2017学年(2018届)上海市高三数学一模金山卷

高三数学 第 1 页 共 9 页 金山区金山区 2017 学年第一学期质量监控学年第一学期质量监控 高三数学试卷高三数学试卷 满分 满分 150 分 完卷时间 分 完卷时间 120 分钟分钟 答题请写在答题纸上 答题请写在答题纸上 一 填空题一 填空题 本大题共有 本大题共有 12 题 满分题 满分 54 分 第分 第 1 6 题每题题每题 4 分 第分 第 7 12 题每题题每题 5 分分 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1 若全集 U R 集合 A x x 0 或 x 2 则UA 2 不等式的解为 0 1 x x 3 方程组的增广矩阵是 532 123 yx yx 4 若复数 z 2 i i 为虚数单位 则 zzz 5 已知 F1 F2是椭圆的两个焦点 P 是椭圆上的一个动点 则1 925 22 yx PF1 PF2 的最大值是 6 已知 x y 满足 则目标函数 k 2x y 的最大值为 2 03 01 x yx yx 7 从一副混合后的扑克牌 52 张 中随机抽取 1 张 事件 A 为 抽得红桃 K 事件 B 为 抽得为黑桃 则概率 P A B 结果用最简分数表示 8 已知点 A 2 3 点 B 2 直线 l 过点 P 1 0 若直线 l 与线段 AB 相交 3 则直线 l 的倾斜角的取值范围是 9 数列 an 的通项公式是 an 2n 1 n N 数列 bn 的通项公式是 bn 3n n N 令集 合 A a1 a2 an B b1 b2 bn n N 将集合 A B 中的 所有元素按从小到大的顺序排列 构成的数列记为 cn 则数列 cn 的前 28 项的 和 S28 高三数学 第 2 页 共 9 页 10 向量 是平面直角坐标系 x 轴 y 轴的基本单位向量 且 ijaia 2 则的取值范围为 j5 2 ia 11 某地区原有森林木材存有量为 a 且每年增长率为 25 因生产建设的需要 每 年年末要砍伐的木材量为a 设 an为第 n 年末后该地区森林木材存量 则 an 10 1 12 关于函数 给出以下四个命题 1 当 x 0 时 y f x 单调递减且没 1 x f x x 有最值 2 方程 f x kx b k 0 一定有实数解 3 如果方程 f x m m 为常数 有 解 则解的个数一定是偶数 4 y f x 是偶函数且有最小值 其中假命题的序号 是 二 选择题 本大题共二 选择题 本大题共 4 小题 满分小题 满分 20 分 每小题分 每小题 5 分 每题有且只有一个正确选分 每题有且只有一个正确选 项 考生应在答题纸的相应位置 将代表正确选项的小方格涂黑 项 考生应在答题纸的相应位置 将代表正确选项的小方格涂黑 13 若非空集合 A B C 满足 A B C 且 B 不是 A 的子集 则 A x C 是 x A 的充分条件但不是必要条件 B x C 是 x A 的必要条件但不是充分条件 C x C 是 x A 的充要条件 D x C 既不是 x A 的充分条件也不是 x A 的必要条件 14 将如图所示的一个 Rt ABC C 90 绕斜边 AB 旋转一周 所得到的几何体的 主视图是下面四个图形中的 第 14 题图 A B C D C B A 高三数学 第 3 页 共 9 页 15 二项式 i x 10 i 为虚数单位 的展开式中第 8 项是 3 A 135x7 B 135x7 C 360i x7 D 360i x7 33 16 给出下列四个命题 1 函数 y arccosx 1 x 1 的反函数为 y cosx x R 2 函 数 m N 为奇函数 3 参数方程 t R 所表示的曲线是圆 1 2 mm xy 2 2 2 1 2 1 1 t t y t t x 4 函数 f x sin2x 当 x 2017 时 f x 恒成立 其中真命题的个数 2 1 3 2 x 2 1 为 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 三 解答题 本大题共有三 解答题 本大题共有 5 题 满分题 满分 76 分 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规分 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 定区域内写出必要的步骤 17 本题满分本题满分 14 分 第分 第 1 小题满分小题满分 7 分 第分 第 2 小题满分小题满分 7 分分 如图 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 E F 分别是 BB1 CD 的中点 1 求三棱锥 F AA1E 的体积 2 求异面直线 EF 与 AB 所成角的大小 结果用反 三角函数值表示 18 本题满分本题满分 14 分 第分 第 1 小题满分小题满分 6 分 第分 第 2 小题满分小题满分 8 分分 已知函数 f x sin2x cos2x 1 x R 3 1 写出函数 f x 的最小正周期以及单调递增区间 2 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 f B A1 B1 C1 D1 A B C D E F 高三数学 第 4 页 共 9 页 0 且 a c 4 求 b 的值 2 3 BCBA 19 本题满分本题满分 14 分 第分 第 1 小题满分小题满分 6 分 第分 第 2 小题满分小题满分 8 分分 设 P x y 为函数 f x x D D 为定义域 图像上的一个动点 O 为坐axx 2 标原点 OP 为点 O 与点 P 两点间的距离 1 若 a 3 D 3 4 求 OP 的最大值与最小值 2 若 D 1 2 是否存在实数 a 使得 OP 的最小值不小于 2 若存在 请求出 a 的取值范围 若不存在 则说明理由 20 本题满分本题满分 16 分 第分 第 1 小题满分小题满分 4 分 第分 第 2 小题满分小题满分 5 分 第分 第 3 小题满分小题满分 7 分分 给出定理 在圆锥曲线中 AB 是抛物线 y2 2px p 0 的一条弦 C 是 AB 的中 点 过点 C 且平行于 x 轴的直线与抛物线的交点为 D 若 A B 两点纵坐标之差的绝 对值 a a 0 则 ADB 的面积 S ADB 试运用上述定理求解以下各 BA yy p a 16 3 题 1 若 p 2 AB 所在直线的方程为 y 2x 4 C 是 AB 的中点 过 C 且平行于 x 轴 的直线与抛物线 的交点为 D 求 S ADB 2 已知 AB 是抛物线 y2 2px p 0 的一条弦 C 是 AB 的中点 过点 C 且平行 于 x 轴的直线与抛物线的交点为 D E F 分别为 AD 和 BD 的中点 过 E F 且平行 于 x 轴的直线与抛物线 y2 2px p 0 分别交于点 M N 若 A B 两点纵坐标之差的 绝对值 a a 0 求 S AMD和 S BND BA yy 3 请你在上述问题的启发下 设计一种方法求抛物线 y2 2px p 0 与弦 AB 围 成的 弓形 的面积 并求出相应面积 21 本题满分本题满分 18 分 第分 第 1 小题满分小题满分 4 分 第分 第 2 小题满分小题满分 6 分 第分 第 3 小题满分小题满分 8 分分 若数列 an 中存在三项 按一定次序排列构成等比数列 则称 an 为 等比源数列 高三数学 第 5 页 共 9 页 1 已知数列 an 中 a1 2 an 1 2an 1 求数列 an 的通项公式 2 在 1 的结论下 试判断数列 an 是否为 等比源数列 并证明你的结论 3 已知数列 an 为等差数列 且 a1 0 an Z n N 求证 an 为 等比源数 列 金山区金山区 2017 学年第一学期期末考试学年第一学期期末考试 高三数学试卷评分参考答案高三数学试卷评分参考答案 满分 满分 150 分 完卷时间 分 完卷时间 120 分钟分钟 一 填空题一 填空题 本大题共有 本大题共有 12 题 满分题 满分 54 分 第分 第 1 6 题每题题每题 4 分 第分 第 7 12 题每题题每题 5 分分 1 A x 0 x 2 2 0 x 1 3 4 7 i 5 25 6 7 7 5 1 3 2 2 3 7 26 8 9 820 10 11 12 1 3 4 3 2 6 5 3 5 aaa n n 5 2 4 5 5 3 二 选择题 本大题共二 选择题 本大题共 4 小题 满分小题 满分 20 分 每小题分 每小题 5 分 分 13 B 14 B 15 C 16 D 三 解答题 本大题共有三 解答题 本大题共有 5 题 满分题 满分 76 分 分 17 解 1 因为 AA1E 的面积为 S 2 2 分 点 F 到平面 ABB1A1的距离即 h 2 4 分 所以 7 分 EAAF V 1 hS 3 1 3 4 2 连结 EC 可知 EFC 为异面直线 EF 与 AB 所成角 10 分 在 Rt EFC 中 EC FC 1 所以 tan EFC 13 分55 即 EFC arctan 故异面直线 EF 与 AB 所成角的大小为 arctan 1455 分 高三数学 第 6 页 共 9 页 18 解 1 f x 2sin 2x 1 2 分 6 所以 f x 的最小正周期 T 4 分 f x 的单调递增区间是 k k k Z 6 分 3 6 2 f B 2sin 2B 1 0 故 sin 2B 8 分 6 6 2 1 所以 2B 2k 或 2B 2k k Z 6 6 6 6 5 因为 B 是三角形内角 所以 B 10 分 3 而 accosB 所以 ac 3 又 a c 4 所以 a2 c2 10 12 分BCBA 2 3 所以 b2 a2 c2 2accosB 7 所以 b 14 分7 19 解 1 当 a 3 D 3 4 OP 4 4 3 3 1 363 3 2 222 xxxxxxx 分 6 分3 min OP62 max OP 2 因为 OP 的最小值不小于 2 即 x2 2x x a 4 2 1 2 2 xaxxxOP 对于 x 1 2 恒成立 8 分 当 a 2 时 a 对于 x 1 2 恒成立 所以 a 10 分 4 2 1 x x 2 5 当 1 a 2 时 取 x a 即可知 显然不成立 11 分 当 a 1 时 a 对于 x 1 2 恒成立 所以 a 13 4 3 2 1 x x 2 1 分 综上知 a 或 a 14 2 1 2 5 分 2 或解 7 分 2 1 2 2 xaxxxOP 高三数学 第 7 页 共 9 页 当 a 2 时 在 1 2 为增函数 222 2 aaxaxxOP 2 所以 a 9 分12 min aOP 2 5 当 1 a 2 时 取 x a OP a 不可能大于或等于 2 11 分 当 a0 的 一条弦 M 是 AD 的中点 且 A D 两点纵坐标之差为定值 yA yD a 0 6 2 a 分 由已知的结论 得 S AMD 8 分 p a p a 168 1 16 2 3 3 同理可得 S BND 9 分 p a p a 168 1 16 2 3 3 3 将 2 的结果看作是一次操作 操作继续下去 取每段新弦的中点作平行于轴的x 直线与抛物线得到交点 并与弦端点连接 计算得到新三角形面积 操作无限重复下 去 高三数学 第 8 页 共 9 页 第一次操作 增加的面积为 S AMD和 S BND 10 分 p a p a 164 1 16 2 1 2 3 3 第二次操作 增加了 4 个三角形 面积共增加了 12 分 p a p a 1616 1 16 4 1 2 3 3 2 第三次操作 增加了 8 个三角形 面积共增加了 14 分 p a p a 1664 1 16 8 1 2 3 3 3 可得到一个公比为的无穷等比数列 随着操作继续充分下去 这些三角形逐渐填满 1 4 抛物线与弦围成的 弓形 15AB 分 因此 弓形面积 16 分 4 1 16 1 4 1 1 16 lim 1 3 n n p a S p a 12 3 21 解 1 由 an 1 2an 1 得 an 1 1 2 an 1 且 a1 1 1 所以数列 an 1 是首项为1 公比为2的等比数列 2分 所以an 1 2n 1 所以 数列 an 的通项公式为a n 2n 1 1 4分 2 数列 an 不是 等比源数列 用反证法证明如下 假设数列 an 是 等比源数列 则存在三项am an ak m n k 按一定次序排列构成 等比数列 因为an 2n 1 1 所以am an ak 7 分 所以an2 am ak 得 2n 1 1 2 2m 1 1 2k 1 1 即22n m 1 2n m 1 2k 1 2k m 1 又m n k m n k N 所以2n m 1 1 n m 1 1 k 1 1 k m 1 高三数学 第 9 页 共 9 页 所以22n m 1 2n m 1 2k 1 2k m为偶数 与22n m 1 2n m 1 2k 1 2k m 1矛盾 所以 数列 an 中不存在任何三项 按一定次序排列构成等比数列 综上可得 数列 an 不是 等比源数列 10分 3 不妨设等差数列