二次函数的图像与性质专项练习

二次函数的图像与性质专项练习二次函数的图像与性质专项练习 知识要点知识要点 1 1 二次函数 二次函数 形如 的函数叫做二次函数 2 2 二次函数的图像性质 二次函数的图像性质 1 二次函数的图像是 2 二次函数通过配方可得 0 2 为常数cbaacbxaxy 为常数 其顶点坐标为 cbaa a bac a b xay 0 4 4 2 2 2 3 当时 抛物线开口 并向上无限延伸 在对称轴左侧0 a 时 y 随 x 的增大而减小 在对称轴右侧时 y 随 x 的 2 a b x 即 2 a b x 即 增大而增大 当时 函数有 a b x 2 当时 抛物线开口 并向下无限延伸 在对称轴左侧0 a 时 y 随着 x 的增大而增大 在对称轴右侧时 y 随着 2 a b x 即 2 a b x 即 x 的增大而减小 当函数有 2 时 a b x 3 3 二次函数的图像平移 二次函数的图像平移 1 二次函数的图像都是抛物线 并且khxayhxayaxy 222 形状相同 只是位置不同 的取值决定抛物线的形状 将的图像向a 2 axy 右 h 0 向左 h0 向下 k 0 时 函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 2 3 当 m 4 1 时 y 随 x 的增大而减小 当 m 0 时 函数图象经过同一个点 其中正确的结论有 A B C D 变式训练变式训练 1 已知二次函数的图像如图所示 则下列结论正确的是 2 yaxbxc A B C D 0a 0c 2 40bac 0abc 第 1 题 第 3 题 2 已知二次函数 的图象如图所示 有下列结论 2 yaxbxc 0a 2 40bac 0abc 80ac 930abc 3 已知二次函数的图象如图所示 有下列 5 个结论 0 2 acbxaxy 0 abccab 024 cbabc32 的实数 其中正确的结论有 A 2 个 B 3 个C 4 个 bammba 1 m D 5 个 考点考点 二次函数图像平移二次函数图像平移 例例 2 抛物线 cbxxy 2 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位 所得图像的解 析式为 32 2 xxy 则 b c 的值为 A b 2 c 2 B b 2 c 0 C b 2 c 1 D b 3 c 2 变式训练变式训练 1 把抛物线向左平移 1 个单位 然后向上平移 3 个单位 则平移后抛物线的表达式 2 yx 2 若把函数 y x 的图象用 E x x 记 函数 y 2x 1 的图象用 E x 2x 1 记 则 E x 可以由 E x 怎样平移得到 12 2 xx 2 x 3 如图 点 A B 的坐标分别为 1 4 和 4 4 抛物线的顶点在线nmxay 2 段 AB 上运动 与 x 轴交于 C D 两点 C 在 D 的左侧 点 C 的横坐标最小值为 3 第 2 题 y xO 1x 1 2 O y x1 则点 D 的横坐标最大值为 A 3 B 1 C 5 D 8 考点考点 确定二次函数解析式确定二次函数解析式 例例 3 3如图 在平面直角坐标系中 且 点的坐标是 OBOA 2OBOA A 12 1 求点的坐标 B 2 求过点的抛物线的表达式 AOB 3 连接 在 2 中的抛物线上求出点 使得 ABP ABPABO SS 变式训练变式训练 1 二次函数的图象与轴的交点如图所示 根据图中信息可得到的值 2 3yxmx xm 是 第 2 题图 2 已知二次函数 为常数 当取不同的值时 其图象构成一 2 21yxaa aa 个 抛物线系 下图分别是当 时二次函数的图象 它们的1a 0a 1a 2a 顶点在一条直线上 这条直线的解析式是 y 3 如图 已知二次函数的图象经过 A 2 0 B 0 6 两点 cbxxy 2 2 1 1 求这个二次函数的解析式 2 设该二次函数的对称轴与轴交于点 C 连结 BA BC 求 ABC 的面积 x y x O 第 3 题 DC B 4 4 A 1 4 y O B A x 1 1 例 3 图 第 1 题图 y x C A O B 第 3 题 AB CD y P x O 第 4 题图 4 如图 已知抛物线 y x2 bx c 经过矩形 ABCD 的两个顶点 A B AB 平行于 x 轴 对 角线 BD 与抛物线交于点 P 点 A 的坐标为 0 2 AB 4 1 求抛物线的解析式 2 若 S APO 求矩形 ABCD 的面积 2 3 5 将直角边长为 6 的等腰 Rt AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中 点 O 为坐标原点 点 C A 分别在 x y 轴的正半轴上 一条抛物线经过点 A C 及点 B 3 0 1 求该抛物线的解析式 2 若点 P 是线段 BC 上一动点 过点 P 作 AB 的平行线交 AC 于点 E 连接 AP 当 APE 的 面积最大时 求点 P 的坐标 3 在第一象限内的该抛物线上是否存在点 G 使 AGC 的面积与 2 中 APE 的最大面积 相等 若存在 请求出点 G 的坐标 若不存在 请说明理由 考点考点 确定二次函数与方程 不等式 一次函数 反比例函数确定二次函数与方程 不等式 一次函数 反比例函数 例例 1 1 抛物线 cbxaxy 2 图像如图所示 则一次函数 2 4bacbxy 与反比例函 数 abc y x 在同一坐标系内的图像大致为 第 15 题图 变式训练变式训练 1 若正比例函数与反比例函数的图象交于点2ykx 0 k yk x 则的值是 1A m k y x CB O A 第 5 题图 x x xx x A B xO y 考点考点 5 5 二次函数与几何的综合题二次函数与几何的综合题 例例 5 如图 抛物线 y ax2 bx c 经过点 A 4 0 B 2 2 连结 OB AB 1 求该抛物线的解析式 2 求证 OAB 是等腰直角三角形 3 将 OAB 绕点 O 按顺时针方向旋转 135 得到 OA B 写出 A B 的中点 P 的坐标 试判断点 P 是否在此抛物线上 并说明理由 变式训练变式训练 1 在平面直角坐标系中 已知抛物线经过 A B C三点 0 4 4 0 0 2 1 求抛物线的解析式 2 若点 M 为第三象限内抛物线上一动点 点 M 的横坐标为 m AMB 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数关系式 并求出 S 的最大值 3 若点 P 是抛物线上的动点 点 Q 是直线上的动点 判断有几个位置能够使得xy 点 P Q B O 为顶点的四边形为平行四边形 直接写出相应的点 Q 的坐标 M C B AO x y 第 1 题 第 2 题 2 在平面直角坐标系中 已知 A B C 三点的坐标分别为 A 2 0 B 6 0 C 0 3 1 求经过 A B C 三点的抛物线的解析式 2 过 点作 CD 平行于轴交抛物线于点 D 写出 D 点的坐标 并求 AD BC 的交点 Ex 的坐标 3 若抛物线的顶点为 连结 C D 判断四边形 CEDP 的形状 并说明理由 P A C D E B o x y 1 1 1 基础演练基础演练 1 若二次函数配方后为则 的值分别为 5 2 bxxykxy 2 2 bk 2 在直角坐标系中 若解析式为 的图像沿着轴向左平移两个单位 再542 2 xxyx 沿着 y 轴向下平移一个单位 此时图像的解析式为 3 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示 反比例函数 y 与正比例函数 y b c a x x 在同一坐标系中的大致图象可能是 A B C D 4 如图 两条抛物线 与分别经过点 且平行于1 2 1 2 1 xy1 2 1 2 2 xy 0 2 0 2 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 8 6 10 4 y 5 如图 小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子 给小明做了一个简易的秋千 拴绳子的地方距地面高都是 2 5 米 绳子自然下垂呈抛物线状 身高 1 米的小明距较 近的那棵树 0 5 米时 头部刚好接触到绳子 则绳子的最低点距地面的距离为 米 第 7 题 6 二次函数 当时 的取值范围是1 1 2 xy21 yx 7 图为二次函数 2 yaxbxc 的图象 给出下列说法 4 题图 x y O x 1 第 3 题 A C B 0ab 方程 2 0axbxc 的根为 12 13xx 0abc 当 1x 时 y 随 x 值的增大而增大 当0y 时 13x 其中 正确的说法有 请写出所有正确说法的序号 8 已知点 A 1 1 在二次函数图像上 2 2yxaxb 1 用含的代数式表示 ab 2 如果该二次函数的图像与轴只有一个交点 求这个二次函数的图像的顶点坐标 x 9 一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A m 2 0 B m 2 0 两点 记抛物线顶点为 C 且 AC BC 1 若 m 为常数 求抛物线的解析式 2 若 m 为小于 0 的常数 那么 1 中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点 3 设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点 问是否存在实数 m 使得 BCD 为等腰三角形 若存 在 求出 m 的值 若不存在 请说明理由 第 9 题图 B D A C Ox y 能力提升能力提升 1 方程 x2 2x 1 0 的根可看成函数 y x 2 与函数的图象交点的横坐标 用此方法 1 y x 可推断方程 x3 x 1 0 的实根 x 所在范围为 A B C D 1 0 2 x 1 0 2 x 1 1 2 x 2 已知实数的最大值为 yxyxxyx 则满足 033 2 3 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 的对称轴为 x 1 且抛物线经过 A 1 0 B 0 3 两点 与 x 轴交于另一点 B 1 求这条抛物线所对应的函数关系式 2 在抛物线的对称轴 x 1 上求一点 M 使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小 并求出此时点 M 的坐标 3 设点 P 为抛物线的对称轴 x 1 上的一动点 求使 PCB 90 的点 P 的坐标 4 已知二次函数中 函数与自变量的部分对应值如下表 2 yxbxc y x x 1 01234 y 1052125 1 求该二次函数的关系式 2 当为何值时 有最小值 最小值是多少 x y 3 若 两点都在该函数的图象上 试比较与的大小 1 A my 2 1 B my 1 y 2 y 5 已知平面直角坐标系 xOy 抛物线 y x2 bx c 过点 A 4 0 B 1 3 1 求该抛物线的表达式 并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标 2 记该抛物线的对称轴为直线 l 设抛物线上的点 P m n 在第四象限 点 P 关于直线 l 的对称点为 E 点 E 关于 y 轴的对称点为 F 若四边形 OAPF 的面积为 20 求 m n 的值 6 已知抛物线 y x2 2x 2 1 该抛物线的对称轴是 顶点坐标 2 选取适当的数据填入下表 并在图 7 的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象 x y 3 若该抛物线上两点 A x1 y1 B x2 y2 的横坐标满足 x1 x2 1 试比较 y1 与 y2的大小 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 x y