2016年高考-全国二卷-文科数学-(原题+解析)

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 课标全国卷 文 数 本卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 1 已知集合 A 1 2 3 B x x20 与 C 交于点 P PF x 轴 则 k A B 1C D 2 1 2 3 2 6 圆 x2 y2 2x 8y 13 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1 则 a A B C D 2 4 3 3 4 3 7 下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 则该几何体的表面积为 A 20 B 24 C 28 D 32 8 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现 红灯持续时间为 40 秒 若一名行人来到 该路口遇到红灯 则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 A B C D 7 10 5 8 3 8 3 10 9 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法 下图是实现该算法的程序框图 执行该程序框图 若 输入的 x 2 n 2 依次输入的 a 为 2 2 5 则输出的 s A 7B 12C 17D 34 10 下列函数中 其定义域和值域分别与函数 y 10lg x的定义域和值域相同的是 A y xB y lg xC y 2xD y 1 11 函数 f x cos 2x 6cos的最大值为 2 A 4B 5C 6D 7 12 已知函数 f x x R 满足 f x f 2 x 若函数 y x2 2x 3 与 y f x 图象的交点为 x1 y1 x2 y2 xm ym 则 1 A 0B mC 2mD 4m 第 卷 非选择题 共 90 分 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 13 已知向量 a m 4 b 3 2 且 a b 则 m 14 若 x y 满足约束条件则 z x 2y 的最小值为 1 0 3 0 3 0 15 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 cos A cos C a 1 则 b 4 5 5 13 16 有三张卡片 分别写有 1 和 2 1 和 3 2 和 3 甲 乙 丙三人各取走一张卡片 甲看了乙的卡片 后说 我与乙的卡片上相同的数字不是 2 乙看了丙的卡片后说 我与丙的卡片上相同的数 字不是 1 丙说 我的卡片上的数字之和不是 5 则甲的卡片上的数字是 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 等差数列 an 中 a3 a4 4 a5 a7 6 求 an 的通项公式 设 bn an 求数列 bn 的前 10 项和 其中 x 表示不超过 x 的最大整数 如 0 9 0 2 6 2 18 本小题满分 12 分 某险种的基本保费为 a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人本年度的保费 与其上年度出险次数的关联如下 上年度出险次数01234 5 保费0 85aa1 25a1 5a1 75a2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况 得到如下统计表 出险次数01234 5 频数605030302010 记 A 为事件 一续保人本年度的保费不高于基本保费 求 P A 的估计值 记 B 为事件 一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160 求 P B 的估计值 求续保人本年度平均保费的估计值 19 本小题满分 12 分 如图 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O 点 E F 分别在 AD CD 上 AE CF EF 交 BD 于点 H 将 DEF 沿 EF 折到 D EF 的位置 证明 AC HD 若 AB 5 AC 6 AE OD 2 求五棱锥 D ABCFE 的体积 5 4 2 20 本小题满分 12 分 已知函数 f x x 1 ln x a x 1 当 a 4 时 求曲线 y f x 在 1 f 1 处的切线方程 若当 x 1 时 f x 0 求 a 的取值范围 21 本小题满分 12 分 已知 A 是椭圆 E 1 的左顶点 斜率为 k k 0 的直线交 E 于 A M 两点 点 N 在 E 上 2 4 2 3 MA NA 当 AM AN 时 求 AMN 的面积 当 2 AM AN 时 证明 k 2 3 请考生在第 22 24 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 在正方形 ABCD 中 E G 分别在边 DA DC 上 不与端点重合 且 DE DG 过 D 点作 DF CE 垂足为 F 证明 B C G F 四点共圆 若 AB 1 E 为 DA 的中点 求四边形 BCGF 的面积 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 圆 C 的方程为 x 6 2 y2 25 以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 求 C 的极坐标方程 直线 l 的参数方程是 t 为参数 l 与 C 交于 A B 两点 AB 求 l 的斜率 10 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x M 为不等式 f x 2 的解集 1 2 1 2 求 M 证明 当 a b M 时 a b 1 ab 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 课标全国卷 一 选择题 1 D 由已知得 B x 3 x0 得 k 1 2 2 故选 D 6 A 由圆的方程可知圆心为 1 4 由点到直线的距离公式可得 1 解得 a 故选 A 1 4 1 2 1 4 3 易错警示 圆心的坐标容易误写为 1 4 或 2 8 7 C 由三视图知圆锥的高为 2 底面半径为 2 则圆锥的母线长为 4 所以圆锥的侧面积为 3 4 4 8 圆柱的底面积为 4 1 2 圆柱的侧面积为 4 4 16 从而该几何体的表面积为 8 16 4 28 故选 C 8 B 行人在红灯亮起的 25 秒内到达该路口 即满足至少需要等待 15 秒才出现绿灯 根据几 何概型的概率公式知所求事件的概率 P 故选 B 25 40 5 8 9 C 执行程序框图 输入 a 为 2 时 s 0 2 2 2 k 1 此时 k 2 不成立 再输入 a 为 2 时 s 2 2 2 6 k 2 此时 k 2 不成立 再输入 a 为 5 s 6 2 5 17 k 3 此时 k 2 成立 结束循环 输 出 s 为 17 故选 C 10 D 函数 y 10lg x的定义域 值域均为 0 而 y x y 2x的定义域均为 R 排除 A C y lg x 的值域为 R 排除 B 故选 D 易错警示 利用对数恒等式将函数 y 10lg x变为 y x 将其值域认为是 R 是失分的主要原因 11 B f x 1 2sin2x 6sin x 2 当 sin x 1 时 f x 取得最大值 5 故选 B 3 2 2 11 2 思路分析 利用二倍角余弦公式及诱导公式将 f x cos 2x 6cos转化为关于 sin x 的二 2 次函数 通过配方来求最值 注意不要忘记 sin x 1 1 12 B 由题意可知 f x 的图象关于直线 x 1 对称 而 y x2 2x 3 x 1 2 4 的图象也关于直线 x 1 对称 所以两个图象的交点关于直线 x 1 对称 且每对关于直线 x 1 对称的交点的横坐标 之和为 2 所以xi m 故选 B 1 疑难突破 关于直线 x 1 对称的两点横坐标之和为 2 由题意得出 f x 与 y x2 2x 3 的图象均 关于直线 x 1 对称是解题的关键 二 填空题 13 答案 6 解析 因为 a b 所以 解得 m 6 3 4 2 易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆 14 答案 5 解析 由约束条件画出可行域 如图中阴影部分所示 包括边界 当直线 x 2y z 0 过点 B 3 4 时 z 取得最小值 zmin 3 2 4 5 15 答案 21 13 解析 由 cos C 0 C 得 sin C 5 13 12 13 由 cos A 0 A 得 sin A 4 5 3 5 所以 sin B sin A C sin A C sin Acos C sin Ccos A 63 65 根据正弦定理得 b 21 13 16 答案 1 和 3 解析 丙的卡片上的数字之和不是 5 则丙有两种情况 丙的卡片上的数字为 1 和 2 此时 乙的卡片上的数字为 2 和 3 甲的卡片上的数字为 1 和 3 满足题意 丙的卡片上的数字为 1 和 3 此时乙的卡片上的数字为 2 和 3 甲的卡片上的数字为 1 和 2 这时甲与乙的卡片上有相 同的数字 2 与已知矛盾 故情况 不符合 所以甲的卡片上的数字为 1 和 3 疑难突破 先对丙分类讨论 确定出丙卡片上的数字情况再确定乙 甲是解决问题的关键 三 解答题 17 解析 设数列 an 的公差为 d 由题意有 2a1 5d 4 a1 5d 3 解得 a1 1 d 3 分 2 5 所以 an 的通项公式为 an 5 分 2 3 5 由 知 bn 6 分 2 3 5 当 n 1 2 3 时 1 2 bn 1 2 3 5 当 n 4 5 时 2 3 bn 2 2 3 5 当 n 6 7 8 时 3 4 bn 3 2 3 5 当 n 9 10 时 4 0 等价于 ln x 0 4 分 1 1 设 g x ln x 则 1 1 g x g 1 0 6 分 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 i 当 a 2 x 1 时 x2 2 1 a x 1 x2 2x 1 0 故 g x 0 g x 在 1 单调递增 因此 g x 0 8 分 ii 当 a 2 时 令 g x 0 得 x1 a 1 x2 a 1 10 分 1 2 1 1 2 1 由 x2 1 和 x1x2 1 得 x1 1 故当 x 1 x2 时 g x 0 g x 在 1 x2 单调递减 因此 g x 0 由已知及椭圆的对称性知 直线 AM 的倾斜角为 4 又 A 2 0 因此直线 AM 的方程为 y x 2 2 分 将 x y 2 代入 1 得 7y2 12y 0 2 4 2 3 解得 y 0 或 y 所以 y1 12 7 12 7 因此 AMN 的面积 S AMN 2 4 分 1 2 12 7 12 7 144 49 将直线 AM 的方程 y k x 2 k 0 代入 1 得 2 4 2 3 3 4k2 x2 16k2x 16k2 12 0 由 x1 2 得 x1 16 2 12 3 4 2 2 3 4 2 3 4 2 故 AM x1 2 1 2 121 2 3 4 2 由题设 直线 AN 的方程为 y x 2 1 故同理可得 AN 7 分 12 1 2 3 2 4 由 2 AM AN 得 即 4k3 6k2 3k 8 0 9 分 2 3 4 2 3 2 4 设 f t 4t3 6t2 3t 8 则 k 是 f t 的零点 f t 12t2 12t 3 3 2t 1 2 0 所以 f t 在 0 单调递增 又 f 15 260 因此 f t 在 0 有唯一的零点 且零点 k 在 2 内 所以 333 k 2 12 分 3 22 解析 证明 因为 DF EC 所以 DEF CDF 则有 GDF DEF FCB 所以 DGF CBF 由此可得 DGF CBF 因此 CGF CBF 180 所以 B C G F 四点共圆 5 分 由 B C G F 四点共圆 CG CB 知 FG FB 连结 GB 由 G 为 Rt DFC 斜边 CD 的中点 知 GF GC 故 Rt BCG Rt BFG 因此 四边形 BCGF 的面积 S 是 GCB 面积 S GCB的 2 倍 即 S 2S GCB 2 1 10 分 1 2 1 2 1 2 23 解析 由 x cos y sin 可得圆 C 的极坐标方程为 2 12 cos 11 0 3 分 在 中建立的极坐标系中 直线 l 的极坐标方程为 R 设 A B 所对应的极径分别为 1 2 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2 12 cos 11 0 6 分 于是 1 2 12cos 1 2 11 AB 1 2 8 分 1 2 2 4 1 2 144 2 44 由 AB 得 cos2 tan 9 分 10 3 8 15 3 所以 l 的斜率为或 10