2011年全国高考理科数学试题含答案(新课标卷)

2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 1 页 共 10 页 2011 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 第第 I 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 的 1 复数的共轭复数是 2 1 2 i i A B C D 3 5 i 3 5 ii i 2 下列函数中 既是偶函数又在单调递增的函数是 0 A B C D 3 yx 1yx 2 1yx 2 x y 3 执行右面的程序框图 如果输入的 N 是 6 那么输出的 p 是 A 120 B 720 C 1440 D 5040 4 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 5 已知角的顶点与原点重合 始边与轴的正半轴重合 终边在直线上 则 x2yx cos2 A B C D 4 5 3 5 3 5 4 5 6 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如左图所示 则相应的侧视图可以为 2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 2 页 共 10 页 7 设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点 且与 C 的一条对称轴垂直 L 与 C 交于 A B 两点 为 CAB 的实轴长的 2 倍 则 C 的离心率为 A B C 2 D 323 8 的展开式中各项系数的和为 2 则该展开式中常数项为 5 1 2 a xx xx A 40 B 20 C 20 D 40 9 由曲线 直线及轴所围成的图形的面积为 yx 2yx y A B 4 C D 6 10 3 16 3 10 已知 a 与 b 均为单位向量 其夹角为 有下列四个命题 1 2 10 3 Pab 2 2 1 3 Pab 3 10 3 Pab 4 1 3 Pab 其中的真命题是 A B C D 14 P P 13 P P 23 P P 24 P P 11 设函数的最小正周期为 且 则 sin cos 0 2 f xxx fxf x A 在单调递减 B 在单调递减 f x0 2 f x 3 44 C 在单调递增 D 在单调递增 f x0 2 f x 3 44 12 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 1 1 y x 2sin 24 yxx A 2 B 4 C 6 D 8 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 3 页 共 10 页 13 若变量满足约束条件则的最小值为 x y 329 69 xy xy 2zxy 14 在平面直角坐标系中 椭圆的中心为原点 焦点在轴上 离心率为 过的xOyC 12 F Fx 2 2 1 F 直线 L 交 C 于两点 且的周长为 16 那么的方程为 A B 2 ABFVC 15 已知矩形的顶点都在半径为 4 的球的球面上 且 则棱锥的ABCDO6 2 3ABBC OABCD 体积为 16 在中 则的最大值为 ABCV60 3BAC 2ABBC 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 等比数列的各项均为正数 且 n a 2 12326 231 9 aaaa a 求数列的通项公式 n a 设 求数列的前 n 项和 31323 loglog log nn baaa 1 n b 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四 边形 DAB 60 AB 2AD PD 底面 ABCD 证明 PA BD 若 PD AD 求二面角 A PB C 的余弦值 19 本小题满分 12 分 某种产品的质量以其质量指标值衡量 质量指标值越大表明质量越好 且质量指标值大于或等于 102 的产品为 优质品 现用两种新配方 分别称为 A 配方和 B 配方 做试验 各生产了 100 件这种产品 并测量了每件产品的质 量指标值 得到下面试验结果 分别估计用 A 配方 B 配方生产的产品的优质品率 2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 4 页 共 10 页 已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y 单位 元 与其质量指标值 t 的关系式为 从用 B 配方生产的产品中任取一件 其利润记为 X 单位 元 求 X 的分布列及数学期望 以试验结果中质量 指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率 20 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 0 1 B 点在直线 y 3 上 M 点满足 MBOA uuu ruur M 点的轨迹为曲线 C MA ABMB BA uuu r uu u ruuu r uu r 求 C 的方程 P 为 C 上的动点 l 为 C 在 P 点处得切线 求 O 点到 l 距离的最小值 21 本小题满分 12 分 已知函数 曲线在点处的切线方程为 ln 1 axb f x xx yf x 1 1 f230 xy 求 的值 ab 如果当 且时 求的取值范围 0 x 1x ln 1 xk f x xx k 请考生在第请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时请写清题号 题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 做答时请写清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 分别为的边 上的点 且不与DEABC ABACABC 的顶点重合 已知的长为 m AC 的长为 的长是关于AEnADAB x 的方程的两个根 2 140 xxmn 证明 四点共圆 CBDE 若 且 求 所在圆的半径 90A 4 6mn CBDE 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 为参数 2cos 22sin x y M 是 C1上的动点 P 点满足 P 点的轨迹为曲线 C22OPOM uu u vuuuv 求 C2的方程 2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 5 页 共 10 页 在以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 射线与 C1的异于极点的交点为 A 与 C2的异于 3 极点的交点为 B 求 AB 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设函数 其中 3f xxax 0a 当时 求不等式的解集 1a 32f xx 若不等式的解集为 求 a 的值 0f x 1x x 2011 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案理科数学试卷参考答案 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 C 2 B 3 B 4 A 5 B 6 D 7 B 8 D 9 C 10 A 11 A 12 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 6 14 15 16 22 1 168 xy 8 32 7 三 解答题 17 解 本小题满分 12 分 设数列 an 的公比为 q 由得所以 2 326 9aa a 22 34 9aa 2 1 9 q 由条件可知 a 0 故 3 分 1 3 q 由得 所以 12 231aa 12 231aa q 1 1 3 a 故数列 an 的通项式为 an 5 分 1 3n 31323n loglog log n baaa 8 分 12 1 2 n n n 故 1211 2 1 1 n bn nnn 11 分 12 111111112 2 1 22311 n n bbbnnn 2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 6 页 共 10 页 所以数列的前 n 项和为 12 分 1 n b 2 1 n n 18 解 本小题满分 12 分 因为 由余弦定理得 60 2DABABAD 3BDAD 从而 BD2 AD2 AB2 故 BDAD 3 分 又 PD底面 ABCD 可得 BDPD 所以 BD平面 PAD 故 PABD 5 分 解法二 取 AB 中点为 E 连接 DE 因为 故 AD AE 是等腰三角形 60 2DABABAD ADEA AE EB DE 即 故 BDAD 0 260AEDEBDBDEEBD 0 90ADB 又 PD底面 ABCD 可得 BDPD 所以 BD平面 PAD 故 PABD 5 分 如图 以 D 为坐标原点 AD 的长为单位长 射线 DA 为轴的正半轴建立空间直角坐标系 D 则xxyz 1 0 0A 03 0B 1 3 0C 0 0 1P 7 分 1 3 0 0 3 1 1 0 0 ABPBBC uu u vuuvuu u v 设平面 PAB 的法向量为 n x y z 则 0 0 n AB n PB uu u r uur 即 30 30 xy yz 因此可取 n 9 分 3 1 3 设平面 PBC 的法向量为 m 则 m0 m0 PB BC uur uu u r 可取 m 0 1 11 分3 42 7 cos 72 7 m n 故二面角 A PB C 的余弦值为 12 分 2 7 7 19 解 本小题满分 12 分 由试验结果知 用 A 配方生产的产品中优质的平率为 所以用 A 配方生产的产品的优质品率 228 0 3 100 的估计值为 0 3 3 分 由试验结果知 用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 所以用 B 配方生产的产品的优质品率的 32 10 0 42 100 2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 7 页 共 10 页 估计值为 0 42 6 分 用 B 配方生产的 100 件产品中 其质量指标值落入区间的频率分别为 90 94 94 102 102 110 0 04 054 0 42 因此 P X 2 0 04 P X 2 0 54 P X 4 0 42 8 分 即 X 的分布列为 X 的数学期望值 EX 2 0 04 2 0 54 4 0 42 2 68 12 分 20 解解 本小题满分 12 分 设 M x y 由已知得 B x 3 A 0 1 所以 x 1 y 0 3 y x 2 3 分MA uuu r MB uuu r AB uu u r 再由题意可知 0 即 x 4 2y x 2 0 MA uuu r MB uuu r AB uu u r 所以曲线 C 的方程式为 y x 2 6 分 1 4 2 设 P x y 为曲线 C y x 2 上一点 因为 y x 所以 的斜率为x 00 1 4 2 1 2 l 1 2 0 因此直线 的方程为 即 9 分l 000 1 2 yyx xx 2 000 220 x xyyx 则 O 点到 的距离 又 所以l 2 00 2 0 2 4 yx d x 2 00 1 2 4 yx 2 0 2 0 22 00 1 4 14 2 4 2 2 44 x dx xx 当 0 时取等号 所以 O 点到 距离的最小值为 2 12 分 2 0 xl 21 解解 本小题满分 12 分 3 分 22 1 ln 1 x x b x fx xx 由于直线的斜率为 且过点 故即230 xy 1 2 1 1 1 1 1 1 2 f f 2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 8 页 共 10 页 解得 6 分 1 1 22 b a b 1a 1b 由 知 所以 ln1 f 1 x x xx 2 2 ln1 1 1 2ln 11 xkkx f xx xxxx 考虑函数 则 2lnh xx 2 1 1 kx x 0 x 8 分 2 2 1 1 2 kxx h x x I 设 由知 当时 而 故0k 22 2 1 1 k xx h x x 1x 0h x 1 0h 当时 可得 0 1 x 0h x 2 1 0 1 h x x 当 x 1 时 h x 0 2 1 1 x 从而当 x 0 且 x1 时 f x 0 即 f x 9 分 1 ln x x x k 1 ln x x x k ii 设 0 k0 故 x 0 而 k 1 1 h h 1 0 故当 x 1 时 h x 0 可得h x 0 而 h 1 0 故当 x 1 时 h x 0 可得 h x 0 与题设矛 h 2 1 1 x 盾 11 分 综合得 k 的取值范围为 0 12 分 22 本小题满分 10 分 解 解 I 连接 DE 根据题意在 ADE 和 ACB 中 AD AB mn AE AC 2 分 即 又 DAE CAB 从而 ADE ACB AB AE AC AD 因此 ADE ACB 所以 C B D E 四点共圆 5 分 m 4 n 6 时 方程 x2 14x mn 0 的两根为 x1 2 x2 12 故 AD 2 AB 12 8 分 2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 9 页 共 10 页 取 CE 的中点 G DB 的中点 F 分别过 G F 作 AC AB 的垂线 两垂线相交于