2016-北师大版初中数学知识点归纳(7-9年级)

1 北师大版七年级上册知识点总结北师大版七年级上册知识点总结 第一章第一章 丰富的图形世界丰富的图形世界 1 1 几何图形 几何图形 从实物中抽象出来的各种图形 包括立体图形和平面图形 立体图形 有些几何图形的各个部分不都在同一平面内 它们是立体图形 平面图形 有些几何图形的各个部分都在同一平面内 它们是平面图形 2 2 点 线 面 体 点 线 面 体 1 几何图形的组成 点 线和线相交的地方是点 它是几何图形中最基本的图形 线 面和面相交的地方是线 分为直线和曲线 面 包围着体的是面 分为平面和曲面 体 几何体也简称体 2 点动成线 线动成面 面动成体 3 3 生活中的立体图形 生活中的立体图形 圆柱 柱 生活中的立体图形 球 棱柱 三棱柱 四棱柱 长方体 正方体 五棱柱 按名称分 锥 圆锥 棱锥 4 4 棱柱及其有关概念 棱柱及其有关概念 棱 在棱柱中 任何相邻两个面的交线 都叫做棱 侧棱 相邻两个侧面的交线叫做侧棱 n 棱柱有两个底面 n 个侧面 共 n 2 个面 3n 条棱 n 条侧棱 2n 个顶点 5 5 正方体的平面展开图 正方体的平面展开图 1111 种种 6 6 截一个正方体 截一个正方体 用一个平面去截一个正方体 截出的面可能是三角形 四边形 五边形 六边形 7 7 三视图 三视图 物体的三视图指主视图 俯视图 左视图 主视图 从正面看到的图 叫做主视图 左视图 从左面看到的图 叫做左视图 俯视图 从上面看到的图 叫做俯视图 8 8 多边形 多边形 由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形 叫做多边形 从一个 n 边形的同一个顶点出发 分别连接这个顶点与其余各顶点 可以把这个 n 边形分割成 n 2 个三角形 弧 弧 圆上 A B 两点之间的部分叫做弧 扇形 扇形 由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形 第二章第二章 有理数及其运算有理数及其运算 1 1 有理数的分类 有理数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 负有理数 或 整数 有理数 分数 2 2 2 相反数 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 零的相反数是零 3 3 数轴 数轴 规定了原点 正方向和单位长度的直线叫做数轴 画数轴时 要注意上述规定的三要素缺一不可 任何一 个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 解题时要真正掌握数形结合的思想 并能灵活运用 4 4 倒数 倒数 如果 a 与 b 互为倒数 则有 ab 1 反之亦成立 倒数等于本身的数是 1 和 1 零没有倒数 5 5 绝对值 绝对值 在数轴上 一个数所对应的点与原点的距离 叫做该数的绝对值 a 0 零的绝对值时它本身 也可 看成它的相反数 若 a a 则 a 0 若 a a 则 a 0 6 6 有理数比较大小 有理数比较大小 正数大于零 负数小于零 正数大于一切负数 数轴上的两个点所表示的数 右边的总比左边的 大 两个负数 绝对值大的反而小 7 7 有理数的运算 有理数的运算 1 1 五种运算 五种运算 加 减 乘 除 乘方 2 2 有理数的运算顺序 有理数的运算顺序 先算乘方 再算乘除 最后算加减 如果有括号 就先算括号里面的 3 3 运算律 运算律 加法交换律 abba 加法结合律 cbacba 乘法交换律 baab 乘法结合律 bcacab 乘法对加法的分配律 acabcba 第三章第三章字母表示数字母表示数 1 1 代数式 代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式 单独的一个数或一个字母也是代数式 2 2 同类项 同类项 所有字母相同 并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项 几个常数项也是同类项 3 3 合并同类项法则 合并同类项法则 把同类项的系数相加 字母和字母的指数不变 4 4 去括号法则 去括号法则 1 括号前是 把括号和它前面的 号去掉后 原括号里各项的符号都不改变 2 括号前是 把括号和它前面的 号去掉后 原括号里各项的符号都要改变 5 5 整式的运算 整式的运算 整式的加减法 1 去括号 2 合并同类项 第四章第四章 平面图形及其位置关系平面图形及其位置关系 1 1 线段 线段 绷紧的琴弦 人行横道线都可以近似的看做线段 线段有两个端点 2 2 射线 射线 将线段向一个方向无限延长就形成了射线 射线有一个端点 3 3 直线 直线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 直线没有端点 4 4 点 直线 射线和线段的表示 点 直线 射线和线段的表示 在几何里 我们常用字母表示图形 一个点可以用一个大写字母表示 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示 端点字母写在前面 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示 5 5 点和直线的位置关系有两种 点和直线的位置关系有两种 3 点在直线上 或者说直线经过这个点 点在直线外 或者说直线不经过这个点 6 6 直线的性质 直线的性质 1 直线公理 经过两个点有且只有一条直线 2 过一点的直线有无数条 3 直线是是向两方面无限延伸的 无端点 不可度量 不能比较大小 4 直线上有无穷多个点 5 两条不同的直线至多有一个公共点 7 7 线段的性质 线段的性质 1 线段公理 两点之间的所有连线中 线段最短 2 两点之间的距离 两点之间线段的长度 叫做这两点之间的距离 3 线段的中点到两端点的距离相等 4 线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的 8 8 线段的中点 线段的中点 点 M 把线段 AB 分成相等的两条相等的线段 AM 与 BM 点 M 叫做线段 AB 的中点 9 9 角 角 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 两条射线的公共端点叫做这个角的顶点 这两条射线叫做这个角的边 或 角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的 1010 平角和周角 平角和周角 一条射线绕着它的端点旋转 当终边和始边成一条直线时 所形成的角叫做平角 终边继续旋转 当它又和始边重合时 所形成的角叫做周角 1111 角的表示 角的表示 角的表示方法有以下四种 用数字表示单独的角 如 1 2 3 等 用小写的希腊字母表示单独的一个角 如 等 用一个大写英文字母表示一个独立 在一个顶点处只有一个角 的角 如 B C 等 用三个大写英文字母表示任一个角 如 BAD BAE CAE 等 注意 用三个大写英文字母表示角时 一定要把顶点字母写在中间 边上的字母写在两侧 1212 角的度量 角的度量 角的度量有如下规定 把一个平角 180 等分 每一份就是 1 度的角 单位是度 用 表示 1 度记作 1 n 度记作 n 把 1 的角 60 等分 每一份叫做 1 分的角 1 分记作 1 把 1 的角 60 等分 每一份叫做 1 秒的角 1 秒记作 1 1 60 1 60 1313 角的性质 角的性质 1 角的大小与边的长短无关 只与构成角的两条射线的幅度大小有关 2 角的大小可以度量 可以比较 3 角可以参与运算 1414 角的平分线 角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线 把这个角分成两个相等的角 这条射线叫做这个角的平分线 4 1515 平行线 平行线 在同一个平面内 不相交的两条直线叫做平行线 平行用符号 表示 如 AB CD 读作 AB 平行于 CD 注意 注意 1 平行线是无限延伸的 无论怎样延伸也不相交 2 当遇到线段 射线平行时 指的是线段 射线所在的直线平行 1616 平行线公理及其推论 平行线公理及其推论 平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 推论 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 补充平行线的判定方法 1 平行于同一条直线的两直线平行 2 在同一平面内 垂直于同一条直线的两直线平行 3 平行线的定义 1717 垂直 垂直 两条直线相交成直角 就说这两条直线互相垂直 其中一条直线叫做另一条直线的垂线 它们的交点叫做垂足 直线 AB CD 互相垂直 记作 AB CD 或 CD AB 读作 AB 垂直于 CD 或 CD 垂直于 AB 1818 垂线的性质 垂线的性质 性质 1 平面内 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 性质 2 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 简称 垂线段最短 1919 点到直线的距离 点到直线的距离 过 A 点作 l 的垂线 垂足为 B 点 线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 l 的距离 2020 同一平面内 两条直线的位置关系 同一平面内 两条直线的位置关系 相交或平行 第五章第五章 一元一次方程一元一次方程 1 1 方程 方程 含有未知数的等式叫做方程 2 2 方程的解 方程的解 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 3 3 等式的性质 等式的性质 1 等式的两边同时加上 或减去 同一个代数式 所得结果仍是等式 2 等式的两边同时乘以同一个数 或除以同一个不为 0 的数 所得结果仍是等式 4 4 一元一次方程 一元一次方程 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程 5 5 解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤 1 去分母 2 去括号 3 移项 把方程中的某一项改变符号后 从方程的一边移到另一边 这种变形叫移项 4 合并同类项 5 将未知数的系数化为 1 第六章第六章 生活中的数据生活中的数据 1 1 科学记数法 科学记数法 一般地 一个大于 10 的数可以表示成 n a 10 的形式 其中101 a n 是正整数 这种记数方法叫做科学记数 法 2 2 扇形统计图及其画法 扇形统计图及其画法 扇形统计图 利用圆与扇形来表示总体与部分的关系 即圆代表总体 圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分 扇形 5 的大小反映部分占总体的百分比的大小 这样的统计图叫做扇形统计图 画法 1 计算不同部分占总体的百分比 在扇形中 每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与 360 的比 2 计算各个扇形的圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 的度数 3 在圆中画出各个扇形 并标上百分比 3 3 各种统计图的优缺点 各种统计图的优缺点 条形统计图 能清楚地表示出每个项目的具体数目 折线统计图 能清楚地反映事物的变化情况 扇形统计图 能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比 第七章第七章可能性可能性 1 1 确定事件和不确定事件 确定事件和不确定事件 1 1 确定事件 确定事件 必然事件 必然事件 生活中 有些事情我们事先能肯定它一定会发生 这些事情称为必然事件 不可能事件 不可能事件 有些事情我们事先能肯定它一定不会发生 这些事情称为不可能事件 2 2 不确定事件 不确定事件 有些事情我们事先无法肯定它会不会发生 这些事情称为不确定事件 3 3 必然事件必然事件 确定事件确定事件 事件事件 不可能事件不可能事件 不确定事件不确定事件 2 2 不确定事件发生的可能性 不确定事件发生的可能性 一般地 不确定事件发生的可能性是有大小的 必然事件发生的可能性是 1 不可能事件发生的可能性是 0 北师大版七年级数学下册知识点归纳北师大版七年级数学下册知识点归纳 第一章第一章 整式运算整式运算 知识点 一 概念应用 1 单项式和多项式统称为整式 单项式有三种 单独的字母 a w 等 单独的数字 125 3 25 14562 等 数字与字母乘积的一般形式 2s 等 2 单项式的系数是指数字部分 如的系数是 注意系数部分应包含 因为 是常数 单项式的次数 abc 23 23 是它所有字母的指数和 记住不包括数字和的指数 如 次数是 8 3 多项式 几个单项式的和叫做多项式 4 多项式的特殊形式 5 一个多项式次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数 如 是 3 次 3 项式 12 3 1 2 yyx a 3 2 x5 532 56yx 7 3 6 6 单独的一个非零数的次数是 0 知识点 二 公式应用 1 m n 都是正整数 如 nmnm aaa 523 bbb 拓展运用 如已知 2 8 求 解 2 8 16 nmnm aaa m a n a nm a nmnm aaa 2 m n 都是正整数 如 mnnm aa 1243624362 2 2aaaaa 拓展应用 若 则 mnnmmn aaa 2 n a42 222 nn aa 3 n 是正整数 拓展运用 nnn baab nnn abba 4 a 不为 0 m n 都为正整数 且 m 大于 n nmnm aaa 拓展应用 如若 则 nmnm aaa 9 m a3 n a339 nmnm aaa 5 是正整数 如 0 1 0 aa0 1 a a a p p 6 平方差公式 a 为相同项 b 为相反项 22 bababa 如 2222 4 2 2 2 nmnmnmnm 7 完全平方公式 222 2 bababa 222 2 bababa 逆用 222222 2 2 aabbabaabbab 如 222 44 2 yxyxyx 8 应用式 abbaba2 222 abbaba2 222 abbaba4 22 abbaba4 22 两位数 10a b 三位数 100a 10b c 9 单项式与多项式相乘 m a b c ma mb mc 10 多项式与多项式相乘 m n a b ma mb na nb 11 多项式除以单项式的法则 abcmambmcm 12 常用变形 221 nn xyxy 2n2n 1 y x y x 知识点 三 运算 1 常见误区 括号内为正确 1 5635 53 2 3 5 2222 xxxx106155 22 xx 2 3 22 aaa 632 aaa 5 a 4 5 444 2bbb 8 b 1055 xxx 5 2x 6 7 44 aa 222 6 3 qppq 22 9qp 8 9 1 1 236 aaa 3 a0 55 aa0 14 3 0 10 22 2 2 2 bababa 22 4 ba 11 64 8 8 2 ababab64 22 ba 12 222 2516 54 yxyx 22 254016yxyx 2 简便运算 公式类2525125 2504 0 252504 0 2504 0 200520052005200520062005 11 8125 0 8125 0 2 125 0 2125 0 1001001001001003100300100 平方差公式 完全平方公式998001120001000000 11000 999 22 8 1 2 1 2 3 3 11123123 1123 1123 123122124123 2222 4 1 a 7 第二章第二章 平行线与相交线平行线与相交线 知识点 一 理论 1 若 1 2 90 则 1 与 2 互余 若 3 4 180 则 3 与 4 互补 2 同角的余角相等若 1 2 90 2 4 90 则 1 4 等角的余角相等若 1 2 90 3 4 90 1 3 则 2 4 同角的补角相等若 1 2 180 2 4 180 则 1 4 等角的补角相等若 1 2 180 3 4 180 1 3 则 2 4 3 对顶角 1 两条直线相交成四个角 其中不相邻的两个角是对顶角 2 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 这两个角叫做对顶角 3 对顶角的性质 对顶角相等 4 同位角 内错角 同旁内角 1 两条直线被第三条直线所截 形成了 8 个角 形成 4 对同位角 2 对内错角 2 对同旁内角 2 同位角 两个角都在两条直线的同侧 并且在第三条直线 截线 的同旁 这样的一对角叫做同位角 3 内错角 两个角都在两条直线之间 并且在第三条直线 截线 的两旁 这样的一对角叫做内错角 4 同旁内角 两个角都在两条直线之间 并且在第三条直线 截线 的同旁 这样的一对角叫同旁内角 5 平行线的判定方法 1 同位角相等 两直线平行 2 内错角相等 两直线平行 3 同旁内角互补 两直线平行 4 在同一平面内 如果两条直线都平行于第三条直线 那么这两条直线平行 简称为 平行于同一直线的两直线平行 5 在同一平面内 如果两条直线都垂直于第三条直线 那么这两条直线平行 简称为 垂直于同一直线的两直线平行 6 尺规作线段和角 1 在几何里 只用没有刻度的直尺没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图 2 尺规作图是最基本 最常见的作图方法 通常叫基本作图 知识点 二 1 方位问题 若从 A 点看 B 是北偏东 20 则从 B 看 A 是南偏西 20 南北相对 东西相对 数值不变 从甲地到乙地 经过两次拐弯若方向不变 则两次拐向相反 角相等 若方向相反 则两次拐向相同 角互补 2 光反射问题 如图 若光线 AO 沿 OB 被镜面反射则 AOC BOD AON BON 第三章第三章 生活中的数据生活中的数据 一 单位换算 1 长度单位 1 百万分之一米又称微米 即 1 微米 10 6米 A B N C D 8 2 10 亿分之一米又称纳米 即 1 纳米 10 9米 3 1 微米 103纳米 4 1 米 10 分米 100 厘米 103毫米 106微米 109纳米 2 面积单位 1 10 6千米 2 1 米2 102分米2 104厘米2 106毫米2 1012微米2 1018纳米2 3 质量单位 1 1 吨 103千克 106克 二 科学计数法 1 用科学计数法表示绝对值小于 1 的较小数据时 可以表示为 a 10n的形式 其中 1 a 10 n 为负整数 2 用科学计数法表示绝对值较大数据时 可以表示为 a 10n的形式 其中 1 a 10 n 为正整数 三 近似数与精确数 例如 考范围题目 近似数 X 2 8 则 X 的范围是 近似数 X 4 0 则 X 的范围是 规律 左边为最后一位数字减 5 且有等号 右边为最后一位数字后面多写一个数字 5 且没有等号 四 有效数字 1 对于一个近似数 从左边第一个不为零的数字起 到精确到的数位为止 所 有的数字都叫这个数的有效数字 2 对于科学计数法型的近似数 由a 10n 1 a 10 中的 a 来确定 a 的有效数字就是这个近似数的有效数字 与 10n无关 五 近似数的精确度 1 近似数的精确度是近似数精确的程度 2 近似数四舍五入到哪一位 就说这个近似数精确到哪一 位 3 精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定的 例如 2 10 万精确到 位 有效数字 个 分别是 精确到 位 有效数字 个 分别是 4 2 1 10 六 统计图 表 1 条形统计图 能清楚地表示出每个项目的具体数目 2 折线统计图 能清楚地反映事物的变化情况 3 扇形统计图 能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比 4 象形统计图 能直观地反映数据之间的意义 第四章第四章 概概 率率 知识点 一 事件 1 事件分为必然事件 不可能事件 不确定事件 2 必然事件 事先就能肯定一定会发生的事件 也就是指该事件每次一定发生 不可能不发生 即发生的可能是 100 或 1 3 不可能事件 事先就能肯定一定不会发生的事件 也就是指该事件每次都完全没有机会发生 即发生的可能性为零 4 不确定事件 事先无法肯定会不会发生的事件 也就是说该事件可能发生 也可能不发生 即发生的可能性在 0 和 1 之间 二 等可能性 是指几种事件发生的可能性相等 1 概率 是反映事件发生的可能性的大小的量 它是一个比例数 一般用 P 来表示 P A 事件 A 可能出现的结果数 所 有可能出现的结果数 9 2 必然事件发生的概率为 1 记作 P 必然事件 1 3 不可能事件发生的概率为 0 记作 P 不可能事件 0 4 不确定事件发生的概率在 0 1 之间 记作 0 P 不确定事件 c a b 为最短的两条线段 a b c a b 为最长的两条线段 3 第三边取值范围 a b c a b 如两边分别是 5 和 8 则第三边取值范围为 3 x 13 4 对应周长取值范围 若两边分别为 a b 则周长的取值范围是 2a L 2 a b a 为较长边 如两边分别为 5 和 7 则周长的取值范围是 14 L 24 5 三角形中三角的关系 1 三角形内角和定理 三角形的三个内角的和等于 1800 n 边行内角和公式 n 2 0 108 2 三角形按内角的大小可分为三类 1 锐角三角形 即三角形的三个内角都是锐角的三角形 2 直角三角形 即有一个内角是直角的三角形 我们通常用 Rt 表示 直角三角形 其中直角 C 所对的边 AB 称为直角三角表的斜边 夹直角的两边称为直角三角形的直角边 注 直角三角形的性质 直角三角形的两 个锐角互余 3 钝角三角形 即有一个内角是钝角的三角形 4 判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数 5 直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 6 三角形的三条重要线段 1 三角形的角平分线 1 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交 这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 2 任意三角形都有三条角平分线 并且它们相交于三角形内一点 内心 2 三角形的中线 1 在三角形中 连接一个顶点与它对边中点的线段 叫做这个三角形的中线 10 2 三角形有三条中线 它们相交于三角形内一点 重心 3 三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形 3 三角形的高线 1 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 简称为三角形的高 2 任意三角形都有三条高线 它们所在的直线相交于一点 垂心 3 注意等底等高知识的考 试 7 相关命题 1 三角形中最多有 1 个直角或钝角 最多有 3 个锐角 最少有 2 个锐角 2 锐角三角形中最大的锐角的取值范围是 60 X1 时 伸长为原来的n倍 当0 n1 时 伸长为原来的n倍 当0 n0 或向 左 a0 或向 下 b0 所得的图形与原图形相比 形状不变 当n 1时 对应线段大小扩大到原来的n倍 当0 n0时 y随x的增大而增大 当k 0时 y随x的增大而减小 第七章第七章 二元一次方程组二元一次方程组 含有两个未知数 并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程二元一次方程 两个一次方程所组成的一组方程叫做二元二元 一次方程组一次方程组 解二元一次方程组解二元一次方程组 代入消元法 加减消元法 无论是代入消元法还是加减消元法 其目的都是将 二元一次方程 变为 一元一次方程 所谓之 消元 在利用方程来解应用题时 主要分为两个步骤在利用方程来解应用题时 主要分为两个步骤 设未知数 在设未知数时 大多数情况只要设问题为x或y 但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑 寻找等量关系 一般地 题目中会含有一表述等量关系的句子 只须找到此句话即可根据其列出方程 3 2 1 0 0 0 0k b b b 3 2 1 0 0 0 0k b b b 16 处理问题的过程可以进一步概括为 处理问题的过程可以进一步概括为 解答 检验 求解 组方程 抽象 分析 问题 第八章第八章 数据的代表数据的代表 加权平均数 加权平均数 一组数据的权分 n xxx 21 加为 则称 n nn www wxwxwx 21 2211 为 这n个数的加权平均数 如 对某同学的数学 语文 科学三科的考查 成绩分别为72 50 88 而三项成绩的 权 分别为4 3 1 则加权平均 数为 中位数 中位数 一般地 n个数据按大小顺序排列 处于最中间位置的一个数据 或最中间两个数据的平均数 叫做这组数据的 中位数中位数 众数 众数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数众数 众数着眼于对各数据出现次数的考察 中位数首先首先要将数据按大小顺序排列 而且要注意当数据个数为奇数时奇数时 中间的 那个数据就是中位数 当数据个数为偶数时偶数时 居于中间的两个数据的平均数才是中位数 特别要注意一组数据的平均数平均数 和中位数是唯一的 但众数则不一定是唯一的 和中位数是唯一的 但众数则不一定是唯一的 北师大版八年级数学下册各章知识要点总结北师大版八年级数学下册各章知识要点总结 第一章第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一元一次不等式和一元一次不等式组 一 一般地 用符号 或 或 连接的式子叫做不等式 1 能使不等式成立的未知数的值 叫做不等式的解 2 不等式的解不唯一 把所有满足不等式的解集合在一起 构成不等式的解集 3 求不等式解集的过程叫解不等式 4 由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组 5 不等式组的解集 一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分 6 等式基本性质 1 在等式的两边都加上 或减去 同一个数或整式 所得的结果仍是等式 基本性质 2 在等式的两边都乘以或除以同一个数 除数不为 0 所得的结果仍是等式 二 不等式的基本性质 1 不等式的两边都加上 或减去 同一个整式 不等号的方向不变 注 移项要变号 但不等号不变 性质 2 不等式的两边都乘以 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 性质 3 不等式的两边都乘以 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 不等式的基本性质 若 a b 则 ac bc 若 a b c 0 则 ac bc 若 c 0 则 acb 则 bb 且 b c 则 a c 3 解不等式的步骤 1 去分母 2 去括号 3 移项 合并同类项 4 系数化为 1 四 解不等式组的步骤 1 解出不等式的解集 2 在同一数轴表示不等式的解集 3 写出不等式组的解集 五 列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤 1 审题 2 设未知数 找 不等量 关系式 3 设元 根据不等量 关系式列不等式 组 4 解不等式组 检验并作答 六 常考题型 1 求 4x 6 7x 12 的非负数解 2 已知 3 x a x a 1 的解适合 2 x 5 8a 求 a 的范围 3 当 m 取何值时 3x m 2 m 2 3m x 的解在 5 和 5 之间 134 188350472 n www 21 17 第二章第二章 分解因式分解因式 一 公式 1 ma mb mc m a b c 2 3 22 a b a ba b 2 22 a2ab bab 二 把一个多项式化成几个整式的积的形式 这种变形叫做把这个多项式分解因式分解因式 1 把几个整式的积化成一个多项式的形式 是乘法运算 2 把一个多项式化成几个整式的积的形式 是因式分解 3 ma mb mc m a b c 4 因式分解与整式乘法是相反方向的变形 三 把多项式的各项都含有的相同因式 叫做这个多项式的各项的公因式 提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式 找公因式的一般步骤 1 若各项系数是整系数 取系数的最大公约数 2 取相同的字母 字母的指数取较低的 3 取相同的多项式 多项式的指数取较低的 4 所有这些因式的乘积即为公因式 四 分解因式的一般步骤为 1 若有 先提取 若多项式各项有公因式 则再提取公因式 2 若多项式各项没有公因式 则根据多项式特点 选用平方差公式或完全平方公式 3 每一个多项式都要分解到不能再分解为止 五 形如或的式子称为完全平方式 22 a 2ab b 22 a 2ab b 六 分解因式的方法 1 提公因式法 2 运用公式法 第三章第三章 分式分式 注 1 对于任意一个分式 分母都不能为零 2 分式与整式不同的是 分式的分母中含有字母 整式的分母中不含字母 3 分式的值为零含两层意思 分母不等于零 分子等于零 中 B 0 时 分式有意义 分式中 当 B 0 分式无意义 当 A 0 且 B 0 时 分式的值为零 A B A B 常考知识点 1 分式的意义 分式的化简 2 分式的加减乘除运算 3 分式方程的解法及其利用分式方程解应用题 第四章第四章 相似图形相似图形 一 比例定义 表示两个比相等的式子叫比例 1 如果 a 与 b 的比值和 c 与 d 的比值相等 那么或 a b c d 这时组成比例的四个数 a b c d 叫做比例的项 ac bd 两端的两项叫做外项 中间的两项叫做内项 即 a d 为外项 c b 为内项 2 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB CD 的长度分别是 m n 那么就说这两条线段的比 ratio AB CD m n 或写成 其中 线段 AB CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项 ABm CDn 3 如果把表示成比值 k 则k 或 AB k CD m n AB CD 4 四条线段 a b c d 中 如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 即 那么这四条线段 a b c d 叫做成比例线段 ac bd 简称比例线段 5 黄金分割的定义 在线段 AB 上 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC 如果 那么称线段 AB 被点 ACBC ABAC C 黄金分割 golden section 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 AC 与 AB 的比叫做黄金比 其中 AC AB 0 618 18 6 引理 平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 相似三角形 三角对应相等 三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似多边形 各角对应相等 各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形 相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比 二 比例的基本性质 1 若 ad bc a b c d 都不等于 0 那么 如果 b d 都不为 0 那么 ad bc ac bd ac bd 2 合比性质 如果 那么 ac bd abcb bd 3 等比性质 如果 b d n 0 那么 acm bdn a b b d b ma n 4 更比性质 若 那么 ac bd ab cd 5 反比性质 若 那么 ac bd bd ac 三 求两条线段的比时要注意的问题 1 两条线段的长度必须用同一长度单位表示 如果单位长度不同 应先化成同一单位 再求它们的比 2 两条线段的比 没有长度单位 它与所采用的长度单位无关 3 两条线段的长度都是正数 所以两条线段的比值总是正数 四 相似三角形 多边形 的性质 1 相似三角形对应角相等 对应边成比例 相似三角形对应高的比 对应角平分线的比和对应中线的比都等 于相似比 2 相似多边形的周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 五 全等三角形的判定方法有 ASA AAS SAS SSS 直角三角形除此之外再加 HL 六 相似三角形的判定方法 1 三边对应成比例的两个三角形相似 2 两角对应相等的两个三角形相似 3 两边对应成比例且夹角相等 4 定义法 对应角相等 对应边成比例的两个三角形相似 5 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构 成的三角形与原三角形相似 七 在特殊的三角形中 有的相似 有的不相似 1 两个全等三角形一定相似 2 两个等腰直角三角形一定相似 3 两个等边三角形一定相似 4 两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似 八 如果两个图形不仅是相似图形 而且每组对应点所在的直线都经过同一个点 那么这样的两个图形叫做位位 似图形 似图形 这个点叫位似中心 这时的相似比又称为位似比 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 九 常考知识点 1 比例的基本性质 黄金分割比 位似图形的性质 2 相似三角形的性质及判定 相似多边形的性质 第五章第五章 数据的收集与处理数据的收集与处理 1 普查的定义 这种为了一定目的而对考察对象进行的全面调查 称为普查 2 总体 其中所要考察对象的全体称为总体 3 个体 组成总体的每个考察对象称为个体 4 抽样调查 sampling investigation 从总体中抽取部分个体进行调查 这种调查称为抽样调查 5 样本 sample 其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本 6 当总体中的个体数目较多时 为了节省时间 人力 物力 可采用抽样调查 为了获得较为准确的调查结 果 抽样时要注意样本的代表性和广泛性 还要注意关注样本的大小 19 7 我们称每个对象出现的次数为频数 而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率 8 数据波动的统计量 极差 指一组数据中最大数据与最小数据的差 方差 是各个数据与平均数之差的平方的平均数 标准差 方差的算术平方根 要求 识记其计算公式 一组数据的极差 方差或标准差越小 这组数据就越稳定 还要知道平均数 众数 中位数的定义 刻画平均水平用 平均数 众数 中位数 刻画离散程度用 极差 方差 标准差 常考知识点 1 作频数分布表 作频数分布直方图 2 利用方差比较数据的稳定性 3 平均数 中位数 众数 极差 方差 标准差的求法 4 频率 样本的定义 第六章第六章 证明证明 一 对事情作出判断的句子 就叫做命题 即 命题是判断一件事情的句子 一般情况下 疑问句不是命题 图形的作法不是命题 每个命题都有条件 condition 和结论 conclusion 两部分组成 条件是已知的事项 结论是由已知事项推断出的事项 一般地 命题都可以写成 如果 那么 的形式 其中 如果 引出的部分是条件 那么 引出的部分 是结论 要说明一个命题是一个假命题 通常可以举出一个例子 使它具备命题的条件 而不具有命题的结论 这 种例子称为反例 二 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180 度 1 证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角 凑 到一起组成一个平角 一般需要作辅助线 既可以作平行线 也可以作一个角等于三角形中的一个角 2 三角形的外角与它相邻的内角是互为补角 三 三角形的外角与它不相邻的内角关系是 1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 四 证明一个命题是真命题的基本步骤是 1 根据题意 画出图形 2 根据条件 结论 结合图形 写出已知 求证 3 经过分析 找出由已知推出求证的途径 写出证明过程 在证明时注意 1 在一般情况下 分析的过程不要求写出来 2 证明中的每一步推理都要有根据 如果两直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也 相互平行 3 所对的直角边是斜边的一半 斜边上的高是斜边的一半 常考知识点 1 三角形的内角和定理 及三角形外角定理 2 两直线平行的性质及判定 3 命题及其条件和结论 真假命题的定义 北师大版初中数学定理知识点汇总北师大版初中数学定理知识点汇总 九年级九年级 上册上册 第一章第一章 证明证明 二二 等腰三角形的 三线合一 顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 等边三角形是特殊的等腰三角形 作一条等边三角形的三线合一线 将等边三角形分成两个全等的 直角三角形 其中一个锐角等于 30 这它所对的直角边必然等于斜边的一半 20 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有 勾股定理 注意区分斜边与直角边 222 cba 在直角三角形中 如有一个内角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 此定理将在第三章出现 垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线 注意着重号的意义 线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等 线段垂直平分线逆定理 到一条线段两端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 三角形的三边的垂直平分线交于一点 并且这个点到三个顶点的距离相等 如图 1 所示 AO BO CO 角平分线上的点到角两边的距离相等 角平分线逆定理 在角内部的 如果一点到角两边的距离相等 则它在该角的平分线上 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 三角形三条角平分线交于一点 并且交点到三边距离相等 交点即为三角形的内心 如图 2 所示 OD OE OF 第二章第二章 一元二次方程一元二次方程 只含有一个未知数的整式方程 且都可以化为 a b c 为常数 a 0 的形式 这样的方程叫一元0 2 cbxax 二次方程 把 a b c 为常数 a 0 称为一元二次方程的一般形式 a 为二次项系数 b 为一次项系数 c0 2 cbxax 为常数项 解一元二次方程的方法 配方法 0 2 mx 公式法 注意在找 abc 时须先把方程化为一般形式 a acbb x 2 4 2 分解因式法 把方程的一边变成 0 另一边变成两个一次因式的乘积来求解 主要包括 提公因式 和 十字相乘 配方法解一元二次方程的基本步骤 把方程化成一元二次方程的一般形式 将二次项系数化成 1 把常数项移到方程的右边 两边加上一次项系数的一半的平方 把方程转化成的形式 0 2 mx 两边开方求其根 根与系数的关系 当 b2 4ac 0 时 方程有两个不等的实数根 当 b2 4ac 0 时 方程有两个相等的实数根 当 b2 4ac 0 时 方程无实数根 如果一元二次方程的两根分别为 x1 x2 则有 0 2 cbxax 一元二次方程的根与系数的关系的作用 A C B O 图 1 图 2 O A C B D E F a c xx a b xx 2121 21 1 已知方程的一根 求另一根 2 不解方程 求二次方程的根 x1 x2的对称式的值 特别注意以下公式 21 2 21 2 2 2 1 2 xxxxxx 21 2 21 2 21 4 xxxxxx 21 2 2121 4 xxxxxx 22 2121 2 21 2 21 xxxxxxxx 其他能用或表达的代数式 3 2121 3 21 3 2 3 1 xxxxxxxx 21 xx 21x x 3 已知方程的两根 x1 x2 可以构造一元二次方程 0 212 2 1 xxxxxx 4 已知两数 x1 x2 的和与积 求此两数的问题 可以转化为求一元二次方程 的根 0 212 2 1 xxxxxx 在利用方程来解应用题时 主要分为两个步骤 设未知数 在设未知数时 大多数情况只要设问题为 x 但也有时也 须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑 寻找等量关系 一般地 题目中会含有一表述等量关系的句子 只 须找到此句话即可根据其列出方程 处理问题的过程可以进一步概括为 解答 检验 求解 方程 抽象 分析 问题 第三章第三章 证明 三 证明 三 平行四边的定义 两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线 平行四边形的性质 平行四边形的对边相等 对角相等 对角线互相平分 平行四边形的判别方法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行线之间的距离 若两条直线互相平行 则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等 这个距离称为平行线 之间的距离 菱形的定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的性质 具有平行四边形的性质 且四条边都相等 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 菱形是轴对称图形 每条对角线所在的直线都是对称轴 菱形的判别方法 一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫矩形 矩形是特殊的平行四边形 矩形的性质 具有平行四边形的性质 且对角线相等 四个角都是直角 矩形是轴对称图形 有两条对称轴 矩形的判定 有一个内角是直角的平行四边形叫矩形 根据定义 对角线相等的平行四边形是矩形 四个角都相等的四边形是矩形 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 21 21 21 11 xx xx xx 22 正方形的定义 一组邻边相等的矩形叫做正方形 正方形的性质 正方形具有平行四边形 矩形 菱形的一切性质 正方形是轴对称图形 有两条对称轴 正方形常用的判定 有一个内角是直角的菱形是正方形 邻边相等的矩形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 正方形 矩形 菱形和平行边形四者之间的关系 如图 3 所示 梯形定义 一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形 一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形 等腰梯形的性质 等腰梯形同一底上的两个内角相等 对角线相等 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一半 夹在两条平行线间的平行线段相等 在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 第四章第四章 视图与投影视图与投影 三视图包括 主视图 俯视图和左视图 三视图之间要保持长对正 高平齐 宽相等 一般地 俯视图要画在主视图的下方 左视图要画在正视图的右边 主视图 基本可认为从物体正面视得的图象 俯视图 基本可认为从物体上面视得的图象 左视图 基本可认为从物体左面视得的图象 视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面 平面或曲面 而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上 在一个外形线框内所包括的各个小线框 一定是平面体 或曲面体 上凸出或凹的各个小的平面体 或曲面体 在画视图时 看得见的部分的轮廓线通常画成实线 看不见的部分轮廓线通常画成虚线 物体在光线的照射下 会在地面或墙壁上留下它的影子 这就是投影 太阳光线可以看成平行的光线 像这样的光线所形成的投影称为平行投影 探照灯 手电筒 路灯的光线可以看成是从一点出发的 像这样的光线所形成的投影称为中心投影 区分平行投影和中心投影 观察光源 观察影子 眼睛的位置称为视点 由视点发出的线称为视线 眼睛看不到的地方称为盲区 从正面 上面 侧面看到的图形就是常见的正投影 是当光线与投影垂直时的投影 点在一个平面上的投影仍是一个点 线段在一个面上的投影可分为三种情况 线段垂直于投影面时 投影为一点 线段平行于投影面时 投影长度等于线段的实际长度 线段倾斜于投影面时 投影长度小于线段的实际长度 平行四边形 菱形 矩形 正方形 一组邻边相等 一组邻边相等且一个内角为直角 或对角线互相垂直平分 一内角为直角 一邻边相等 或对角线垂直 一个内角为直角 或对角线相等 图 3 23 平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况 平面图形和投影面平行的情况下 其投影为实际形状 平面图形和投影面垂直的情况下 其投影为一线段 平面图形和投影面倾斜的情况下 其投影小于实际的形状 第五章第五章 反比例函数反比例函数 反比例函数的概念 一般地 k 为常数 k 0 叫做反比例函数 即 y 是 x 的反比例函数 x k y x 为自变量 y 为因变量 其中 x 不能为零 反比例函数的等价形式 y 是 x 的反比例函数 0 k x k y 0 1 kkxy 0 kkxy 变量 y 与 x 成反比例 比例系数为 k 判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法 按照反比例函数的定义判断 看两个变量的乘积是否为定值 通常第二种方法更适用 kxy 反比例函数的图象由两条曲线组成 叫做双曲线 反比例函数的画法的注意事项 反比例函数的图象不是直线 所 两点法 是不能画的 选取的点越多画的图越准确 画图注意其美观性 对称性 延伸特征 反比例函数性质 当 k 0 时 双曲线的两支分别位于一 三象限 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 当 k0 或向左 h0 或向下 k0 则当 x时 y 随 x 的增大而增大 a b 2 a b 2 若 a 0