材料力学习题集-【有答案】

58 习题 2 1 图 习题 2 2 图 习题 2 3 图习题 2 4 图 习题 2 5 图 习题 2 6 图 材料力学习题集材料力学习题集 第第 1 章章 引引 论论 1 1 图示矩形截面直杆 右端固定 左端在杆的对称平面内作用有集中力偶 数值为 M 关于固定 端处横截面 A A 上的内力分布 有四种答案 根据弹性体的特点 试分析哪一种答案比较合理 正确答案是 C 1 2 图示带缺口的直杆在两端承受拉力 FP作用 关于 A A 截面上的内力分布 有四种答案 根 据弹性体的特点 试判断哪一种答案是合理的 正确答案是 D 1 3 图示直杆 ACB 在两端 A B 处固定 关于其两端的约束力有四种答案 试分析哪一种答案最合 理 正确答案是 D 1 4 等截面直杆在两端承受沿杆轴线的拉力 FP 关于杆中点处截面 A A 在杆变形后的位置 图中 虚线所示 有四种答案 根据弹性体的特点 试判断哪一种答案是正确的 正确答案是 D 1 5 图示等截面直杆在两端作用有力偶 数值为 M 力偶作用面与杆的对称面一致 关于杆中点处 截面 A A 在杆变形后的位置 对于左端 由 对于右端 由 有四种答案 试判断哪AA AA 一种答案是正确的 正确答案是 C 1 6 等截面直杆 其支承和受力如图所示 关于其轴线在变形后的位置 图中虚线所示 有四种 答案 根据弹性体的特点 试分析哪一种是合理的 正确答案是 C 59 习题 2 1 图 习题 2 2 图 习题 2 3 图 习题 2 4 图 AB A B C ql 2l M Q F Q F 4 5 4 1 4 1 a 1 b 1 第第 2 章章 杆件的内力分析杆件的内力分析 2 1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定 简支梁受力及 Ox 坐标取向如图所示 试分析下 列平衡微分方程中哪一个是正确的 A d d Q xq x F Q d d F x M B d d Q xq x F Q d d F x M C d d Q xq x F Q d d F x M D d d Q xq x F Q d d F x M 正确答案是 B 2 2 对于图示承受均布载荷 q 的简支梁 其弯矩图凸凹性与哪些因素相关 试判断下列四种答案中 哪几种是正确的 正确答案是 B C D 2 3 已知梁的剪力图以及 a e 截面上的弯矩 Ma和 Me 如图所示 为确定 b d 二截面上的弯矩 Mb Md 现有下列四种答案 试分析哪一 种是正确的 A Q F baab AMM Q F deed AMM B Q F baab AMM Q F deed AMM C Q F baab AMM Q F deed AMM D Q F baab AMM Q F deed AMM 上述各式中为截面 a b 之间剪力图的面积 以此类推 Q F ba A 正确答案是 B 2 4 应用平衡微分方程 试画出图示各梁的剪力图和弯矩图 并确定 maxQ F 解 解 a 0 A M l M F B 2 R 0 y F l M F A 2 R l M F 2 maxQ MM2 max b 0 A M02 2 R 2 lFlql l qlql B qlF B 4 1 R 0 y FqlF A 4 1 R 2 R 4 1 4 1 qllqllFM BC 60 A DE C M A B C M B 2 M 2 M M 2 3 4 1 M2 2 ql a 2 b 2 c d A D B C 1 1 5 1 2 qlM 2 qlM ADB C 32 25 2 1 c 2 d 2 e f A B C 0 5 B E C 0 50 5 D ql Q FQ F ql e 1 f 1 CB 1 0 5 2 qlM A e 2 a b A B C D lA DB C 1 0 75 Q F Q F 1 25 1 c 1 d 1 gl gl AC BD 0 125 E 0 125 2 qlM f 2 2 qlMA qlF 4 5 maxQ 2 max qlM c 0 y FqlF A R 0 A M 2 qlMA 0 D M0 2 2 D M l qllqlql 2 2 3 qlMD qlF maxQ 2 max 2 3 qlM d 0 B M 0 2 1 32 R lqllqlF A qlF A 4 5 R 0 y FqlF B 4 3 R 0 B M 2 2 l q MB 0 D M 2 32 25 qlMD qlF 4 5 maxQ 2 max 32 25 qlM e FRC 00 y F 0 C M0 22 3 C M l qllql 2 qlMC 0 B M 2 2 1 qlMB 0 y FqlF B Q qlF maxQ 2 max qlM f 0 A MqlF B 2 1 R 0 y FqlF A 2 1 R 0 y F0 2 1 Q B Fqlql qlF B 2 1 Q 0 D M0 4222 1 D M ll q l ql 2 8 1 qlMD 2 8 1 qlME 2 M 2 M 61 2 1 2 1 AB1 1 d 1 2 1 2 1 AB 1 2 qlM c 1 2 1 2 1 C B A1 2 qlM b 1 M xN F x C p a c d C B A D 2 Pl FM 1 a 1 习题 2 6 和 2 7 图 qlF 2 1 maxQ 2 max 8 1 qlM 2 5 试作图示刚架的弯矩图 并确定 max M 解 解 图 a 0 A M02 PPR lFlFlF B PR FF B 0 y F P FFAy 0 x F P FFAx 弯距图如图 a 1 其中 lFM Pmax 2 位于刚节点 C 截面 图 b 0 y FqlFAy 0 A MqlF B 2 1 R 0 x FqlFAx 2 1 弯距图如图 b 1 其中 2 max qlM 图 c 0 x FqlFAx 0 A M 0 2 R 2 lF l qlql B qlF B 2 1 R 0 y FqlFAy 2 1 弯距图如图 c 1 其中 2 max qlM 图 d 0 x FqlFAx 0 A M 0 2 R 2 lFql l ql B qlF B 2 3 R 0 y F 2 2 3 qlFAy 弯距图如图 d 1 其中 2 max qlM 2 6 梁的上表面承受均匀分布的切向力作用 其集度为 梁的尺寸如图所示 若已知 h l pp 试导出轴力 FNx 弯矩 M 与均匀分布切向力之间的平衡微分方程 p 解 解 1 以自由端为 x 坐标原点 受力图 a 0 x F0 N x Fxp xpF x N p x F x d d N 0 C M 0 2 h xpM hxpM 2 1 hp x M 2 1 d d 2 qlM 62 A C B 15kN m q d xN F xx FN N d F C MMd xd p b N F x l lx hlp 2 1 M O lp A M m 3 4 3 40 BC 5 7 mkN c 习题 2 8 图 习题 2 9 图 A B C kN m2 0 q 1kN a 方法 2 0 x F0dd NNN xxx FxpFF p x F x d d N 0 C M0 2 dd h xpMMM 2d dhp x M 2 7 试作 2 6 题中梁的轴力图和弯矩图 并确定 和 maxN x F max M 解 解 固定端 l pF x maxN 固定端 hl p M 2 max 2 8 静定梁承受平面载荷 但无集中力偶作用 其剪力图 如图所示 若已知 A 端弯矩 试确定梁上的载荷及梁0 AM 的弯矩图 并指出梁在何处有约束 且为何种约束 解 解 由 FQ图线性分布且斜率相同知 梁上有向下均布 q 载 荷 由 A B 处 FQ向上突变知 A B 处有向上集中力 又因 A B 处弯矩无突变 说明 A B 处为简支约束 由 A B 处 FQ 值知 FRA 20 kN FRB 40 kN 由 0 y F04 RR qFF BA q 15 kN m 由 FQ图 D B 处值知 M 在 D B 处取极值 kN m 3 40 3 4 2 1 15 3 4 20 2 D M kN m5 71 2 1 2 qMB 梁上载荷及梁的弯矩图分别如图 d c 所示 2 9 已知静定梁的剪力图和弯矩图 如图所示 试确定梁上的载荷及梁的支承 解 解 由 FQ图知 全梁有向下均布 q 载荷 由 FQ图中 A B C 处突变 知 A B C 处有向上集中力 且 FRA 0 3 kN FRC 1 kN FRB 0 3 kN kN m 2 0 4 5 0 3 0 q 由 MA MB 0 可知 A B 简支 由此得 梁上载荷及梁的支承如图 a 或 b 所示 63 Cz F C A BD Dz F B T Q F A T r F z F S2 3F x y z a 0 5 A B C D E 5 0 3 5 2 qlM a AB C 0 2kN m 0 3kN b 习题 2 10 图 E C A D q ql2 B b Q F 习题 2 11 图 2 10 静定梁承受平面载荷 但无集中力偶作用 其剪力图如图所示 若已知截面 E 上的弯矩为零 试 1 在 Ox 坐标中写出弯矩的表达式 2 画出梁的弯矩图 3 确定梁上的载荷 4 分析梁的支承状况 解 解 由 FQ图知 全梁有向下均布 q B D 处有相等的向 上集中力 4ql C 处有向下的集中力 2ql 结合 M 知 A E 为 自由端 由 FQ线性分布知 M 为二次抛物线 B C D 处 FQ变号 M 在 B C D 处取极值 FQB 4ql 2 2 1 qlMM DB 22 2 7 24 3 2 1 qllqllqMC 1 弯矩表达式 2 0 2 1 xqxM 0 lx lxqlxqxM40 2 1 2 2 lxl lxqllxqlxqxM3240 2 1 2 53 lxl lxqllxql lxqlxqxM 5432 40 2 1 2 65 lxl 即 lxqllxql lxqlxqxM 5432 40 2 1 2 60 lx 2 弯矩图如图 a 3 载荷图如图 b 4 梁的支承为 B D 处简支 图 b 2 11 图示传动轴传递功率 P 7 5kW 轴的转速 n 200r min 齿轮 A 上的啮合力 FR 与水平切线夹角 20 皮带轮 B 上作用皮带拉 力 FS1和 FS2 二者均沿着水平方向 且 FS1 2FS2 试 分轮 B 重 FQ 0 和 FQ 1800N 两 种情况 1 画出轴的受力简图 2 画出轴的全部内力图 解 解 1 轴之扭矩 N m358 200 5 7 9549 x M N m358 xBA MTT F Cy F Dy F 64 习题 2 12 图 A C DB x 173 360 N1800 Q F m N z M h yQ F A CDB x 869 546 1800 N N1800 Q F d ACB x y 2387 1432 4296 zQ F N D b A C DB yQ F N 434 864 x 0 Q F c A CD x 173 0 Q F m N z M g m N y M ACDB x 477 859 f x M m N x 358 1335 e N2387 2 3 0 A T F N86920tan r FF N1432 2 5 0 2s B T F 轴的受力简图如图 a 2 FQ 0 时 0 Cz M 06 04 02 0 Qr FFF Dy N434 Dy F 0 y F N1303 Cy F FQ 1800 N 时 0 Cz M N1254 Dy F 0 y F N323 Cy F 0 Cy M 033 04 02 0 S2 FFF Dz N5250 Dz F N0 z F1432 Cz F N m4772 0 FMCy N m8592 03 2s FMDy N m1732 0 r FMCz FQ 0 时 0 Dz M FQ 1800 N 时 N m360 Dz M 2 12 传动轴结构如图所示 其一的 A 为斜 齿轮 三方向的啮合力分别为 Fa 650N F 650N Fr 1730N 方向如图所示 若已知 D 50mm l 100mm 试画出 1 轴的受力简图 2 轴的全部内力图 解 解 1 力系向轴线简化 得受力图 a 1335 C D CD 65 习题 3 1 图 kN15 kN15 kN5 kN5 DE F C D 4m 3m CE F a 习题 3 2 图 C B D A E30 20 40 kN Nx F a A C B m325N y M f A C B x M m N 16 25 e xN F A C B 650 N b AB x xA F Ay F Az F Bz F By F z M 650N 650N C x M y 1730N x M a yQ F A 946 B C N 784 c A B 325 C N Qz F 325 d z M m N ACB 94 6 78 4 g N m25 1610 2 50 650 3 x M N m25 16025 0 650 z M N0 x F650 Ax F N0 Az M784 By F N0 y F946 Ay F 0 Cy M BzAz FF N0 z F325 2 650 BzAz FF 2 全部内力图见图 a b c d e f g 所示 第第 3 章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 3 1 桁架结构受力如图示 其上所有杆的横截面均为 20mm 50mm 的矩形 试求杆 CE 和杆 DE 横截面上的正应力 解 解 图 a 中 1 5 4 cos 截面法受力图 a 2 0 D M03 515 4 CE F FCE 15 kN 3 0 x F40cos DE F 1 代入 3 得 FDE 50 kN MPa15 05 0 02 0 1015 3 A FCE CE MPa50 A FDE DE 3 2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷 其集度 10kN m 在自由端p D 处作用有集中呼 FP 20 kN 已知杆的横截面面积 A 2 0 10 4m2 l 4m 试求 1 A B E 截面上的正应力 2 杆内横截面上的最大正应力 并指明其作用位置 解 解 由已知 用截面法求得 FNA 40 kN FNB 20 kN FNE 30 kN 1 MPa200 100 2 1040 4 3 N A F A A MPa100 N A F B B z 66 习题 3 3 图 习题 3 4 图 习题 3 5 图 习题 3 6 图 MPa150 N A F E E 2 MPa A 截面 200 max A 3 3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆 轴向拉伸载荷 FP通过两端的刚性板加在杆上 试 1 写出杆横截面上的正应力与 FP d D Ec Ea的关系式 2 若已知 d 25mm D 60mm 铜和铝的单性模量分别为 Ec 105GPa 和 Ea 70GPa FP 171 kN 试求铜芯与铝壳横截面上的正应力 解 解 1 变形谐调 1 aa Na cc Nc AE F AE F 2 PNaNc FFF P aacc cc Nc F AEAE AE F P aacc aa Na F AEAE AE F 4 4 4 4 22 a 2 c Pa a Na a 22 a 2 c P aacc Pc c Nc c dD E d E FE A F dDE d E FE AEAE FE A F c 2 MPa 5 83 025 0 06 0 1070025 0 10105 10171101054 22929 39 c MPa 6 55 105 70 5 83 c a ca E E 3 4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱 纵向截荷 FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上 试 1 导出复合材料柱横截面上正应力与 FP b0 b1 h 和 Ea Es之间的关系式 2 已知 FP 385kN Ea 70GPa Es 200GPa b0 30mm b1 20mm h 50mm 求铝板与钢板横 截面上的最大正应力 解 解 变形谐调 1 aa Na ss Ns AE F AE F 2 PNaNs FFF P aass aa Na P aass ss Ns F AEAE AE F F AEAE AE F 1 a1s0 Ps 1a0s Ps s Ns s 22hEbhEb FE hbEhbE FE A F a1s0 Pa a Na a 2 hEbhEb FE A F 2 MPa 压 175 107005 0 02 021020005 0 03 0 103850200 99 39 s MPa 压 25 61 200 70 175 175 s a a E E 3 5 从圆木中锯成的矩形截面梁 受力及尺寸如图所示 试求下列两种情形下 h 与 b 的比值 1 横截面上的最大正应力尽可能小 2 曲率半径尽可能大 解 解 1 6 6 222 bdb M bh M W M zz z z 67 习题 3 7 图 03 d d d d 2232 bdbbd bb Wz d 3 3 b 2222 3 2 dbdh 正应力尽可能小 2 b h 2 z z z EI M 1 1212 3223 hhdbh Iz 得0 d d h Iz 22 4 3 dh 2222 4 1 dhdb 曲率半径尽可能大 3 b h 3 6 梁的截面形状为正方形去掉上 下角 如图所示 梁在两端力偶 Mz作用下发生弯曲 设正方 形截面时 梁内最大正应力为 去掉上 下角后 最大正应力变为 试求 0 0max k 1 k 值与 h 值之间的关系 2 为尽可能小的 h 值 以及这种情形下的 k 值 max 解 解 3 4 0 0 h Izh 3 3 0 0 h Wz 3 0 max00 3 0 h M W M z z z yyhy h III h h zzhzh d 22 3 2 0 2 4 0 0 00 3 4 3 4 3 4 3 0 343 0 44 0 33 00 4 0 hhhhhhhhhhh h 3 4 0 2 maxmax hhh M W M z h z h 1 34 3 4 3 3 4 3 0 2 3 0 0 2 3 0 0 2 3 0 0 max hhh h hhh h hhh h k 032 3 4 d 3 4 d d d 2 0 0 2 hhh h hhh h Wh h 0 舍去 0 3 3 8 0 hhh 0 9 8 hh 代入 1 9492 0 812 64 381 3 8 4 9 8 1 9 8 34 9 8 2 00 2 0 3 0 hhh h k 3 7 工字形截面钢梁 已知梁横截面上只承受 Mz 20 kN m 一个内力分量 Iz 11 3 106mm4 其他尺寸如图所示 试求横截面中性轴以上部分分布力系沿 x 方向的合力 解 解 21 2 N ddd A z z A z z Axx Ay I M Ay I M AF yyyy I M z z d088 0 d006 0 080 0 07 0 07 0 0 9222 10 7080 2 1 8870 2 1 6 z z I M 68 习题 3 8 图 O y 2 d 2 O2 x x x y a 习题 3 9 图 7080 4470310 10 3 11 1020 2229 6 3 kN14310143 3 2 N z cx M yF mm70m0699 0 1432 20 c y 即上半部分布力系合力大小为 143 kN 压力 作用位置离中心轴 y 70mm 处 即位于腹板与翼缘 交界处 3 8 图示矩形截面 b h 直梁 在弯矩 Mz作用的 Oxy 平面内发生平面弯曲 且不超出弹性范围 假定在梁的纵截面上有 y 方向正应力存在 且沿梁长均匀分布 试 y 1 导出的表达式 y yy 2 证明 为中性面的曲率半径 maxmax 4 xy h 解 解 1 先求表达式 y y 0 y F y hxyyy yF 2 2 2 0d1 2 sin2cosd1 即 0d 2 sin2 2 sin2 2 yy I M y h z z yy y I M z z x 即 0 4 2 1 2 sin2 2 sin2 2 2 h y I M z z yy a 4 2 2 2 y h I M zy z y 2 由 a 式 令 得 y 0 则0 d d y y b max 2 max 44 2 48 x z z y z z yzy z y h W Mh h I Mh I Mh 3 9 图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管 在两端力偶 Mz作用下发生平面弯曲 试 1 导出管横截面上正应力与 Mz D1 D2 D3和钢的 Es 铝的 Ea之间的关系式 2 已知 D1 20mm D2 36mm D3 44mm Mz 800N m Es 210GPa Ea 70GPa 求钢管和 铝和铝管横截面上的最大正应力 max 解 解 静力平衡 1 z MMM sa 变形谐调 sa 得 2 ss s aa a IE M IE M 3 64 4 2 4 3 a DD I 64 4 1 4 2 s DD I 由 2 4 s ss aa a M IE IE M 代入 1 得 z MM IE IE s ss aa 1 5 aass ss s IEIE MIE M z 6 z M IEIE IE M aass aa a 2 2 69 习题 3 10 图 习题 3 11 图 C h t t C C a ht 1 64 4 2 4 3a 4 1 4 2s s aass s s s s DDEDDE yME y IEIE ME y I M zz 22 21 D y D 64 4 2 4 3a 4 1 4 2s a aass a a a a DDEDDE yME y IEIE ME y I M zz 22 32 D y D 2 MPa133 10 3644 70 2036 210 101880021064 124444 3 maxs MPa 1 54 10 3644 70 2036 210 10228007064 124444 3 maxa 3 10 由塑料制成的直梁 在横截面上只有 Mz作用 如图所示 已知塑料受拉和受压时的弹性模量 分别为 Et和 Ec 且已知 Ec 2Et Mz 600N m 试求 1 梁内最大拉 压正应力 2 中性轴的位置 解 解 根据平面假设 应变沿截面高度作直线变化 Ec 2Et E 沿截面高度直线的斜率不同 中性轴不过截面形心 1 确定中性轴位置 设拉压区高度分别为 ht hc 由 得 0 x F0 2 1 2 1 tmaxtcmaxc bhbh 即 1 c c c t maxt maxc h hh h h 又 2 t c maxt maxc maxtt maxcc maxt maxc 2 2 h h E E 由 1 2 得 即 c c t c c c 22 hh h h h h hh 2 c 2 c 2 hhh 中性轴的位置 mm 6 58 22 mm 4 41 12 t c hh hh 2 ctctct d2ddddd ctttccttct AAAAAA z AEyAyEAyEAyEAyAyM 2 d2dd2d ct t tctt ctct II E A y yA y yEAyAyE AAAA 其中 246 33 2 3 2 33 c 3 t ct bhbhbh II 2 1 ctt IIE Mz c ct c ctt c c c maxc 2 2 2 h II M h II M E E h E zz MPa 压 69 8 10 246 3 10050 10 4 416002 12 3 3 MPa 拉 15 6 246 10 3 10050 10100 22 600 2 12 3 3 t ct t t maxt h II M h E z 3 11 试求图 a b 中所示的二杆横截面上最大正应力的比值 解 解 a 为拉弯组合 2 P 2 P P a 3 4 6 2 3 4 2 3 a F aa a F aa F b 为单向拉伸 2 P b a F 70 习题 3 12 图 习题 3 13 图 习题 3 14 图 3 4 b a 3 12 桥墩受力如图所示 试确定下列载荷作用下图示截面 ABC 上 A B 两点的正应力 1 在点 1 2 3 处均有 40 kN 的压缩载荷 2 仅在 1 2 两点处各承受 40 kN 的压缩载荷 3 仅在点 1 或点 3 处承受 40 kN 的压缩载荷 解 解 Mpa67 2 1075200 1040 6 3 N A F x MPa40 10 6 10075 125 0 1040 9 2 3 W Mz 1 MPa8 75200 104033 3 N A F x BA 2 MPa 3 15 6 20075 2 125 1080 75200 104022 2 3 3 N W M A F zx A 3 在点 1 加载 MPa67 12 6 20075 1251040 75200 1040 2 33 N W M A F zx A MPa33 7 6 20075 1251040 75200 1040 2 33 N W M A F zx B 由对称性 得 在 3 点加载 MPa MPa33 7 A 67 12 B 3 13 图示侧面开有空洞的正方形截面管 管壁厚 5mm 管在两端承受轴向载荷 FP 已知开孔 处截面的形心为 C 形心主惯性矩m4 Fp 25kN 试求 6 10177 0 z I 1 开孔处横截面上点 F 处的正应力 2 最大正应力 解 解 kN25 PN FF x N m 75 16010 57 1825 3 p FMz m2 66 1070010 5402550 A 1 MPa85 181057 18 3N z zx F I M A F 2 A F xN max 3 10 57 1850 z z I M MPa 在 y 正向最大位置 26 64 3 14 图示矩形截面杆在自由端承受位于纵向对称面内的纵向载荷 FP 已知 FP 60kN 试求 1 横截面上点 A 的正应力取最小值时的截面高度 h 2 在上述 h 值下点 A 的正应力值 解 解 6 40 2 40 2 P PN h d h F h F W M A F z zx A 1 32 20 2 P h dhF 1 令 0 h A 0 26 4 2 h hhd h 3d 75mm 2 2 由 1 2 式得 71 习题 3 15 图 AB z O y a 795 0 526 14 y b 习题 3 16 图 A z y y M C z M 10 5 a yA B 14 43MPa 16 55MPa O C C zz d Oy AB C O 12 6mm14 1mm z 13 73MPa 15 32MPa C z c O B MPa40 75 253752 20 1060 2 3 A 3 15 图中所示为承受纵向载荷的人骨受力简图 假定实心骨 骼为圆截面 试 1 确定截面 B B 上的应力分布 2 假定骨骼中心部分 其直径为骨骼外径的一半 由海绵状骨质所组成 且忽略海绵状承受应力的 能力 确定截面 B B 上的应力分布 3 确定 1 2 两种情况下 骨骼在截面 B B 上最大压应力之比 解 解 1 MPa795 0 4 7 26 10445 2 6 1 N 1N A F x MPa526 14 10 32 7 26 1061445 9 3 3 1 maxM z z W M MPa73 13795 0 526 14 max MPa32 15795 0 526 14 max 沿 y 方向应力分布如图 c 所示 中性轴为 zc 2 MPa 4 2 7 26 7 26 10445 22 6 2 2 A F xN N 4 1 1 7 26 104454 2 6 06 1 3 4 795 0 MPa494 15 15 16 526 14 2 1 1 4 1 2 max2 z z z z M W M W M Mpan 43 1406 1 494 15 max MPa55 1606 1 494 15 max zC为中性轴 沿 y 轴应力分布如图 d 3 或08 1 32 15 55 16 1 2 926 0 55 16 32 15 2 1 3 16 正方形截面杆一端固定 另一端自由 中间部分开有切槽 杆自由端受有平行于杆轴线的纵 向力 FP 若已知 FP 1kN 杆各部分尺寸示于图中 试求杆内横截面上的最大正应力 并指出其作用位置 解 解 m2 66 105010105 A m3 69 2 10 12 1 10 6 105 y W 72 习题 3 17 图 习题 3 18 图 A D C B y h P F z K PPz y zy F b a m3 69 2 10 24 1 10 6 510 z W FNx 1 kN N m51051000 3 y M N m5 2105 21000 3 z M z z y y x W M W M A F N max MPa14010 24 1 5 2 12 1 5 50 1000 6 最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点 A 如图 a 所示 3 17 钢制立柱上承受纵向载荷 FP如图所示 现在 A B D 三处测得 x 方向的正应变 若已知钢的弹性模量 E 200GPa 试求 6 10300 A x 6 10900 B x 6 10100 D x 1 力 FP的大小 2 加力点在 Oyz 坐标中的坐标值 解 解 m2 36 1061060100 A m3 69 2 1010010 6 10060 z W m3 69 2 106010 6 60100 y W PN FF x yFMz P yFMy P 1 6PPPN 10 601006000 zFyFF W M W M A F y y z zx A 2 6PPP 10 601006000 zFyFF B 3 6PPP 10 601006000 zFyFF D 4 E 由 1 4 10300 1020010 601006000 1 69 P 6PP F zy 即 5 60 601006000 1 P PP F zy 由 2 4 6 180 601006000 1 P P F zy 由 3 4 7 20 601006000 1 P PP F zy 解 5 6 7 mm20m02 0 P z mm25m025 0 P y FP 240 kN 3 18 矩形截面柱受力如图所示 试证明 1 当铅垂力 FP作用在下面方程所描述的直线上的 任意点时 点 A 的正应力等于零 1 66 PP h y b z 2 为了使横截面的所有点上都不产生拉应力 其 作用点必须位于由类似上述方程所描述的直线围成的区 域内 图中虚直线围成的区域 解 解 1 写出 K 点压弯组合变形下的正应力 图 a 73 n n y z C ot y ot z P F b 习题 3 19 图 C z 2 1 1 2 z 2P F P1 F c z y A 12 3 2 B F 1 P F 2 P F 3 P F 3 d 12 12 3 PP 3 PPP bh yyF hb zzF A F 1 y h y z b z hb F 1212 1 2 P 2 PP 将代入 1 式 并使正应力为零 得 2 2 bh A FP所作用的直线方程 0 66 1 PP h y b z 整理得 1 66 PP h y b z 2 若 FP 作用点确定 令 1 式等于零 得截面 的中性轴方程 图 b 2 0 1212 1 2 P 2 P y h y z b z 中性轴 n n 的截距 3 P t0 P t0 6 6 z h z y h y 说明中性轴 n n 与力 FP作用点位于形心 C 的异 侧 说明 n n 划分为 FP作用下的区域为压应力区 另 一区域是拉应力区 见图 b 如果将 2 改写为 4 1 1212 P 2 P 2 y h y z b z 并且把中心轴上一点 y z 固定 即中性轴可绕 该点顺时针转动 从 1 1 转到 2 2 由 4 式 FP作用必沿直线移动 由 3 式 2 2 直线的截距值大于 1 1 直线的 所以 当中性轴 1 1 顺时针转向中性轴 2 2 时 FP作用点 FP1 FP2 沿直线 并绕形心也顺时针转向 如果中性轴绕 A 点从 1 1 顺时针转动至 3 3 中性轴始终在截 面外周旋转 则截面内就不产生拉应力 将 A 坐标代入 4 式 即 FP沿该直线移动 从 FP1 FP2 FP3 反之铅垂力1 66 PP h y b z FP从 FP1 FP2 FP3直线移动 截面不产生拉应力 同理过 B F D 分别找另三条 FP移动的直线 这四条直线所围区域为截面 核心 铅垂压力在截面核心内作用 则横截面上不会有拉应力 3 19 矩形截面悬臂梁受力如图所示 其中力 FP的作用线通过截面形心 试 1 已知 FP b h l 和 求图中虚线所示截面上点 a 的正应力 2 求使点 a 处正应力为零时的角度值 解 解 sin Pl FMy 6 2 hb Wy cos Pl FMz 6 2 bh Wz sincos 6 22 P hb hb lF W M W M y y z z a 74 习题 3 20 图 习题 3 21 图 习题 3 22 图 d C ab z z M y M y a 令 则 0 a h b tan h b 1 tan 3 20 矩形截面柱受力如图所示 试 1 已知 5 求图示横截面上 a b c 三点的正应力 2 求使横截面上点 b 正应力为零时的角度值 解 解 cos PN FF x 04 0 sin P FaMy 2 aMbM yy 3 aMcM yy 1 6 04 0 1 0 sin04 0 04 0 1 0 cos 2 PPN FF W M A F y y x a 5sin65 cos 004 0 1060 sin6 cos 04 0 1 0 3 P F MPa10 7 MPa745 0 5sin125 cos 004 0 1060 2 3 N y y x b W aM A F MPa59 8 3 N y y x c W aM A F 2 0 sin12 cos N A F x b 4 76 12 1 tan 3 21 交通信号灯柱上受力如图所示 灯柱为管形截面 其外径 D 200mm 内径 d 180mm 若已知截面 A 以上灯柱 的重为 4kN 试求横截面上点 H 和 K 处的正应力 解 解 22 62 8 7 25 3 tan N6700 cos1950900400 N y F N m35101 2900 6 08 7 sin1950 z M MPa12 1 18 0 2 0 4 6700 22 N A F x H MPa87 11 9 01 2 0 32 3510 12 1 43 N z z y K W M A F 3 22 No 25a 普通热轧工字钢制成的立柱受力如图所示 试求图 示横截面上 a b c d 四点处的正应力 解 解 m2 4 10 5 48 A m3 6 1088 401 z W m3 6 10283 48 y W kN100 N x F N m 333 10255 01025125 0 10100 z M N m 33 106 96 010 28 y M MPa 6 62 z z W M MPa199 y y W M MPa 6 20 N A F x c 75 A B Z q Z q AC B y M m342N y q b A B y q y q A B C N m z M 939 7N m 2 y q y q a 习题 3 23 图 习题 3 24 图 CD Z R C y B A y C c MPa 6 41 N z zx a W M A F MPa240 N y y z zx b W M W M A F Mpa116 N y y z zx d W M W M A F 3 23 承受集度为 q 2 0kN m 均布载荷的木 制简支梁 其截面为直径 d 160mm 的半圆形 梁 斜置如图所示 试求梁内的最大拉应力与最大压应力 解 解 20cosqqy 20sinqqz 3 2d yc mN94020cos 2 1 2 1 2 1 11 max qq qqM y yyz N m34220sin 2 1 max qMy m4 6 1244 10 1 16 64 10160 2 1 64 2 1 d Iy m4 62 24 104956 4 3 2 8 64 2 1 ddd Iz 2 max d I M y I M y y c z z 6 66 10 08 0 10 1 16 342 3 16 0 2 104956 4 940 MPa 左下角 A 点 80 8 最大压应力点应在 CD 弧间 设为 1 y y z cz I RM I yRM cos sin max max 得 0 d d 834 9 342104956 4 10 1 16940 tan 6 6 max max yz yz MI IM 代回 1 式 19 84 MPa71 9 10 10 1 16 1019 84cos80342 104956 4 10 3 1602 19 84sin80 940 6 6 3 6 3 max 3 24 简支梁的横截面尺寸及梁的受力均如图所示 试求 N 截面上 a b c 三点的正应力及最 大拉应力 解 解 kN m30 NN M mm38 65 28 1226 1 92182216 20180220160 902018021020160 c y 464 2 3 2 3 10725 3333725128 38 6590 18020 12 18020 2 38 5520160 12 20160 mmm z I MPa 压应力 3 4905538 0 10725 33 1030 6 3 c yC 76 习题 3 28 图 MPa 拉应力 8 3010 8038 65180 10725 33 30000 3 6 b MPa 拉应力 4 6610 4038 65180 10725 33 1030 3 6 3 a MPa 拉应力 10210 38 65180 10725 33 1030 3 6 3 max d 3 25 根据杆件横截面正应力分析过程 中性轴在什么情形下才会通过截面形心 试分析下列答案 中哪一个是正确的 A My 0 或 Mz 0 0 N x F B My Mz 0 0 N x F C My 0 Mz 0 0 N x F D 或 0 y M0 z M0 N x F 正确答案是 D 解 解 正如教科书 P168 第 2 行所说 只要 则其中性轴一定不通过截面形心 所以本题答案0 N x F 选 D 3 26 关于中性轴位置 有以下几种论述 试判断哪一种是正确的 A 中性轴不一定在截面内 但如果在截面内它一定通过形心 B 中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心 C 中性轴只能在截面内 但不一定通过截面形心 D 中性轴不一定在截面内 而且也不一定通过截面形心 正确答案是 D 解 解 本题解答理由可参见原书 P167 倒数第 1 行 直至 P168 页第 2 行止 所以选 D 3 27 关于斜弯曲的主要特征有四种答案 试判断哪一种是正确的 A 中性轴与截面形心主轴不一致 且不通过截面形心 0 y M0 z M0 N x F B 中性轴与截面形心主轴不一致 但通过截面形心 0 y M0 z M0 N x F C 中性轴与截面形心主轴平行 但不通过截面形心 0 y M0 z M0 N x F D 或 中性轴与截面形心主轴平行 但不通过截面形心 0 y M0 z M0 N x F 正确答案是 B 解 解 本题解答理由参见原书 P167 第 2 3 行 3 28 承受相同弯矩 Mz的三根直梁 其截面组成方式如图 a b c 所示 图 a 中的截面为一整体 图 b 中的截面由两矩形截面并列而成 未粘接 图 c 中的截面由两矩形截面上下叠合而成 未粘接 三 根梁中的最大正应力分别为 关于三者之间的关系有四种答案 试判断哪一 a max b max c max 种是正确的 A a max b max c max B a max b max c max C a max b max c max D a max b max c max 正确答案是 B 解 解 33 max 6 6 d M d M a zz 33 max 6 2 122 2 d Md dd M b z z 3 3 max 12 4 12 2 2 d Md d d M c z z 选 B 第第 4 章章 弹性杆件横截面上的切应力分析弹性杆件横截面上的切应力分析 77 4 1 扭转切应力公式的应用范围有以下几种 试判断哪一种是正确的 p IMx A 等截面圆轴 弹性范围内加载 B 等截面圆轴 C 等截面圆轴与椭圆轴 D 等截面圆轴与椭圆轴 弹性范围内加载 正确答案是 A 解 解 在推导时利用了等截面圆轴受扭后 其横截面保持平面的假设 同时推导过程中 p IMx 还应用了剪切胡克定律 要求在线弹性范围加载 4 2 两根长度相等 直径不等的圆轴受扭后 轴表面上母线转过相同的角度 设直径大的轴和直径 小的轴的横截面上的最大切应力分别为和 切变模量分别为 G1和 G2 试判断下列结论的正确 max1 max2 性 A max1 max2 B max1 max2 C 若 G1 G2 则有 max1 max2 D 若 G1 G2 则有 max1 max2 正确答案是 C 解 解 因两圆轴等长 轴表面上母线转过相同角度 指切应变相同 即由剪切胡克定律 21 知时 G 21 GG max2max1 4 3 承受相同扭矩且长度相等的直径为 d1的实心圆轴与内 外径分别为 d2 的空 222 DdD 心圆轴 二者横截面上的最大切应力相等 关于二者重之比 W1 W2 有如下结论 试判断哪一种是正确 的 A 234 1 B 1 1 2234 C 1 1 24 D 1 1 2324 正确答案是 D 解 解 由得 max2max1 1 16 16 43 2 3 1 d M d M xx 即 1 3 1 4 2 1 1 D d 2 1 22 2 2 1 2 1 2 1 D d A A W W 1 代入 2 得 2 3 2 4 2 1 1 1 W W 4 4 由两种不同材料组成的圆轴 里层和外 层材料的切变模量分别为 G1和 G2 且 G1 2G2 圆轴尺寸如图所示 圆轴受扭时 里 外层之间无 相对滑动 关于横截面上的切应力分布 有图中所 示的四种结论 试判断哪一种是正确的 正确答案是 C 解 解 因内 外层间无相对滑动 所以交界面上切应