中考二次函数压轴题及答案

精品文档 1欢迎下载 二次函数压轴题精讲二次函数压轴题精讲 1 1 二次函数综合题 二次函数综合题 1 二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时 先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号 然后判断 新的函数关系式中系数的符号 再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征 则符合所有特征的图象即为正确选项 2 二次函数与方程 几何知识的综合应用 将函数知识与方程 几何知识有机地结合在一起 这类试题一般难度较大 解 这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题 善于利用几何图形的有关性 质 定理和二次函数的知识 并注意挖掘题目中的一些隐含条件 3 二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系 建立二次函数模型 关键在于观察 分析 创建 建立直角坐标系下的二次函数图象 然后数形结合解决问题 需要我们 注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义 精品文档 2欢迎下载 例例 1 1 已知 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 直线与 x 轴 y 轴的 交点分别为 A B 将 OBA 对折 使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上 折痕交 x 轴于点 C 1 直接写出点 C 的坐标 并求过 A B C 三点的抛物线的解析式 2 若抛物线的顶点为 D 在直线 BC 上是否存在点 P 使得四边形 ODAP 为平 行四边形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 3 设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T Q 为线段 BT 上一点 直接写出 QA QO 的取值范围 精品文档 3欢迎下载 2 如图 直线 y x 2 与抛物线 y ax2 bx 6 a 0 相交于 A 和 B 4 m 点 P 是线段 AB 上异于 A B 的动点 过点 P 作 PC x 轴于点 D 交抛 物线于点 C 1 求抛物线的解析式 2 是否存在这样的 P 点 使线段 PC 的长有最大值 若存在 求出这个最大 值 若不存在 请说明理由 3 求 PAC 为直角三角形时点 P 的坐标 精品文档 4欢迎下载 3 如图 在直角坐标系中 抛物线经过点 A 0 4 B 1 0 C 5 0 其对称轴与 x 轴相交于点 M 1 求抛物线的解析式和对称轴 2 在抛物线的对称轴上是否存在一点 P 使 PAB 的周长最小 若存在 请 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 连接 AC 在直线 AC 的下方的抛物线上 是否存在一点 N 使 NAC 的面积 最大 若存在 请求出点 N 的坐标 若不存在 请说明理由 精品文档 5欢迎下载 4 如图 抛物线 y x2 bx c 交 x 轴于点 A 3 0 和点 B 交 y 轴于点 C 0 3 1 求抛物线的函数表达式 2 若点 P 在抛物线上 且 S AOP 4SBOC 求点 P 的坐标 3 如图 b 设点 Q 是线段 AC 上的一动点 作 DQ x 轴 交抛物线于点 D 求 线段 DQ 长度的最大值 精品文档 6欢迎下载 5 如图 在矩形 OABC 中 OA 5 AB 4 点 D 为边 AB 上一点 将 BCD 沿直线 CD 折叠 使点 B 恰好落在边 OA 上的点 E 处 分别以 OC OA 所在的直线为 x 轴 y 轴建立平面直角坐标系 1 求 OE 的长及经过 O D C 三点抛物线的解析式 2 一动点 P 从点 C 出发 沿 CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动 同 时动点 Q 从 E 点出发 沿 EC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动 当点 P 到 达点 B 时 两点同时停止运动 设运动时间为 t 秒 当 t 为何值时 DP DQ 3 若点 N 在 1 中抛物线的对称轴上 点 M 在抛物线上 是否存在这样的 点 M 与点 N 使 M N C E 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请求出 M 点坐标 若不存在 请说明理由 精品文档 7欢迎下载 6 如图 边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上 以点 C 为顶点的抛物线 经过点 A 点 P 是抛物线上点 A C 间的一个动点 含端点 过点 P 作 PF BC 于点 F 点 D E 的坐标分别为 0 6 4 0 连接 PD PE DE 1 请直接写出抛物线的解析式 2 小明探究点 P 的位置发现 当 P 与点 A 或点 C 重合时 PD 与 PF 的差为定 值 进而猜想 对于任意一点 P PD 与 PF 的差为定值 请你判断该猜想是否正 确 并说明理由 3 小明进一步探究得出结论 若将 使 PDE 的面积为整数 的点 P 记作 好点 则存在多个 好点 且使 PDE 的周长最小的点 P 也是一个 好点 请直接写 出所有 好点 的个数 并求出 PDE 周长最小时 好点 的坐标 精品文档 8欢迎下载 7 如图 已知抛物线 y x2 bx c 与坐标轴分别交于点 A 0 8 B 8 0 和点 E 动点 C 从原点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度移动 动点 D 从点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度移动 动点 C D 同时出发 当动点 D 到 达原点 O 时 点 C D 停止运动 1 直接写出抛物线的解析式 2 求 CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式 当 t 为何值时 CED 的面积最大 最大面积是多少 3 当 CED 的面积最大时 在抛物线上是否存在点 P 点 E 除外 使 PCD 的面积等于 CED 的最大面积 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 请说明理 由 精品文档 9欢迎下载 8 如图 已知二次函数 L1 y ax2 2ax a 3 a 0 和二次函数 L2 y a x 1 2 1 a 0 图象的顶点分别为 M N 与 y 轴分别交于点 E F 1 函数 y ax2 2ax a 3 a 0 的最小值为 当二次函数 L1 L2的 y 值同时随着 x 的增大而减小时 x 的取值范围是 2 当 EF MN 时 求 a 的值 并判断四边形 ENFM 的形状 直接写出 不必证 明 3 若二次函数 L2的图象与 x 轴的右交点为 A m 0 当 AMN 为等腰三角形 时 求方程 a x 1 2 1 0 的解 精品文档 10欢迎下载 9 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 y x 2 与 x 轴交于点 A 与 y 轴交 于点 C 抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是 x 且经过 A C 两点 与 x 轴的另一 交点为点 B 1 直接写出点 B 的坐标 求抛物线解析式 2 若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点 连接 PA PC 求 PAC 的面积 的最大值 并求出此时点 P 的坐标 3 抛物线上是否存在点 M 过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N 使得以点 A M N 为顶点的三角形与 ABC 相似 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理 由 精品文档 11欢迎下载 10 如图 顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y x 1 相交于 A B 两点 且点 A 在 x 轴上 点 B 的横坐标为 2 连结 AM BM 1 求抛物线的函数关系式 2 判断 ABM 的形状 并说明理由 3 把抛物线与直线 y x 的交点称为抛物线的不动点 若将 1 中抛物线平 移 使其顶点为 m 2m 当 m 满足什么条件时 平移后的抛物线总有不动 点 精品文档 12欢迎下载 11 2015 孝感 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于点 A B 与 y 轴交于点 C 直线 y x 4 经过 A C 两点 1 求抛物线的解析式 2 在 AC 上方的抛物线上有一动点 P 如图 1 当点 P 运动到某位置时 以 AP AO 为邻边的平行四边形第四个顶点 恰好也在抛物线上 求出此时点 P 的坐标 如图 2 过点 O P 的直线 y kx 交 AC 于点 E 若 PE OE 3 8 求 k 的值 12 2015 无锡 一次函数 y x 的图象如图所示 它与二次函数 y ax2 4ax c 的图象交于 A B 两点 其中点 A 在点 B 的左侧 与这个二次函数图象的对称 轴交于点 C 1 求点 C 的坐标 2 设二次函数图象的顶点为 D 若点 D 与点 C 关于 x 轴对称 且 ACD 的面积等于 3 求此二次函数的关系式 若 CD AC 且 ACD 的面积等于 10 求此二次函数的关系式 13 2015 济宁 如图 E 的圆心 E 3 0 半径为 5 E 与 y 轴相交于 A B 两点 点 A 在点 B 的上方 与 x 轴的正半轴交于点 C 直线 l 的解析式为 y x 4 与 x 轴相交于点 D 以点 C 为顶点的抛物线过点 B 1 求抛物线的解析式 2 判断直线 l 与 E 的位置关系 并说明理由 精品文档 13欢迎下载 3 动点 P 在抛物线上 当点 P 到直线 l 的距离最小时 求出点 P 的坐标及最 小距离 14 2015 佛山 如图 一小球从斜坡 O 点处抛出 球的抛出路线可以用二次 函数 y x2 4x 刻画 斜坡可以用一次函数 y x 刻画 1 请用配方法求二次函数图象的最高点 P 的坐标 2 小球的落点是 A 求点 A 的坐标 3 连接抛物线的最高点 P 与点 O A 得 POA 求 POA 的面积 4 在 OA 上方的抛物线上存在一点 M M 与 P 不重合 MOA 的面积等于 POA 的面积 请直接写出点 M 的坐标 15 2015 甘孜州 如图 已知抛物线 y ax2 5ax 2 a 0 与 y 轴交于点 C 与 x 轴交于点 A 1 0 和点 B 1 求抛物线的解析式 2 求直线 BC 的解析式 3 若点 N 是抛物线上的动点 过点 N 作 NH x 轴 垂足为 H 以 B N H 为 顶点的三角形是否能够与 OBC 相似 排除全等的情况 若能 请求出所有符 合条件的点 N 的坐标 若不能 请说明理由 精品文档 14欢迎下载 16 2015 连云港 如图 已知一条直线过点 0 4 且与抛物线 y x2交于 A B 两点 其中点 A 的横坐标是 2 1 求这条直线的函数关系式及点 B 的坐标 2 在 x 轴上是否存在点 C 使得 ABC 是直角三角形 若存在 求出点 C 的 坐标 若不存在 请说明理由 3 过线段 AB 上一点 P 作 PM x 轴 交抛物线于点 M 点 M 在第一象限 点 N 0 1 当点 M 的横坐标为何值时 MN 3MP 的长度最大 最大值是多少 17 2015 赤峰 已知二次函数 y ax2 bx 3a 经过点 A 1 0 C 0 3 与 x 轴交于另一点 B 抛物线的顶点为 D 1 求此二次函数解析式 2 连接 DC BC DB 求证 BCD 是直角三角形 3 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P 使得 PDC 为等腰三角形 若存 在 求出符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 18 2015 贵阳 如图 经过点 C 0 4 的抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴 相交于 A 2 0 B 两点 1 a 0 b2 4ac 0 填 或 2 若该抛物线关于直线 x 2 对称 求抛物线的函数表达式 精品文档 15欢迎下载 3 在 2 的条件下 连接 AC E 是抛物线上一动点 过点 E 作 AC 的平行线 交 x 轴于点 F 是否存在这样的点 E 使得以 A C E F 为顶点所组成的四边 形是平行四边形 若存在 求出满足条件的点 E 的坐标 若不存在 请说明理 由 19 2015 宁德 已知抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C O 是坐标原点 点 A 的坐标是 1 0 点 C 的坐标是 0 3 1 求抛物线的函数表达式 2 求直线 BC 的函数表达式和 ABC 的度数 3 P 为线段 BC 上一点 连接 AC AP 若 ACB PAB 求点 P 的坐标 20 2015 盘锦 如图 1 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax2 bx 3 交 x 轴于 A 1 0 和 B 5 0 两点 交 y 轴于点 C 点 D 是线段 OB 上一动点 连接 CD 将线段 CD 绕点 D 顺时针旋转 90 得到线段 DE 过点 E 作直线 l x 轴于 H 过点 C 作 CF l 于 F 1 求抛物线解析式 2 如图 2 当点 F 恰好在抛物线上时 求线段 OD 的长 3 在 2 的条件下 连接 DF 求 tan FDE 的值 试探究在直线 l 上 是否存在点 G 使 EDG 45 若存在 请直接写出点 G 的坐标 若不存在 请说明理由 精品文档 16欢迎下载 21 2015 攀枝花 如图 已知抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 与 y 轴交于点 C 抛物线的对称轴与抛物线交于点 P 与直线 BC 相交于点 M 连接 PB 1 求该抛物线的解析式 2 在 1 中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D 使得 BCD 的面积最 大 若存在 求出 D 点坐标及 BCD 面积的最大值 若不存在 请说明理由 3 在 1 中的抛物线上是否存在点 Q 使得 QMB 与 PMB 的面积相等 若 存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 22 2015 黔南州 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y x2 bx c 过点 A 0 4 和 C 8 0 P t 0 是 x 轴正半轴上的一个动点 M 是线段 AP 的 中点 将线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90 得线段 PB 过点 B 作 x 轴的垂线 过点 A 作 y 轴的垂线 两直线交于点 D 1 求 b c 的值 2 当 t 为何值时 点 D 落在抛物线上 3 是否存在 t 使得以 A B D 为顶点的三角形与 AOP 相似 若存在 求 此时 t 的值 若不存在 请说明理由 精品文档 17欢迎下载 23 2015 金华 如图 抛物线 y ax2 c a 0 与 y 轴交于点 A 与 x 轴交于 B C 两点 点 C 在 x 轴正半轴上 ABC 为等腰直角三角形 且面积为 4 现 将抛物线沿 BA 方向平移 平移后的抛物线过点 C 时 与 x 轴的另一点为 E 其 顶点为 F 对称轴与 x 轴的交点为 H 1 求 a c 的值 2 连接 OF 试判断 OEF 是否为等腰三角形 并说明理由 3 现将一足够大的三角板的直角顶点 Q 放在射线 AF 或射线 HF 上 一直角边 始终过点 E 另一直角边与 y 轴相交于点 P 是否存在这样的点 Q 使以点 P Q E 为顶点的三角形与 POE 全等 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 24 2015 德州 已知抛物线 y mx2 4x 2m 与 x 轴交于点 A 0 B 0 且 2 1 求抛物线的解析式 2 抛物线的对称轴为 l 与 y 轴的交点为 C 顶点为 D 点 C 关于 l 的对称 点为 E 是否存在 x 轴上的点 M y 轴上的点 N 使四边形 DNME 的周长最小 若 存在 请画出图形 保留作图痕迹 并求出周长的最小值 若不存在 请说明 理由 3 若点 P 在抛物线上 点 Q 在 x 轴上 当以点 D E P Q 为顶点的四边形 是平行四边形时 求点 P 的坐标 精品文档 18欢迎下载 25 2015 湖北 边长为 2 的正方形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示 点 D 是边 OA 的中点 连接 CD 点 E 在第一象限 且 DE DC DE DC 以直线 AB 为对称轴的抛物线过 C E 两点 1 求抛物线的解析式 2 点 P 从点 C 出发 沿射线 CB 每秒 1 个单位长度的速度运动 运动时间为 t 秒 过点 P 作 PF CD 于点 F 当 t 为何值时 以点 P F D 为顶点的三角形 与 COD 相似 3 点 M 为直线 AB 上一动点 点 N 为抛物线上一动点 是否存在点 M N 使 得以点 M N D E 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请直接写出满足条 件的点的坐标 若不存在 请说明理由 26 2015 威海 已知 抛物线 l1 y x2 bx 3 交 x 轴于点 A B 点 A 在点 B 的左侧 交 y 轴于点 C 其对称轴为 x 1 抛物线 l2经过点 A 与 x 轴的另一 个交点为 E 5 0 交 y 轴于点 D 0 1 求抛物线 l2的函数表达式 2 P 为直线 x 1 上一动点 连接 PA PC 当 PA PC 时 求点 P 的坐标 3 M 为抛物线 l2上一动点 过点 M 作直线 MN y 轴 交抛物线 l1于点 N 求 点 M 自点 A 运动至点 E 的过程中 线段 MN 长度的最大值 精品文档 19欢迎下载 27 2015 东营 如图 抛物线经过 A 2 0 B 0 C 0 2 三点 1 求抛物线的解析式 2 在直线 AC 下方的抛物线上有一点 D 使得 DCA 的面积最大 求点 D 的坐 标 3 设点 M 是抛物线的顶点 试判断抛物线上是否存在点 H 满足 AMH 90 若 存在 请求出点 H 的坐标 若不存在 请说明理由 28 2015 临沂 在平面直角坐标系中 O 为原点 直线 y 2x 1 与 y 轴交于点 A 与直线 y x 交于点 B 点 B 关于原点的对称点为点 C 1 求过 A B C 三点的抛物线的解析式 2 P 为抛物线上一点 它关于原点的对称点为 Q 当四边形 PBQC 为菱形时 求点 P 的坐标 若点 P 的横坐标为 t 1 t 1 当 t 为何值时 四边形 PBQC 面积最大 并说明理由 精品文档 20欢迎下载 29 2015 自贡 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 的对称轴为直线 x 1 且抛物线经过 A 1 0 C 0 3 两点 与 x 轴交于点 B 1 若直线 y mx n 经过 B C 两点 求直线 BC 和抛物线的解析式 2 在抛物线的对称轴 x 1 上找一点 M 使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离 之和最小 求出点 M 的坐标 3 设点 P 为抛物线的对称轴 x 1 上的一个动点 求使 BPC 为直角三角形的 点 P 的坐标 30 2015 丹东 如图 已知二次函数 y ax2 x c 的图象与 y 轴交于点 A 0 4 与 x 轴交于点 B C 点 C 坐标为 8 0 连接 AB AC 1 请直接写出二次函数 y ax2 x c 的表达式 2 判断 ABC 的形状 并说明理由 3 若点 N 在 x 轴上运动 当以点 A N C 为顶点的三角形是等腰三角形时 请直接写出此时点 N 的坐标 4 若点 N 在线段 BC 上运动 不与点 B C 重合 过点 N 作 NM AC 交 AB 于 点 M 当 AMN 面积最大时 求此时点 N 的坐标 精品文档 21欢迎下载 精品文档 22欢迎下载 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 3030 小题 小题 1 2016 深圳模拟 已知 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 与 x 轴 y 轴的交点分别为 A B 将 OBA 对折 使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上 折痕交 x 轴于点 C 1 直接写出点 C 的坐标 并求过 A B C 三点的抛物线的解析式 2 若抛物线的顶点为 D 在直线 BC 上是否存在点 P 使得四边形 ODAP 为平 行四边形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 3 设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T Q 为线段 BT 上一点 直接写出 QA QO 的取值范围 考点 二次函数综合题 菁优网版权所有 专题 压轴题 开放型 分析 1 点 A 的坐标是纵坐标为 0 得横坐标为 8 所以点 A 的坐标为 8 0 点 B 的坐标是横坐标为 0 解得纵坐标为 6 所以点 B 的坐标为 0 6 由题意得 BC 是 ABO 的角平分线 所以 OC CH BH OB 6 AB 10 AH 4 设 OC x 则 AC 8 x 由勾股定理得 x 3 点 C 的坐标为 3 0 将此三点代入二次函数一般式 列的方程组即可求得 2 求得直线 BC 的解析式 根据平行四边形的性质 对角相等 对边平行且 相等 借助于三角函数即可求得 3 如图 由对称性可知 QO QH QA QO QA QH 当点 Q 与点 B 重合时 Q H A 三点共线 QA QO 取得最大值 4 即为 AH 的长 设线段 OA 的垂直平分线与直线 BC 的交点为 K 当点 Q 与点 K 重合时 QA QO 取得最小值 0 精品文档 23欢迎下载 解答 解 1 点 C 的坐标为 3 0 1 分 点 A B 的坐标分别为 A 8 0 B 0 6 可设过 A B C 三点的抛物线的解析式为 y a x 3 x 8 将 x 0 y 6 代入抛物线的解析式 得 2 分 过 A B C 三点的抛物线的解析式为 3 分 2 可得抛物线的对称轴为直线 顶点 D 的坐标为 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G 直线 BC 的解析式为 y 2x 6 4 分 设点 P 的坐标为 x 2x 6 解法一 如图 作 OP AD 交直线 BC 于点 P 连接 AP 作 PM x 轴于点 M OP AD POM GAD tan POM tan GAD 即 解得 经检验是原方程的解 此时点 P 的坐标为 5 分 但此时 OM GA OP AD 即四边形的对边 OP 与 AD 平行但不相等 直线 BC 上不存在符合条件的点 P 6 分 精品文档 24欢迎下载 解法二 如图 取 OA 的中点 E 作点 D 关于点 E 的对称点 P 作 PN x 轴于 点 N 则 PEO DEA PE DE 可得 PEN DEG 由 可得 E 点的坐标为 4 0 NE EG ON OE NE NP DG 点 P 的坐标为 5 分 x 时 点 P 不在直线 BC 上 直线 BC 上不存在符合条件的点 P 6 分 3 QA QO 的取值范围是 8 分 当 Q 在 OA 的垂直平分线上与直线 BC 的交点时 如点 K 处 此时 OK AK 则 QA QO 0 当 Q 在 AH 的延长线与直线 BC 交点时 此时 QA QO 最大 直线 AH 的解析式为 y x 6 直线 BC 的解析式为 y 2x 6 联立可得 交点为 0 6 OQ 6 AQ 10 精品文档 25欢迎下载 QA QO 4 QA QO 的取值范围是 0 QA QO 4 点评 此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识 解题的 关键是认真识图 注意数形结合思想的应用 2 2015 枣庄 如图 直线 y x 2 与抛物线 y ax2 bx 6 a 0 相交于 A 和 B 4 m 点 P 是线段 AB 上异于 A B 的动点 过点 P 作 PC x 轴于点 D 交抛物线于点 C 1 求抛物线的解析式 2 是否存在这样的 P 点 使线段 PC 的长有最大值 若存在 求出这个最大 值 若不存在 请说明理由 3 求 PAC 为直角三角形时点 P 的坐标 考点 二次函数综合题 菁优网版权所有 专题 几何综合题 压轴题 分析 1 已知 B 4 m 在直线 y x 2 上 可求得 m 的值 抛物线图象上 的 A B 两点坐标 可将其代入抛物线的解析式中 通过联立方程组即可求得待 定系数的值 精品文档 26欢迎下载 2 要弄清 PC 的长 实际是直线 AB 与抛物线函数值的差 可设出 P 点横坐标 根据直线 AB 和抛物线的解析式表示出 P C 的纵坐标 进而得到关于 PC 与 P 点 横坐标的函数关系式 根据函数的性质即可求出 PC 的最大值 3 当 PAC 为直角三角形时 根据直角顶点的不同 有三种情形 需要分类 讨论 分别求解 解答 解 1 B 4 m 在直线 y x 2 上 m 4 2 6 B 4 6 A B 4 6 在抛物线 y ax2 bx 6 上 解得 抛物线的解析式为 y 2x2 8x 6 2 设动点 P 的坐标为 n n 2 则 C 点的坐标为 n 2n2 8n 6 PC n 2 2n2 8n 6 2n2 9n 4 2 n 2 PC 0 当 n 时 线段 PC 最大且为 3 PAC 为直角三角形 i 若点 P 为直角顶点 则 APC 90 由题意易知 PC y 轴 APC 45 因此这种情形不存在 ii 若点 A 为直角顶点 则 PAC 90 如答图 3 1 过点 A 作 AN x 轴于点 N 则 ON AN 过点 A 作 AM 直线 AB 交 x 轴于点 M 则由题意易知 AMN 为等腰直角三角形 MN AN OM ON MN 3 M 3 0 设直线 AM 的解析式为 y kx b 精品文档 27欢迎下载 则 解得 直线 AM 的解析式为 y x 3 又抛物线的解析式为 y 2x2 8x 6 联立 式 解得 x 3 或 x 与点 A 重合 舍去 C 3 0 即点 C M 点重合 当 x 3 时 y x 2 5 P1 3 5 iii 若点 C 为直角顶点 则 ACP 90 y 2x2 8x 6 2 x 2 2 2 抛物线的对称轴为直线 x 2 如答图 3 2 作点 A 关于对称轴 x 2 的对称点 C 则点 C 在抛物线上 且 C 当 x 时 y x 2 P2 点 P1 3 5 P2 均在线段 AB 上 综上所述 PAC 为直角三角形时 点 P 的坐标为 3 5 或 精品文档 28欢迎下载 点评 此题主要考查了二次函数解析式的确定 二次函数最值的应用以及直 角三角形的判定 函数图象交点坐标的求法等知识 3 2015 酒泉 如图 在直角坐标系中 抛物线经过点 A 0 4 B 1 0 C 5 0 其对称轴与 x 轴相交于点 M 1 求抛物线的解析式和对称轴 2 在抛物线的对称轴上是否存在一点 P 使 PAB 的周长最小 若存在 请 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 连接 AC 在直线 AC 的下方的抛物线上 是否存在一点 N 使 NAC 的面积 最大 若存在 请求出点 N 的坐标 若不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 抛物线经过点 A 0 4 B 1 0 C 5 0 可利用两点式法 设抛物线的解析式为 y a x 1 x 5 代入 A 0 4 即可求得函数的解析式 则可求得抛物线的对称轴 2 点 A 关于对称轴的对称点 A 的坐标为 6 4 连接 BA 交对称轴于点 P 连接 AP 此时 PAB 的周长最小 可求出直线 BA 的解析式 即可得出点 P 的坐 标 3 在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N 使 NAC 面积最大 设 N 点的横坐 标为 t 此时点 N t t2 t 4 0 t 5 再求得直线 AC 的解析式 即可 求得 NG 的长与 ACN 的面积 由二次函数最大值的问题即可求得答案 解答 解 1 根据已知条件可设抛物线的解析式为 y a x 1 x 5 把点 A 0 4 代入上式得 a y x 1 x 5 x2 x 4 x 3 2 抛物线的对称轴是 x 3 2 P 点坐标为 3 理由如下 点 A 0 4 抛物线的对称轴是 x 3 点 A 关于对称轴的对称点 A 的坐标为 6 4 如图 1 连接 BA 交对称轴于点 P 连接 AP 此时 PAB 的周长最小 精品文档 29欢迎下载 设直线 BA 的解析式为 y kx b 把 A 6 4 B 1 0 代入得 解得 y x 点 P 的横坐标为 3 y 3 P 3 3 在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N 使 NAC 面积最大 设 N 点的横坐标为 t 此时点 N t t2 t 4 0 t 5 如图 2 过点 N 作 NG y 轴交 AC 于 G 作 AD NG 于 D 由点 A 0 4 和点 C 5 0 可求出直线 AC 的解析式为 y x 4 把 x t 代入得 y t 4 则 G t t 4 此时 NG t 4 t2 t 4 t2 4t AD CF CO 5 精品文档 30欢迎下载 S ACN S ANG S CGN AD NG NG CF NG OC t2 4t 5 2t2 10t 2 t 2 当 t 时 CAN 面积的最大值为 由 t 得 y t2 t 4 3 N 3 点评 本题主要考查了二次函数与方程 几何知识的综合应用 解题的关键 是方程思想与数形结合思想的灵活应用 4 2015 阜新 如图 抛物线 y x2 bx c 交 x 轴于点 A 3 0 和点 B 交 y 轴于点 C 0 3 1 求抛物线的函数表达式 2 若点 P 在抛物线上 且 S AOP 4SBOC 求点 P 的坐标 3 如图 b 设点 Q 是线段 AC 上的一动点 作 DQ x 轴 交抛物线于点 D 求 线段 DQ 长度的最大值 考点 二次函数综合题 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 把点 A C 的坐标分别代入函数解析式 列出关于系数的方程组 通过解方程组求得系数的值 2 设 P 点坐标为 x x2 2x 3 根据 S AOP 4S BOC列出关于 x 的方程 解方 程求出 x 的值 进而得到点 P 的坐标 3 先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y x 3 再设 Q 点坐标为 x x 3 则 D 点坐标为 x x2 2x 3 然后用含 x 的代数式表示 QD 根据 二次函数的性质即可求出线段 QD 长度的最大值 解答 解 1 把 A 3 0 C 0 3 代入 y x2 bx c 得 精品文档 31欢迎下载 解得 故该抛物线的解析式为 y x2 2x 3 2 由 1 知 该抛物线的解析式为 y x2 2x 3 则易得 B 1 0 S AOP 4S BOC 3 x2 2x 3 4 1 3 整理 得 x 1 2 0 或 x2 2x 7 0 解得 x 1 或 x 1 2 则符合条件的点 P 的坐标为 1 4 或 1 2 4 或 1 2 4 3 设直线 AC 的解析式为 y kx t 将 A 3 0 C 0 3 代入 得 解得 即直线 AC 的解析式为 y x 3 设 Q 点坐标为 x x 3 3 x 0 则 D 点坐标为 x x2 2x 3 QD x2 2x 3 x 3 x2 3x x 2 当 x 时 QD 有最大值 点评 此题考查了待定系数法求二次函数 一次函数的解析式 二次函数的 性质以及三角形面积 线段长度问题 此题难度适中 解题的关键是运用方程 思想与数形结合思想 精品文档 32欢迎下载 5 2015 荆门 如图 在矩形 OABC 中 OA 5 AB 4 点 D 为边 AB 上一点 将 BCD 沿直线 CD 折叠 使点 B 恰好落在边 OA 上的点 E 处 分别以 OC OA 所在 的直线为 x 轴 y 轴建立平面直角坐标系 1 求 OE 的长及经过 O D C 三点抛物线的解析式 2 一动点 P 从点 C 出发 沿 CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动 同 时动点 Q 从 E 点出发 沿 EC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动 当点 P 到 达点 B 时 两点同时停止运动 设运动时间为 t 秒 当 t 为何值时 DP DQ 3 若点 N 在 1 中抛物线的对称轴上 点 M 在抛物线上 是否存在这样的 点 M 与点 N 使 M N C E 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请求出 M 点坐标 若不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 由折叠的性质可求得 CE CO 在 Rt COE 中 由勾股定理可求得 OE 设 AD m 在 Rt ADE 中 由勾股定理可求得 m 的值 可求得 D 点坐标 结 合 C O 两点 利用待定系数法可求得抛物线解析式 2 用 t 表示出 CP BP 的长 可证明 DBP DEQ 可得到 BP EQ 可求得 t 的值 3 可设出 N 点坐标 分三种情况 EN 为对角线 EM 为对角线 EC 为 对角线 根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标 从而可求得 M 点 的横坐标 再代入抛物线解析式可求得 M 点的坐标 解答 解 1 CE CB 5 CO AB 4 在 Rt COE 中 OE 3 设 AD m 则 DE BD 4 m OE 3 AE 5 3 2 在 Rt ADE 中 由勾股定理可得 AD2 AE2 DE2 即 m2 22 4 m 2 解得 m 精品文档 33欢迎下载 D 5 C 4 0 O 0 0 设过 O D C 三点的抛物线为 y ax x 4 5 a 4 解得 a 抛物线解析式为 y x x 4 x2 x 2 CP 2t BP 5 2t 在 Rt DBP 和 Rt DEQ 中 Rt DBP Rt DEQ HL BP EQ 5 2t t t 3 抛物线的对称轴为直线 x 2 设 N 2 n 又由题意可知 C 4 0 E 0 3 设 M m y 当 EN 为对角线 即四边形 ECNM 是平行四边形时 则线段 EN 的中点横坐标为 1 线段 CM 中点横坐标为 EN CM 互相平分 1 解得 m 2 又 M 点在抛物线上 y 22 2 16 M 2 16 当 EM 为对角线 即四边形 ECMN 是平行四边形时 精品文档 34欢迎下载 则线段 EM 的中点横坐标为 线段 CN 中点横坐标为 3 EM CN 互相平分 3 解得 m 6 又 M 点在抛物线上 y 6 2 6 16 M 6 16 当 CE 为对角线 即四边形 EMCN 是平行四边形时 则 M 为抛物线的顶点 即 M 2 综上可知 存在满足条件的点 M 其坐标为 2 16 或 6 16 或 2 点评 本题主要考查二次函数的综合应用 涉及待定系数法 全等三角形的 判定和性质 折叠的性质 平行四边形的性质等知识点 在 1 中求得 D 点坐 标是解题的关键 在 2 中证得全等 得到关于 t 的方程是解题的关键 在 3 中注意分类讨论思想的应用 本题考查知识点较多 综合性较强 难度适 中 6 2015 河南 如图 边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上 以点 C 为 顶点的抛物线经过点 A 点 P 是抛物线上点 A C 间的一个动点 含端点 过 点 P 作 PF BC 于点 F 点 D E 的坐标分别为 0 6 4 0 连接 PD PE DE 1 请直接写出抛物线的解析式 2 小明探究点 P 的位置发现 当 P 与点 A 或点 C 重合时 PD 与 PF 的差为定 值 进而猜想 对于任意一点 P PD 与 PF 的差为定值 请你判断该猜想是否正 确 并说明理由 3 小明进一步探究得出结论 若将 使 PDE 的面积为整数 的点 P 记作 好点 则存在多个 好点 且使 PDE 的周长最小的点 P 也是一个 好点 请直接写 出所有 好点 的个数 并求出 PDE 周长最小时 好点 的坐标 精品文档 35欢迎下载 考点 二次函数综合题 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 利用待定系数法求出抛物线解析式即可 2 首先表示出 P F 点坐标 再利用两点之间距离公式得出 PD PF 的长 进 而求出即可 3 根据题意当 P E F 三点共线时 PE PF 最小 进而得出 P 点坐标以及利 用 PDE 的面积可以等于 4 到 13 所有整数 在面积为 12 时 a 的值有两个 进 而得出答案 解答 解 1 边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上 以点 C 为顶点 的抛物线经过点 A C 0 8 A 8 0 设抛物线解析式为 y ax2 c 则 解得 故抛物线的解析式为 y x2 8 2 正确 理由 设 P a a2 8 则 F a 8 D 0 6 PD a2 2 PF 8 a2 8 a2 PD PF 2 3 在点 P 运动时 DE 大小不变 则 PE 与 PD 的和最小时 PDE 的周长最小 PD PF 2 PD PF 2 PE PD PE PF 2 当 P E F 三点共线时 PE PF 最小 此时点 P E 的横坐标都为 4 将 x 4 代入 y x2 8 得 y 6 精品文档 36欢迎下载 P 4 6 此时 PDE 的周长最小 且 PDE 的面积为 12 点 P 恰为 好点 PDE 的周长最小时 好点 的坐标为 4 6 由 2 得 P a a2 8 点 D E 的坐标分别为 0 6 4 0 当 4 a 0 时 S PDE a 4 a2 8 a2 8 6 4 S PDE 12 当 a 0 时 S PDE 4 8 a 4 时 S PDE a2 8 6 a 4 6 a 4 a2 8 a2 3a 4 4 S PDE 13 当 a 8 时 S PDE 12 PDE 的面积可以等于 4 到 13 所有整数 在面积为 12 时 a 的值有两个 所以面积为整数时好点有 11 个 经过验证周长最小的好点包含这 11 个之内 所以好点共 11 个 综上所述 11 个好点 P 4 6 点评 此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函 数最值等知识 利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键 7 2015 桂林 如图 已知抛物线 y x2 bx c 与坐标轴分别交于点 A 0 8 B 8 0 和点 E 动点 C 从原点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度移动 动点 D 从点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度移动 动点 C D 同时出发 当动点 D 到达原点 O 时 点 C D 停止运动 精品文档 37欢迎下载 1 直接写出抛物线的解析式 y x2 3x 8 2 求 CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式 当 t 为何值时 CED 的面积最大 最大面积是多少 3 当 CED 的面积最大时 在抛物线上是否存在点 P 点 E 除外 使 PCD 的面积等于 CED 的最大面积 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 请说明理 由 考点 二次函数综合题 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 将点 A 0 8 B 8 0 代入抛物线 y x2 bx c 即可求出抛物 线的解析式为 y x2 3x 8 2 根据题意得 当 D 点运动 t 秒时 BD t OC t 然后由点 A 0 8 B 8 0 可得 OA 8 OB 8 从而可得 OD 8 t 然后令 y 0 求出点 E 的坐标 为 2 0 进而可得 OE 2 DE 2 8 t 10 t 然后利用三角形的面积公式即可 求 CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式为 S t2 5t 然后转化为 顶点式即可求出最值为 S最大 3 由 2 知 当 t 5 时 S最大 进而可知 当 t 5 时 OC 5 OD 3 进而可得 CD 从而确定 C 0 5 D 3 0 然后根据待定系数法求出直 线 CD 的解析式为 y x 5 然后过 E 点作 EF CD 交抛物线与点 P 然后求出 直线 EF 的解析式 与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点 P 的坐标 然后利用面积法求出点 E 到 CD 的距离为 然后过点 D 作 DN CD 垂足 为 N 且使 DN 然后求出 N 的坐标 然后过点 N 作 NH CD 与抛物线交 与点 P 然后求出直线 NH 的解析式 与抛物线联立方程组求解即可得到其中的 另两个点 P 的坐标 精品文档 38欢迎下载 解答 解 1 将点 A 0 8 B 8 0 代入抛物线 y x2 bx c 得 解得 b 3 c 8 抛物线的解析式为 y x2 3x 8 故答案为 y x2 3x 8 2 点 A 0 8 B 8 0 OA 8 OB 8 令 y 0 得 x2 3x 8 0 解得 x18 x2 2 点 E 在 x 轴的负半轴上 点 E 2 0 OE 2 根据题意得 当 D 点运动 t 秒时 BD t OC t OD 8 t DE OE OD 10 t S DE OC 10 t t t2 5t 即 S t2 5t t 5 2 当 t 5 时 S最大 3 由 2 知 当 t 5 时 S最大 当 t 5 时 OC 5 OD 3 C 0 5 D 3 0 由勾股定理得 CD 设直线 CD 的解析式为 y kx b 将 C 0 5 D 3 0 代入上式得 k b 5 直线 CD 的解析式为 y x 5 精品文档 39欢迎下载 过 E 点作 EF CD 交抛物线与点 P 如图 1 设直线 EF 的解析式为 y x b 将 E 2 0 代入得 b 直线 EF 的解析式为 y x 将 y x 与 y x2 3x 8 联立成方程组得 解得 P 过点 E 作 EG CD 垂足为 G 当 t 5 时 S ECD EG 过点 D 作 DN CD 垂足为 N 且使 DN 过点 N 作 NM x 轴 垂足为 M 如图 2 精品文档 40欢迎下载 可得 EGD DMN 即 解得 DM OM 由勾股定理得 MN N 过点 N 作 NH CD 与抛物线交与点 P 如图 2 设直线 NH 的解析式为 y x b 将 N 代入上式得 b 直线 NH 的解析式为 y x 将 y x 与 y x2 3x 8 联立成方程组得 精品文档 41欢迎下载 解得 P 8 0 或 P 综上所述 当 CED 的面积最大时 在抛物线上存在点 P 点 E 除外 使 PCD 的面积等于 CED 的最大面积 点 P 的坐标为 P 或 P 8 0 或 P 点评 此题考查了二次函数的综合题 主要涉及了以下知识点 用待定系数 法求函数关系式 函数的最值问题 三角形的面积公式及用二元一次方程组求 交点问题等 解决 3 用到的知识点是两条平行线间的距离处处相等 8 2015 南昌 如图 已知二次函数 L1 y ax2 2ax a 3 a 0 和二次函数 L2 y a x 1 2 1 a 0 图象的顶点分别为 M N 与 y 轴分别交于点 E F 1 函数 y ax2 2ax a 3 a 0 的最小值为 3 当二次函数 L1 L2的 y 值 同时随着 x 的增大而减小时 x 的取值范围是 1 x 1 2 当 EF MN 时 求 a 的值 并判断四边形 ENFM 的形状 直接写出 不必证 明 3 若二次函数 L2的图象与 x 轴的右交点为 A m 0 当 AMN 为等腰三角形 时 求方程 a x 1 2 1 0 的解 考点 二次函数综合题 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 把二次函数 L1 y ax2 2ax a 3 化成顶点式 即可求得最小值 分 别求得二次函数 L1 L2的 y 值随着 x 的增大而减小的 x 的取值 从而求得二次 函数 L1 L2的 y 值同时随着 x 的增大而减小时 x 的取值范围 精品文档 42欢迎下载 2 先求得 E F 点的坐标 作 MG y 轴于 G 则 MG 1 作 NH y 轴于 H 则 NH 1 从而求得 MG NH 1 然后证得 EMG FNH MEF NFE EM NF 进而证 得 EM NF 从而得出四边形 ENFM 是平行四边形 3 作 MN 的垂直平分线 交 MN 于 D 交 x 轴于 A 先求得 D 的坐标 继而求 得 MN 的解析式 进而就可求得直线 AD 的解析式 令 y 0 求得 A 的坐标 根 据对称轴从而求得另一个交点的坐标 就可求得方程 a x 1 2 1 0 的