2011版高考数学 3年高考2年模拟 第15章 极限

用心 爱心 专心 1 第十五章第十五章 极限第一部分极限第一部分 五年高考荟萃五年高考荟萃 20092009 年高考题年高考题 一 选择题 1 09 重庆理 8 已知 2 2 lim 2 1 x x axb x 其中 a bR 则ab 的值为 A 6B 2 C 2 D 6 解析 222 2 2 2 limlimlim2 1 11 1 xxx b a xab xaxaxbxba xab xb x xx x 20 2 4 2 4 6 2 a abab ab 则解得故 答案 D 2 09 湖北理 6 设 2 22212 01212 2 2 nnn nn xaa xa xaxa x 则 22 024213521 lim nn n aaaaaaaa A 1 B 0 C 1 D 2 2 解析 令0 x 得 2 0 21 22 n n a 令1x 时 2 0122 2 1 2 n n aaaa 令1x 时 2 0122 2 1 2 n n aaaa 两式相加得 22 022 22 1 1 22 2 nn n aaa 两式相减得 22 1321 22 1 1 22 2 nn n aaa 代入极限式可得 故选 B 答案 B 二 填空题 3 09 陕西理 13 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 若 63 12aS 则 2 lim n n S n 611 22 31 125122 11 1 limlim1 12122 nn n nn aada SSnn Sn n saddnnnn 解析 用心 爱心 专心 2 答案 1 2005 2008 年高考题 一 选择题 1 2007 年江西 32 1 lim 1 x xx x 等于0 等于1 等于3 不存在 答案 B 2 2007 年湖北 已知p和q是两个不相等的正整数 且2q 则 1 11 lim 1 11 p q n n n A 0B 1C p q D 1 1 p q 答案 3 2006 湖南 数列 n a 满足 1 1 3 a 且对于任意的正整数 m n 都有 m nmn aaa 则 12 lim n n aaa A 1 2 B 2 3 C 3 2 D 2 解析 数列 n a满足 3 1 1 a 且对任意正整数nm 都有 nmnm aaa 21 111 1 9 aaa a 11 1 3 nnn aaaa 数列 n a是首项为 3 1 公比为 3 1 的等比 数列 lim 21n n aaa 1 1 12 a q 选 A 答案 A 4 2005 年全国 理 5 22 1 12 lim 3243 x xxxx A 1 2 B 1 2 C 1 6 D 1 6 解析 22 1 12 lim 3243 x xxxx 1 12 lim 1 2 1 3 x xxxx 用心 爱心 专心 3 11 1 11 limlim 1 2 3 2 3 2 xx x xxxxx 选 A 答案 A 二 填空题 5 2008 上海 2 计算 1 31 lim 32 n nn n 答案 1 3 6 2007 年全国 理 16 已知数列的通项an 5n 2 其前n项和为 Sn 则 2 lim n n S n 答案 2 5 解析 数列的通项an 5n 2 其前n项和为 Sn 51 2 nn 则 2 lim n n S n 2 5 7 2006 天津 设函数 1 1 x xf 点 0 A表示坐标原点 点 NnnfnAn 若向 量 01121nnn aA AA AAA n 是 n a 与i 的夹角 其中 0 1 i 设 nn S tantantan 21 则 n n S lim 解析 函数 1 1 x xf 点 0 A表示坐标原点 点 NnnfnAn 若向量 01121nnn aA AA AAA 0n A A n 是 n a 与i 的夹角 1 1 1 tan 1 n n nn n 其 中 0 1 i 设 nn S tantantan 21 1111 1 1 22 3 1 1n nn 则 n n S lim 1 答案 1 8 2005 年上海 2 n n n 21 2 lim 答案 0 三 解答题 9 2007 年辽宁 已知数列 n a n b与函数 f x g x x R满足条件 用心 爱心 专心 4 nn ab 1 nn f bg bn N I 若 102f xtxtt 2g xx f bg b lim n n a 存在 求x的取值 范围 II 若函数 yf x 为R上的增函数 1 g xfx 1b 1 1f 证明对任意 n N lim n n a 用t表示 解法一 由题设知 2 11 1 1 nn n ba tbna 得 11 2 nn a t a 又已知2 t 可得 2 2 22 2 1 t a t t a nn 由 2 2 0 2 0 22 2 0 2 1 t a t t t tb t attbgbf n 所以可知 是等比其首项为 2 2 t t t tb公比为 于是 2 2 2 2 2 2 2 1 1 t tt t t tba t t t tb t a n n n n 即 又 liman存在 可得 0 2 t 1 所以 2 t 2 且 0 t 2 2 lim t an n 解法二 由题设知tbn 1 2bn 1 且 2 t可得 2 1 22 1 1 t b t t b nn 由 0 2 ttbgbf可知0 2 0 2 1 t t b 所以 2 1 t bn是首项为 2 1 t b 公 2 t 的等比数列 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 11 t t t bb t t b t b n n n n 即 由 1 2 nn ba 可知 若 n n a lim存在 则 n n b lim存在 于是可得 0 2 t 1 所以 1 t 0 n n a lim 2 n n b lim 2 2 t 解法三 由题设知tbn 1 2bn 1 即 用心 爱心 专心 5 2 1 2 1 nn b t b 于是有 2 1 2 12 nn b t b 得得令 2 1112nnnnnnn bbcbb t bb 2 1nn c t c 由0 2 0 2 1 2 10 2 12 tbt bbcttbgbf可知 所以 n c是首项 为 b 公比为 2 t 的等比数列 于是 2 1 2 1 121211 bbb t t bcccb n nn t t ba n nn 2 2 1 4 2 1 b2 b1 2b 又 n n a lim存在 可得 0 2 t 1 所以 2 t 2 且 0 t 2 2 2 2 4 lim 12 t bbb t an n 说明 数列 n a通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一 其他过程和结果参照以标 准 证明 因为 11 1 1 1 nnnnn afbbfbgaxfxg 即所以 下面用数学归纳法证明 1 n a N nan 1 当n 1 时 由f x 为增函数 且 1 f 1 得 1 11 fbfa 1 1 12 fafb 1 22 bfa 1 1 af 即 2 a 1 a 结论成立 2 假设 n k 时结论成立 即 1 k a k a 由f x 为增函数 得 用心 爱心 专心 6 1 k af f k a即 2 k b 1 k b进而得 1 k af f 1 k b 即 2 k a 1 k a 这就是说当n k 1 时 结论也成立 根据 1 和 2 可知 对任意的 N n 1 n a n a 第二部分 四年联考汇编 2010 年联考题 题组二 5 月份更新 1 昆明一中三次月考理 若 9 12 x展开式的第 9 项的值为 12 则 lim 2n n xxx 答案 2 2 师大附中理 2 1 12 lim 11 x xx A 1 B 1 2 C 0 D 1 2 答案 B 3 祥云一中月考理 已知 2 2 lim 2 1 x x axb x 其中 a bR 则ab 的值为 A 6B 2 C 2D 6 答案 D 4 祥云一中二次月考理 已知数列 n a中 3 1 1 1 11 Nnaaa n nn 则 lim n n a 答案 6 7 5 哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 若 1 0 xdx 答案 1 2 6 祥云一中三次月考理 1 35 21 lim 21 n n nn 等于 用心 爱心 专心 7 答案 2 1 7 三明市三校联考 已知0 2 a 则当 0 cossin a xx dx 取最大值时 a 答案 4 题组一 1 月份更新 1 2009 上海八校联考 n a是无穷数列 已知 n a是二项式 12 n xnN 的展开式各 项系数的和 记 12 111 n n P aaa 则lim n n P 答案 1 2 2 2009 上海青浦区 已知数列 n a 对于任意的正整数n 2010 3 1 2 20091 1 2009 n n a n n 设 n S表示数列 n a的前n项和 下列关于 n n S lim的结论 正确的是 A 1lim n n S B 2008lim n n S C 2010 1 20091 2009 lim n n Sn n Nn D 以上结论都不对 答案 B 3 2009 宣威六中第一次月考 设数列 n a的前n项和 n S满足53 nn aSnN 那么 1321 lim n n aaa A 1 5 B 1 5 C 4 5 D 3 4 答案 C 4 2009 上海九校联考 设常数a 0 5 1 ax x 的展开式中 3 x的系数为 5 81 则 2 lim n n aaa 答案 1 2 用心 爱心 专心 8 5 2009 宣威六中第一次月考 3 1 1 lim 2 ban n n n 则ab 答案 3 6 2009 宣威六中第一次月考 11 23 lim 23 nn nn n 答案 3 2009 年联考题 一 选择题 1 2009 年 3 月襄樊市高中调研统一测试理 2 2 2 lim 68 x x xx 的值为 A 0B 1C 1 2 D 1 3 答案 C 2 湖北省八市2009年高三年级三月调考理 若 1 5x n的展开式中各项系数之和为an 7x2 1 n的展开式中各项的二项式系数之和为bn 则 n lim nn nn ba ba 43 2 的值是 A 3 1 B 4 1 C 1D 2 1 答案 A 3 2009 衡阳四校联考 若P x axx x 4 2 lim 2 2 2 P R P 为常数 则a和P 的值分别为 A 0 2 1 B 1 4 3 C 2 1 2 1 D 4 3 1 答案 D 4 2009 牟定一中期中 若 2 2234 1 6511111 lim lim 1 n xn xx a xaaaaa 则的 值为 A 2 B 3 1 C 2 1 D 7 12 答案 B 5 2009 宣威六中第一次月考 下列命题不正确的是 用心 爱心 专心 9 A 如果 f x 则 f x 0 1 x lim x B 如果 f x 2 x 1 则 f x 0 lim x 0 C 如果 f n 则 f n 不存在 n 2 2n n 2 lim n D 如果 f x 则 f x 0 x x 0 x 1 x 0 5 1 ax x 的展开式中 3 x的系数为 5 81 则 2 lim n n aaa 答案 1 2 17 2009 宣威六中第一次月考 11 23 lim 23 nn nn n 答案 3 三 解答题 18 2009 冠龙高级中学 3 月月考 由函数 yf x 确定数列 n a n af n 函数 yf x 的反函数 1 yfx 能确定数列 n b 1 n bfn 若对于任意 nN 用心 爱心 专心 11 都有 nn ab 则称数列 n b是数列 n a的 自反数列 1 若函数 1 1 px f x x 确定数列 n a的自反数列为 n b 求 n a的通项公式 2 在 1 条件下 记 n xxx n 111 21 为正数数列 n x的调和平均数 若 2 1 1 n n d a n S为数列 n d的前n项和 n H为数列 n S的调和平均数 求 n Hn n lim 3 已知正数数列 n C的前n项之和 1 2 nn n n TC C 求 n T的表达式 解 1 由题意的 f 1 x px x 1 f x 1 1 x px 所以p 1 所以an 1 1 n n 2 an 1 1 n n dn 1 1 2 n a n Sn为数列 dn 的前n项和 Sn 2 1 nn 又Hn为数列 Sn 的调和平均数 Hn n SSS n 111 21 1 2 32 2 21 2 nn n 2 1 n n Hn n lim n n n 2 1 lim 2 1 3 因为正数数列 cn 的前n项之和Tn 2 1 cn n c n 所以c1 2 1 c1 1 1 c 解之得 c1 1 T1 1 当n 2 时 cn Tn Tn 1 所以 2Tn Tn Tn 1 1 nn TT n Tn Tn 1 1 nn TT n 即 2 1 2 nn TT n 所以 2 2 2 1 nn TT n 1 2 3 2 2 nn TT n 2 2 1 2 2 TT 2 累加得 2 1 2 TTn 2 3 4 n 2 n T 1 2 3 4 n 2 1 nn Tn 2 1 nn 19 2009 上海普陀区 设数列 n a的前n项和为 n S 3 1 4 a 对任意 Nn 向量 1 n aa 1 1 2 n ba 都满足ab 求lim n n S 用心 爱心 专心 12 解 因为0aba b 所以由条件可得 1 2 n n a a Nn 即数列 n a是公比 1 2 q 的等比数列 又 3 1 2 1 a a q 所以 1 12 lim 1 13 1 2 n n a S q 2007 2008 年联考题 一 选择题 1 2008 荆门市实验高中测试 2 2 lim 21 n anbnc ann 等于 A 1 B 2 b C c D 1 或 2 b 答案 D 2 2008 荆门市实验高中测试 下列极限存在的是 2 1 lim x x 0 1 lim x x 2 2 1 lim 32 x x xx 2 1 1 lim 1 x x A B C D 答案 C 3 2008 荆门市实验高中测试 已知 a b 时互不相等的正数 则lim nn nn n ab ab 等于 A 1 B 1 或 1 C 0 D 0 或 1 答案 B 4 淮南市部分重点中学 2007 年高三数学素质测试 设 lim 0 0 2 0 xf xe xbx xf x x 若 存在 则常数 b 的值是 A 0B 1C 1D e 答案 B 用心 爱心 专心 13 5 巢湖 2007 二模 若1 11 2 1 lim x b x a x 则常数ba 的值为 A 4 2 ba B 4 2 ba C 4 2 ba D 4 2 ba 答案 C 6 皖南八校 2007 届一联 xxx x 22 1 lim的值为 A 0B 不存在C 2 1 D 2 1 答案 C 7 南昌市 2007 2008 学年度高三第一轮复习训练 已知数列 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 则这个数列的第 2006 个数是 A 62 B 63 C 64 D 65 答案 B 8 南昌市 2007 2008 学年度高三第一轮复习训练 函数 f x 1 1 2 2 x xx 的不连续 点为 A x 1 B x 1 C x 1 D 以上答案都不对 答案 A 9 南昌市 2007 2008 学年度高三第一轮复习训练 用数学归纳法证明命题时 此命题 左式为 1111 23421 n 则 n k 1 与 n k 时相比 左边应添加 A 1 1 21 k B 1 111 22121 kkk C 1 1111 2212221 kkkk D 1 11 221 kk 答案 C 二 填空题 10 2008 荆门市实验高中测试 若 1 lim1 n a nnan 则常数 答案 2 用心 爱心 专心 14 11 2008 荆门市实验高中测试 32 2 sin2sin1 lim sin1 x xx x 答案 1 12 2008 宣威六中高三数学测试 32 2 sin2sin1 lim sin1 x xx x 答案 1 13 安徽宿州三中 2007 年三模 已知 32 3 3 lim 3 x xaxx b x 则 1 1 lim nn nn n ab ab 答案 8 三 解答题 14 2008 荆门市实验高中测试 求 2 4 sin22cos lim cossin x xx xx 解 2 sin22cos 2cos cossin xx x xx 4 lim2cos2cos2 4 x x 原式 15 2008 荆门市实验高中测试 已知 1 31 lim 3 31 n n n n a 求 a 的取值范围 解 依题意有 11 lim 3 1 3 3 n n a 1 lim0 3 n n a 1 1 3 a 42a 16 南昌市 2007 2008 学年度高三第一轮复习训练 已知递增等比数列 an 满足 a2 a3 a4 28 且a3 2 是a2和a4的等差中项 求数列 an 的通项公式 若 22 1 loglog 4 n nn b aa Sn b1 b2 bn 求lim n n S 解 1 设公比为q 则1q 用心 爱心 专心 15 据题意得 2 2 2 222 1 24 2 2 aqq a qaa q 2 2 1 2 2 4 16 qq a a 或舍去 所以2n n a 2 因为