2017全国高考复数复习专题

1 复数复数 一 复数的概念及运算 一 复数的概念及运算 1 复数的概念 复数的概念 1 虚数单位 i 2 实部 a 虚部 b 3 复数的分类 biaz Rba a a b b 0 0 0 0 非纯虚数 纯虚数 虚数 无理数 有理数 实数 4 相等的复数 2 复数的加 减 乘 除法则 复数的加 减 乘 除法则 1 加减法具有交换律和结合律 2 乘法具有交换律 结合律 分配律 3 除法 0 2222 dici dc adbc dc bdac dic bia 3 复数的共轭与模 复数的共轭与模 共轭复数共轭复数 复数的模复数的模 复平面复平面 复数与点是一一对应关系 另 与关于轴对称 表示对应点与原点的距离 biaz baZ zzxzz 二 复数中的方程问题 二 复数中的方程问题 1 实系数一元二次方程的根的情况 实系数一元二次方程的根的情况 对方程 其中且 令 0 2 cbxaxRcba 0 aacb4 2 当时 方程有两个不相等的实数根 0 当 0 时 方程有两个相等的实根 当时 方程有两个共轭虚根 0 2 2 21 ib x ib x 2 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 若方程 其中且 的两个根为 则 0 2 cbxaxRcba 0 a 21 xx a c xx a b xx 21 21 考点考点 1 复数的基本运算 复数的基本运算 1 复数等于 13 3 i i 2 已知复数 z 满足 3i z 3i 则 z 3 3 3 1 i 4 复数等于 1 i 2 1 i 2 5 复数的值是 4 1 1 i 考点考点 2 复数的模长运算 复数的模长运算 1 已知复数 则等于 2 3 13 i z i z 2 已知 复数的实部为 虚部为 1 则的取值范围是 02a zaz 考点考点 3 复数的实部与虚部 复数的实部与虚部 1 复数的虚部为 3 1 i 考点考点 4 复数与复平面内的点关系 复数与复平面内的点关系 1 在复平面内 复数对应的点位于 1 i i 2 在复平面内 复数对应的点位于 sin2cos2zi A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 在复平面内 复数对应的点位于 i i 1 2 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 4 若对应的点在虚轴上 则实数 ixxxxz6532 22 x 考点考点 5 共轭复数 共轭复数 1 复数的共轭复数是 5 12i 2 若与互为共轭复数 则实数 a b 的值分别为 2abi 3ai 3 把复数 z 的共轭复数记作 已知 则等于 zizi34 21 z 考点考点 6 复数的周期 复数的周期 1 已知 则集合的元素个数是 nn f nii nN f n A 2 B C 4 D 无数个3 考点考点 7 复数相等 复数相等 1 已知 求实数 x y 的值 21 1 xyixyxy i 3 2 已知 且 求 x y 的值 x yR 5 1121 3 xy iii 3 设 若 求实数 a b 2 1 3 1 2 ii z i 2 1zazbi 4 已知 niminmni i m 是虚数单位 则是实数 其中1 1 考点考点 8 复数比较大小 复数比较大小 1 使得不等式成立的实数的值为 222 3 43 10mmm immi 考点考点 9 复数的各种特殊形式 复数的各种特殊形式 1 已知 i 是虚数单位 复数 当 m 取什么实数时 z 是 2 1 23 4 2 zmimii 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 4 零 2 如果复数是实数 则实数 2 1 mimi m 4 若复数 a2 3a 2 a 1 i是纯虚数 则实数a的值为 考点考点 10 复数的综合问题 复数的综合问题 1 若 则的最大值是 342zi z 2 下列各式不正确的是 A B C D1 2 i i i i 1 2 iiiii 1 3 对于两个复数 有下列四个结论 i 2 3 2 1 i 2 3 2 1 1 1 1 其中正确的结论的为 个 2 33 4 设则 12 1 23 5 f zz zi zi 12 f zz 5 若且的最小值是 Cz 22 1 22 iziz 则 6 设复数 则的关系是 zzqzzpiazRa qp A 不能比较大小 B C D qp qp qp 7 在复平面内 若复数满足 则所对应的点的集合构成的图形是 z 1 zzi z 8 已知中 对应的复数分别为则对应的复数为 ABC AC AB i 32 i 21 BC 9 在复平面内 复数对应的点分别为 若为线段的中点 则点对应的复数是 ii32 56 BA CABC 10 复数在复平面内对应点位于 象限 22 1 23 2 zaaaai aR 11 已知复数 Z 满足 求的最值1z 13zi 5 四 精选 例 1 已知 求 403232 22 izizz 例 2 已知 求 10 4 2 32 2 1 2 3 43 i ii z z 例 3 设为虚数 为实数 且 z z z 1 21 1 求的值及的实部的取值范围 zz 2 证明 为纯虚数 z z u 1 1 例 4 已知关于 的方程有两个根 且满足 t 02 2 Raatt 21 tt 32 21 tt 1 求方程的两个根以及实数的值 a 2 当时 若对于任意 不等式对于任意的恒成立 求0 aRx kmkkaxa22log 22 2 1 2k 实数的取值范围 m 例 5 已知复数满足 其中 为虚数单位 若 求的取值 1 ziazizi 2 51 1 21 iRa 121 zzz a 范围 6 例 6 设虚数满足 z1052 zz 1 求的值 z 2 若为实数 求实数的值 z m m z m 3 若在复平面上对应的点在第一 第三象限角平方线上 求复数 zi 21 z 例 7 已知方程有两个根和 0 2 pxx 1 x 2 xRp 1 若 求实数 3 21 xxp 2 若 求实数 3 21 xxp 例 8 已知复数是方程的根 复数满足 求 Rbabiaz054 2 xx 3Ruiu 52 z 的取值范围 u 例 9 关于的方程有实根 求一个根的模是 2 求实数的值 x0 2 2 biaxbiaxba 例 10 设两复数满足 其中且 求是虚数 21 z z0 4 2 2 40 21 2 1 z a zzaz x 0 a1 aRx 2 1 z z 7 1 求证 是定值 求出此定值 2 1 z z 2 当时 求满足条件的虚数的实部的所有项的和 Nx 2 1 z z 例 11 设两个复数满足 并且是虚数 当时 求所以满足条件的虚数 21 zz Rkzkzzz 21 2 2 2 1 100 1 2 z z Nk 的实部之和 1 2 z z 例 12 计算 1 6 sin 6 cos3 12 sin 12 cos2 ii 2 5 5 sin 5 cos3 i 3 6 sin 6 cos6 3 sin 3 cos12 ii 例 13 给定复数 在 这八个值中 不同值的个数至多是 zz 2 2 2 zzzzzzzz 例 14 已知下列命题 1 2 为纯虚数 3 Rzzz zzz 2121 0zzzz 4 5 6 000 2121 zzzz或00 21 2 2 2 1 zzzz 2 2 2 2 zzzz 其中正确的命题是 8 例 15 是否存在复数同时满足条件 的实部 虚部为整数 若存在 求出复数 若不z6 10 1 z zzz 存在 说明理由 例 16 设是已知复数 为任意复数且 则复数对应的点的轨迹是 1 zz 1 1zzzz A 以的对应点为圆心 1 为半径的圆 1 z B 以的对应点为圆心 1 为半径的圆 1 z C 以的对应点为圆心 为半径的圆 1 2 1 z 2 1 D 以的对应点为圆心 为半径的圆 1 2 1 z 2 1 例 17 满足方程的复数对应的点的轨迹是 1Re zzz A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 例 18 复平面内 满足的复数所对应的点的轨迹是 2 1 1 izizz A 椭圆 B 双曲线 C 一条线段 D 不存在 例 19 满足方程的复数对应的点的轨迹是 01615 2 zzz A 四个点 B 四条直线 C 一个圆 D 两个圆 例 20 设复数 当在内变化时 求的最小值 Raxiaaz xx 2 2 x z ag 例 21 若复数和满足 且 和在复平面中对应的点为 1 z 2 z 0 12 aiazz248 2112 zzzz 1 z 2 z 和 坐标原点为 O 且 求面积的最大值 并指出此时的值 1 Z 2 Z 21 OZOZ 21Z OZ a 9 例 22 已知复数 i 为虚数单位 且对于任意复数 有 0 10 zmi mzxyiabi x y a b Rz 0 2zzz 1 试求 m 的值 并分别写出 a 和 b 用 x y 表示的关系式 2 将作为点 P 的坐标 作为点 Q 的坐标 上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换 它将 x y a b 平面上的点 P 变到这一平面上的点 Q 当点 P 在直线上移动时 试求点 P 经该变换后得到的点 Q 的轨迹1yx 方程 3 是否存在这样的直线 它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上 若存在 试求出所有这些 直线 若不存在 则说明理由 例 23 已知复数和 其中均为实数 且 iznimz22 21 yixz yxnm 21 zizz 1 若复数所对应的点在曲线上运动 求复数所对应的点的轨迹方程 1 z nmM1 3 2 1 2 xyz yxP 2 将 1 中点 P 的轨迹上每一点沿向量方向平移 得到新的轨迹 C 求 C 的方程 1 2 3 a 3 轨迹 C 上任意一点 A 异于顶点 作其切线交轴于点 B 问 以为直径的圆是否恒过轴上一定点 ll yABx 若存在 求出此定点坐标 若不存在 则说明理由 10 例题答案 例题答案 1 2 1 3 1 2 略 略 5 6 1 2 3 71Re 2 1 z 7 1 a5 z5 m 7 1 2 当当时 方程无解 时 方程无解 当当iziz 2 103 2 10 2 103 2 10 或2 2 5 pp或 4 1 0 p 时 时 当当时 时 8 9 当 当时 时 当 当时 时 0 p2 p 4 1 p 4 9 p 6 2 u0 b 3 4 5 4 aa或0 b 3 1 3 1 b a b a 10 1 定值 2 时 时 i aaa xx 22 240 2 20 a 1 a a aa 1 1 19 10 a a a 1 21 11 95 12 略 13 4 14 1 4 15 存在 存在 或或 iz31 iz 3 16 D 17 D 18 C 19 C 20 21 8 此时 此时 提示 由条件得 提示 由条件得 2 242 2 2 2 2 aaa aa 1 a 8 22 1 2 248 1 1 1 2 248 11 2 248 22 1 11 248 2 2 2 2 2 2 2 2 121 2 1 a a aa aa a z a zzS aa z a 当且仅当当且仅当时等号成立