二次函数专题练习：涉及平行四边形的问题(解析精选)

第 1 页 共 15 页 二次函数中考压轴题 二次函数中考压轴题 平行四边形平行四边形 解析精选 解析精选 例一例一 2013 嘉兴 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y x m 2 m2 m 的顶点为 A 与 y 轴的交点为 B 连结 AB AC AB 交 y 轴于点 C 延长 CA 到点 D 使 AD AC 连结 BD 作 AE x 轴 DE y 轴 1 当 m 2 时 求点 B 的坐标 2 求 DE 的长 3 设点 D 的坐标为 x y 求 y 关于 x 的函数关系式 过点 D 作 AB 的平行线 与第 3 题确定的函数图象的另一个交点为 P 当 m 为何值时 以 A B D P 为顶点的四边形是平行四边形 考点 二次函数综合题 3718684 专题 数形结合 分析 1 将 m 2 代入原式 得到二次函数的顶点式 据此即可求出 B 点的坐标 2 延长 EA 交 y 轴于点 F 证出 AFC AED 进而证出 ABF DAE 利用相似三角形的 性质 求出 DE 4 3 根据点 A 和点 B 的坐标 得到 x 2m y m2 m 4 将 m 代入 y m2 m 4 即可求出二 次函数的表达式 作 PQ DE 于点 Q 则 DPQ BAF 然后分 如图 1 和 图 2 两种情况解答 解答 解 1 当 m 2 时 y x 2 2 1 把 x 0 代入 y x 2 2 1 得 y 2 点 B 的坐标为 0 2 2 延长 EA 交 y 轴于点 F AD AC AFC AED 90 CAF DAE AFC AED AF AE 点 A m m2 m 点 B 0 m AF AE m BF m m2 m m2 第 2 页 共 15 页 ABF 90 BAF DAE AFB DEA 90 ABF DAE 即 DE 4 3 点 A 的坐标为 m m2 m 点 D 的坐标为 2m m2 m 4 x 2m y m2 m 4 y 4 所求函数的解析式为 y x2 x 4 作 PQ DE 于点 Q 则 DPQ BAF 当四边形 ABDP 为平行四边形时 如图 1 点 P 的横坐标为 3m 点 P 的纵坐标为 m2 m 4 m2 m2 m 4 把 P 3m m2 m 4 的坐标代入 y x2 x 4 得 m2 m 4 3m 2 3m 4 解得 m 0 此时 A B D P 在同一直线上 舍去 或 m 8 当四边形 ABDP 为平行四边形时 如图 2 点 P 的横坐标为 m 点 P 的纵坐标为 m2 m 4 m2 m 4 把 P m m 4 的坐标代入 y x2 x 4 得 第 3 页 共 15 页 m 4 m2 m 4 解得 m 0 此时 A B D P 在同一直线上 舍去 或 m 8 综上所述 m 的值为 8 或 8 点评 本题是二次函数综合题 涉及四边形的知识 同时也是存在性问题 解答时要注意数形结合及分 类讨论 例二例二 已知抛物线的顶点为 A 2 1 且经过原点 O 与 x 轴的另一交点为 B 1 求抛物线的解析式 2 若点 C 在抛物线的对称轴上 点 D 在抛物线上 且以 O C D B 四点为顶点的四边形为平行四 边形 求 D 点的坐标 3 连接 OA AB 如图 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P 使得 OBP 与 OAB 相似 若存 在 求出 P 点的坐标 若不存在 说明理由 A A BBOO xx yy 图 图 第 4 页 共 15 页 例三例三 2013 湘潭 如图 在坐标系 xOy 中 ABC 是等腰直角三角形 BAC 90 A 1 0 B 0 2 抛物线 y x2 bx 2 的图象过 C 点 1 求抛物线的解析式 2 平移该抛物线的对称轴所在直线 l 当 l 移动到何处时 恰好将 ABC 的面积分为相等的两部分 3 点 P 是抛物线上一动点 是否存在点 P 使四边形 PACB 为平行四边形 若存在 求出 P 点坐标 若不存在 说明理由 考点 二次函数综合题 分析 如解答图所示 1 首先构造全等三角形 AOB CDA 求出点 C 的坐标 然后利用点 C 的坐标求出抛物线的 解析式 2 首先求出直线 BC 与 AC 的解析式 设直线 l 与 BC AC 交于点 E F 则可求出 EF 的表达 式 根据 S CEF S ABC 列出方程求出直线 l 的解析式 3 首先作出 PACB 然后证明点 P 在抛物线上即可 解答 解 1 如答图 1 所示 过点 C 作 CD x 轴于点 D 则 CAD ACD 90 OBA OAB 90 OAB CAD 90 OAB ACD OBA CAD 在 AOB 与 CDA 中 第 5 页 共 15 页 AOB CDA ASA CD OA 1 AD OB 2 OD OA AD 3 C 3 1 点 C 3 1 在抛物线 y x2 bx 2 上 1 9 3b 2 解得 b 抛物线的解析式为 y x2 x 2 2 在 Rt AOB 中 OA 1 OB 2 由勾股定理得 AB S ABC AB2 设直线 BC 的解析式为 y kx b B 0 2 C 3 1 解得 k b 2 y x 2 同理求得直线 AC 的解析式为 y x 如答图 1 所示 设直线 l 与 BC AC 分别交于点 E F 则 EF x 2 x x CEF 中 CE 边上的高 h OD x 3 x 由题意得 S CEF S ABC 即 EF h S ABC 第 6 页 共 15 页 x 3 x 整理得 3 x 2 3 解得 x 3 或 x 3 不合题意 舍去 当直线 l 解析式为 x 3 时 恰好将 ABC 的面积分为相等的两部分 3 存在 如答图 2 所示 过点 C 作 CG y 轴于点 G 则 CG OD 3 OG 1 BG OB OG 1 过点 A 作 AP BC 且 AP BC 连接 BP 则四边形 PACB 为平行四边形 过点 P 作 PH x 轴于点 H 则易证 PAH BCG PH BG 1 AH CG 3 OH AH OA 2 P 2 1 抛物线解析式为 y x2 x 2 当 x 2 时 y 1 即点 P 在抛物线上 存在符合条件的点 P 点 P 的坐标为 2 1 点评 本题是二次函数综合题型 考查了二次函数的图象与性质 一次函数的图象与性质 待定系数法 全等三角形 平行四边形 等腰直角三角形等知识点 试题难度不大 但需要仔细分析 认真计 算 例四例四 2013 盘锦 如图 抛物线 y ax2 bx 3 与 x 轴相交于点 A 1 0 B 3 0 与 y 轴相 交于点 C 点 P 为线段 OB 上的动点 不与 O B 重合 过点 P 垂直于 x 轴的直线与抛物线及线段 BC 分别交于点 E F 点 D 在 y 轴正半轴上 OD 2 连接 DE OF 1 求抛物线的解析式 2 当四边形 ODEF 是平行四边形时 求点 P 的坐标 第 7 页 共 15 页 3 过点 A 的直线将 2 中的平行四边形 ODEF 分成面积相等的两部分 求这条直线的解析式 不必 说明平分平行四边形面积的理由 考点 二次函数综合题 分析 1 利用待定系数法求出抛物线的解析式 2 平行四边形的对边相等 因此 EF OD 2 据此列方程求出点 P 的坐标 3 本问利用中心对称的性质求解 平行四边形是中心对称图形 其对称中心为两条对角线的交 点 或对角线的中点 过对称中心的直线平分平行四边形的面积 因此过点 A 与 ODEF 对称中 心的直线平分 ODEF 的面积 解答 解 1 点 A 1 0 B 3 0 在抛物线 y ax2 bx 3 上 解得 a 1 b 2 抛物线的解析式为 y x2 2x 3 2 在抛物线解析式 y x2 2x 3 中 令 x 0 得 y 3 C 0 3 设直线 BC 的解析式为 y kx b 将 B 3 0 C 0 3 坐标代入得 解得 k 1 b 3 y x 3 设 E 点坐标为 x x2 2x 3 则 P x 0 F x x 3 EF yE yF x2 2x 3 x 3 x2 3x 四边形 ODEF 是平行四边形 EF OD 2 x2 3x 2 即 x2 3x 2 0 第 8 页 共 15 页 解得 x 1 或 x 2 P 点坐标为 1 0 或 2 0 3 平行四边形是中心对称图形 其对称中心为两条对角线的交点 或对角线的中点 过对称 中心的直线平分平行四边形的面积 因此过点 A 与 ODEF 对称中心的直线平分 ODEF 的面积 当 P 1 0 时 点 F 坐标为 1 2 又 D 0 2 设对角线 DF 的中点为 G 则 G 2 设直线 AG 的解析式为 y kx b 将 A 1 0 G 2 坐标代入得 解得 k b 所求直线的解析式为 y x 当 P 2 0 时 点 F 坐标为 2 1 又 D 0 2 设对角线 DF 的中点为 G 则 G 1 设直线 AG 的解析式为 y kx b 将 A 1 0 G 1 坐标代入得 解得 k b 所求直线的解析式为 y x 综上所述 所求直线的解析式为 y x 或 y x 点评 本题是二次函数的综合题型 考查了二次函数的图象与性质 待定系数法 平行四边形的性质 中心对称的性质等知识点 第 3 问中 特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质 只要 第 9 页 共 15 页 求出其对称中心的坐标 即可利用待定系数法求出所求直线的解析式 例五例五 2013 沈阳 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 bx c 经过点 A 0 和点 B 1 与 x 轴的另一个交点为 C 1 求抛物线的函数表达式 2 点 D 在对称轴的右侧 x 轴上方的抛物线上 且 BDA DAC 求点 D 的坐标 3 在 2 的条件下 连接 BD 交抛物线对称轴于点 E 连接 AE 判断四边形 OAEB 的形状 并说明理由 点 F 是 OB 的中点 点 M 是直线 BD 的一个动点 且点 M 与点 B 不重合 当 BMF MFO 时 请 直接写出线段 BM 的长 考点 二次函数综合题 分析 1 利用待定系数法求出抛物线的函数表达式 2 由 BDA DAC 可知 BD x 轴 点 B 与点 D 纵坐标相同 解一元二次方程求出点 D 的坐 标 3 由 BE 与 OA 平行且相等 可判定四边形 OAEB 为平行四边形 点 M 在点 B 的左右两侧均有可能 需要分类讨论 综合利用相似三角形的性质 等腰三角形 的性质和勾股定理 求出线段 BM 的长度 第 10 页 共 15 页 解答 解 1 将 A 0 B 1 代入抛物线解析式 y x2 bx c 得 解得 y x2x 2 当 BDA DAC 时 BD x 轴 B 1 当 y 时 x2x 解得 x 1 或 x 4 D 4 3 四边形 OAEB 是平行四边形 理由如下 抛物线的对称轴是 x BE 1 A 0 OA BE 又 BE OA 四边形 OAEB 是平行四边形 O 0 0 B 1 F 为 OB 的中点 F 过点 F 作 FN 直线 BD 于点 N 则 FN BN 1 在 Rt BNF 中 由勾股定理得 BF BMF MFO MFO FBM BMF FBM 2 BMF I 当点 M 位于点 B 右侧时 在直线 BD 上点 B 左侧取一点 G 使 BG BF 连接 FG 则 GN BG BN 1 在 Rt FNG 中 由勾股定理得 FG BG BF BGF BFG 第 11 页 共 15 页 又 FBM BGF BFG 2 BMF BFG BMF 又 MGF MGF GFB GMF 即 BM II 当点 M 位于点 B 左侧时 设 BD 与 y 轴交于点 K 连接 FK 则 FK 为 Rt KOB 斜边上的中线 KF OB FB FKB FBM 2 BMF 又 FKB BMF MFK BMF MFK MK KF BM MK BK 1 综上所述 线段 BM 的长为 或 点评 本题是中考压轴题 考查了二次函数的图象与性质 待定系数法 解方程 相似三角形 等腰三 角形 平行四边形 勾股定理等知识点 难点在于第 3 问 满足条件的点 M 可能有两种情 形 需要分类讨论 分别计算 避免漏解 第 12 页 共 15 页 x y A O C B 第 26 题图 x y A O C B 第 26 题图 N P N MH M 例六例六 如图 抛物线经过三点 5 1 0 5 0 0 2 ABC 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线的对称轴上有一点 P 使 PA PC 的值最小 求点 P 的坐标 3 点 M 为 x 轴上一动点 在抛物线上是否存在一点 N 使以 A C M N 四点构成的四边形为平行四边形 若存在 求点 N 的坐标 若不存在 请说明理由 解析 解 1 设抛物线的解析式为 2 yaxbxc 根据题意 得 0 2550 5 2 abc abc c 解得 1 2 2 5 2 a b c 抛物线的解析式为 3 分 2 15 2 22 yxx 2 由题意知 点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B 连接 BC 交抛物线的对称轴于点 P 则 P 点 即为所求 设直线 BC 的解析式为 ykxb 由题意 得解得 50 5 2 kb b 1 2 5 2 k b 直线 BC 的解析式为 6 分 15 22 yx 第 13 页 共 15 页 抛物线的对称轴是 2 15 2 22 yxx 2x 当时 2x 153 222 yx 点 P 的坐标是 7 分 3 2 2 3 存在 8 分 i 当存在的点 N 在 x 轴的下方时 如图所示 四边形 ACNM 是平行四边形 CN x 轴 点 C 与点 N 关于对称轴 x 2 对称 C 点的坐标为 点 N 的坐标为 5 0 2 5 4 2 11 分 II 当存在的点在 x 轴上方时 如图所示 作轴于点 H 四边形是平行四边形 N N Hx ACM N ACM NN M HCAO Rt CAO Rt N M H N HOC 点 C 的坐标为 即 N 点的纵坐标为 55 0 22 N H 5 2 即 2 155 2 222 xx 2 4100 xx 解得 12 214 214 xx 点的坐标为和 N 5 214 2 5 214 2 综上所述 满足题目条件的点 N 共有三个 分别为 13 分 5 4 2 5 214 2 5 214 2 第 14 页 共 15 页 26 2013 山西 26 14 分 本题 14 分 综合与探究 如图 抛物线 2 13 4 42 yxx 与 x 轴交于 A B 两点 点 B 在点 A 的右侧 与 y 轴交于点 C 连接 BC 以 BC 为一边 点 O 为对称中心作菱形 BDEC 点 P 是 x 轴上的一个动点 设点 P 的坐标为 m 0 过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q 1 求点 A B C 的坐标 2 当点 P 在线段 OB 上运动时 直线 l 分别交 BD BC 于点 M N 试探究 m 为何值时 四边形 CQMD 是平行四边形 此时 请判断四边形 CQBM 的形状 并说明理由 3 当点 P 在线段 EB 上运动时 是否存在点 Q 使 BDQ 为直角三角形 若存在 请直接写出点 Q 的 坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 当 y 0 时 2 13 40 42 xx 解得 12 2 8x