上运动的速度为 v 则 P 沿 M Q A 运动的时间为 使 P 点到达 A 点所用 2 MQAQ vv 的时间最短 就是MQ AQ 最小 或 MQ 2AQ 最小 1 2 解法解法 1 BQ AQ MQ 2AQ 最小就是 MQ AQ BQ 最小 就是在直线 MO 上找点 G 使他到 A B M 三点的距离和最小 至此 再次发现这又是一个费尔马问题的 变形 注意到题目中等边三角形的信息 考虑作旋转变换 把 MQB 绕点 B 顺时针旋转 60 得到 M Q B 连接 QQ MM 图 5 可知 QQ B MM B 都是等边三角形 则 QQ BQ 又 M Q MQ MQ AQ BQ M Q QQ AQ 点 A M 为定点 所以当 Q Q 两点在线段 A M 上时 MQ AQ BQ 最小 由条 件可证明 Q 点总在 AM 上 所以 A M 与 OM 的交点就是所要的 G 点 图 6 可证 OG MG 1 2 4 图 5 图 6 图 7 解法解法 2 考虑MQ AQ 最小 过 Q 作 BM 的垂线交 BM 于 K 由 OB 6 OM 1 2 可得 BMO 30 所以 QK MQ 6 3 1 2 要使MQ AQ 最小 只需使 AQ QK 最小 根据 垂线段最短 可推出当点 1 2 A Q K 在一条直线上时 AQ QK 最小 并且此时的 QK 垂直于 BM 此时的点 Q 即为 所求的点 G 图 7 过 A 点作 AH BM 于 H 则 AH 与 y 轴的交点为所求的 G 点 由 OB 6 OM 可得6 3 OBM 60 BAH 30 在 Rt OAG 中 OG AO tan BAH 2 3 G 点的坐标为 0 G 点为线段 OC 的中点 2 3 例例 3 2009 年湖州中考题 若点 P 为 ABC 所在平面上一点 且 APB BPC CPA 120 则点 P 叫做 ABC 的费马点 1 若 P 为锐角 ABC 的费马点 且 ABC 60 PA 3 PC 4 则 PB 的值为 2 如图 8 在锐角 ABC 的外侧作等边 ACB 连结 BB 求证 BB 过 ABC 的 费马点 P 且 BB PA PB PC 图 8 解解 1 利用相似三角形可求 PB 的值为 2 3 5 2 设点 P 为锐角 ABC 的费马点 即 APB BPC CPA 120 如图 8 把 ACP 绕点 C 顺时针旋转 60 到 B CE 连结 PE 则 EPC 为正三角 形 B EC APC 120 PEC 60 B EC PEC 180 即 P E B 三点在同一直线上 BPC 120 CPE 60 BPC CPE 180 即 B P E 三点在同一直线上 B P E B 四点在同一直线上 即 BB 过 ABC 的费马点 P 又 PE PC B E PA BB E B PB PE PA PB PC 注注 通过旋转变换 可以改变线段的位置 优化图形的结构 在使用这一方法解